Lezione 14. Vettori rotanti. RL con forzamento sinusoidale. e( t) = E M. i( t) = ke R L t + I M. e(t) E = RI + jω LI. E ( ) 2 ; η arctg ω L

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1 ezione 4 ( A) A Vettori rotanti ( A) Piano di Gauss A = Ae j( ωt+α ) = Acos( ωt + α ) + jasen( ωt + α ) Prima di procedere oltre, facciamo vedere perché il termine fasori. a parte reale ed il coefficiente dell immaginario delle grandezze Ᾱ variano nel tempo con legge sinusoidale, mentre il modulo di Ᾱ resta costante nel tempo. Di conseguenza nel piano di Gauss il punto rappresentativo della funzione complessa di variabile reale Ᾱ si muove lungo una circonferenza. Se consideriamo un vettore che congiunge l origine delle coordinate con il punto rappresentativo di Ᾱ, potremo dire che le grandezze in esame sono rappresentate da vettori rotanti nel piano di Gauss: perciò il termine fasori. Vettoriotanti i con forzamento sinusoidale v = + jω + jω e( t) = M sen( ωt + η) M = M ϕ = arctg ω ( ) ω i( t) = ke t + M sen( ωt + η ϕ) 2 + ω ( ) 2 ; η arctg ω = η ϕ Proviamo ad applicare il metodo dei fasori al circuito serie già risolto in precedenza. Si scrive l'equazione all'unica maglia presente in termini di fasori. on facili passaggi si ricava immediatamente il fasore della corrente. l modulo del numero complesso rappresentativo della corrente è, dunque, il rapporto tra il modulo del fasore di e del numero complesso + jω e la sua fase è la differenza tra le fasi del numeratore e del denominatore. risultati sono in perfetto accordo, se si tiene conto della relazione tra valor massimo e valor efficace di una funzione sinusoidale, con i risultati già trovati.

2 orrispondenze v( t) = i( t) V V = v( t) = di dt V V = jω ome si vede, la tecnica che abbiamo costruito semplifica notevolmente tutte le operazioni. n pratica, per un circuito in regime sinusoidale, basterà scrivere direttamente le equazioni relative alla K ed alla KT in termini di fasori, esprimendo anche le caratteristiche dei bipoli presenti nella rete come relazioni tra fasori, così come mostrato nelle immagini. l rapporto tra i due fasori rappresentativi della tensione e della corrente prende il nome di impedenza e verrà indicato d'ora in poi con il simbolo Z. i( t) = dv dt V jωv i v a regime e( t) = M sen( ωt + α ) ϕ = arctg ω ( ) ω = + jω α = 0 + jω impedenza è dunque un numero complesso; la sua parte reale conserva il nome di resistenza, mentre il coefficiente della parte immaginaria è detto reattanza. Si noti che, coerentemente alle definizioni date, si può affermare che l'impedenza caratteristica di un induttore è pari a jx=jω e che la sua reattanza è X=ω, positiva per definizione. Un condensatore invece presenterà una impedenza -jx=-j/ω, ed una reattanza X=/ ω. nfine chiameremo ammettenza l'inverso di una impedenza. Anche l'ammettenza è dunque un numero complesso la cui parte reale è una conduttanza mentre il coefficiente dell'immaginario prende il nome di suscettanza. i v a regime e( t) = M sen( ωt + α ) ϕ = arctg ω ( ) ω = + jω α = 0 + jω Nella figura è rappresentato anche il diagramma fasoriate del circuito in esame. Si parte dal fasore della corrente e da quello della caduta sul resistore, che è proporzionale, e quindi in fase, alla corrente. Poi si disegna il favore della tensione sull induttore, a 90 gradi in anticipo. nfine la congiungente l origine con l estremo della caduta induttiva rappresenta il fasore della tensione. = jω

3 v i ircuito in evoluzione forzata v i r =? v e d 2 i dt + di 2 dt + i = de dt ( ) = k e α t + k 2 e α 2t + i r i t i( t) = k e αt + k 2 te αt + i r i( t) = ke αt sen( βt +φ) + i r Proviamo ad applicare il metodo dei fasori per calcolare la soluzione di regime in un caso più complesso: il circuito serie con forzamento sinusoidale. a soluzione dell'omogenea associata è già nota; limitiamoci quindi a calcolare la soluzione a regime con il metodo dei fasori. V ircuito in evoluzione forzata V V = + jω j ω e( t) = M sen( ωt + α 0 ) i r ( ) ( t) = M sen ωt + α 0 ϕ = e j ( ωt+α 0 ) e j ( ωt+α0 ϕ ) Dall 'equazione alla maglia scritta in termini fasoriali si ricava immediatamente, con semplici passaggi algebrici, il fasore della corrente. + jω j ω V i r ircuito in evoluzione forzata ( t) = 2 V V 2 + ω ω = + jω j ω + jω j ω sen ( ωt + α 2 0 ϕ) ω ϕ = arctg ω quindi il valore massimo della i e la sua fase iniziale.

4 ircuito in evoluzione forzata Da cui l integrale generale della completa. V i r ( t) = 2 V V 2 + ω ω d 2 i dt + di 2 dt + ( ) = k e αt + k 2 e α2t + i r ( ) = k e αt + k 2 te αt + i r ( ) = ke αt sen( βt +φ) + i r i t i t i t sen ( ωt + α 2 0 ϕ) i = de dt V V V X = ω ω mpedenza = + jω j ω = Z Z = + jx = resistenza X = reattanza mpedenza Z n conclusione, la soluzione nel regime sinusoidale si trova facilmente se si introduce il concetto di impedenza: un numero complesso la cui parte reale chiameremo resistenza e quella immaginaria reattanza. n termini fasoriali l impedenza gioca lo stesso ruolo che in continua giocava la sola resistenza. Ammettenza nvece della impedenza potremo utilizzare l ammettenza, che giocherà lo stesso ruolo che in continua giocava la sola conduttanza. Y V V V Y = G + js G = 2 + X 2 Ammettenza Y G = conduttanza S = suscettanza S = X 2 + X 2

5 ircuito a regime l diagramma fasoriale del circuito si costruisce partendo dal fasore della corrente. V = + jω j ω V V j jω ω Bipolo resistore v( t) = i( t) V V = iepiloghiamo le caratteristiche dei diversi componenti nei rispettivi ambiti: nel dominio del tempo, quello dei fasori e dei fasori come vettori. Aggiungiamo anche il grafico dell andamento nel tempo di tensione e corrente. Si noti che le due sinusoidi sono in fase! i(t) V = Bipolo induttore Per l induttore! a tensione anticipa di π/2 rispetto alla corrente v( t) = di dt V V = jω jω i(t)

6 Bipolo condensatore per il condensatore! a tensione ritarda di π/2 rispetto alla corrente. i( t) = dv dt V jωv i(t) V = j ω Proprietà delle reti in regime sinusoidale e proprietà delle reti dimostrate in regime continuo restano valide purché si usino i concetti di impedenza ed ammettenza al posto di quelli di resistenza e conduttanza. on la sola eccezione dei teoremi di non amplificazione, tutte le proprietà dimostrate in regime continuo restano valide in regime sinusoidale, ma in termini di fasori. Bisognerà, naturalmente, ricordare che i fasori e le impedenze o ammettenze sono numeri complessi, e quindi bisognerà operare di conseguenza. Fanno eccezione i teoremi di non amplificazione. Bisogna ricordare che impedenze ed ammettenze sono numeri complessi. Operazioni sui numeri complessi icordiamo le operazioni fondamentali nella rappresentazione cartesiana. n forma cartesiana ( a + jb) + ( c + jd) = a + c + j( b + d) ( a + jb) ( c + jd) = ( ac bd) + j( bc + ad) ( a + jb) ( c + jd) = ( a + jb) ( c jd) ( ac + bd) + j = ( bc ad ) c 2 + d 2 c 2 + d 2

7 Operazioni sui numeri complessi d in quella polare. n forma polare ( a + jb) = Ae jα, con A = a 2 + b 2 e tgα = b a Ae jα Be jβ = ABe j( α +β ) Ae jα Be = A jβ B e j ( α β ) Serie e parallelo di impedenze Avremo dunque le formule per la serie ed il parallelo di due impedenze. Serie Z = Z + Z 2 Y= Y Y 2 Y + Y 2 Parallelo Z= Z Z 2 Z + Z 2 Y = Y + Y 2 e reti in c.a. naturalmente! Tutte le proprietà delle reti valide per il regime continuo (o c.c.) restano valide anche nel regime sinusoidale (o c. a.)

8 e reti in c. a. Potremo estendere quindi al campo dei fasori le diverse tecniche ed i teoremi studiati per il regime continuo. Metodo dei potenziali ai nodi; Metodo delle correnti di maglia; Sovrapponibilità degli effetti; Teoremi del gen. equ. di tensione e di corrente; Teorema di reciprocità e reti in a.c. Vediamo perché! Non valgono i teoremi di non amplificazione; e proprietà di non amplificazione! icordiamo le premesse dei teoremi in questione. Principio di non amplificazione delle tensioni: Se in una rete di bipoli esiste un solo ramo attivo, allora i potenziali dei due nodi a cui il lato attivo si appoggia sono l uno il massimo e l altro il minimo tra tutti i potenziali dei nodi della rete.

9 Non amplificazione delle tensioni anche. Se per un nodo r tutti i prodotti V rs rs delle tensioni e delle correnti che convergono nel nodo stesso - con le convenzioni implicite nell ordine dei pedici - sono maggiori od eguali a zero, il potenziale di tale nodo non può essere né quello massimo né quello minimo tra i potenziali di tutti i nodi della rete. Non amplificazione delle tensioni Ma s s rs = 0 Ma in c.a., anche se tutti i bipoli sono passivi, non si può affermare che v rs (t) i rs (t) 0 per ogni t! r e reti in a.c. Potremo definire N-poli ed n-bipoli di impedenze N-poli ed n-bipoli di impedenze.

10 Due porte avremo quindi, per il doppio dipolo, la matrice delle Z V = Z + Z 2 2 V 2 = Z 2 + Z 22 2 Matrice delle impedenze Due porte e la matrice delle Y. = Y V + Y 2 V 2 2 = Y 2 V + Y 22 V 2 Matrice delle ammettenze Un esempio Proviamo a fare un esempio: il circuito. 2 = mf; = 50 mh; = 0 Ω; 2 = 5Ω; = 20 2 sen(00t).

11 Un esempio e leggi di K. 2 = 20 X = ω = 5Ω X = ω = 0Ω Due equazioni alle maglie; Una equazione ai nodi. Un esempio e equazioni. liminando i si riducono a due. 2 = = + ( 2 + jx ) 2 ( 2 + jx ) 2 = jx 3 = ( )+ ( 2 + jx ) 2 3 = 2 + jx jx 2 Un esempio liminando poi i 3 si ottiene il fasore di i 2 e quindi il suo andamento temporale. = + 2 X + j X X + 2 X 2 = + 2 X + j X X + 2 X 2 = 0 + j0 = 0 2e j π 4 = 2e j π 4 2 i 2 = 20 X = ω = 5Ω X = ω = 0Ω ( t) = 2 sen 00t π 4

12 Un diverso modo Avremmo anche potuto usare la riduzione ad un unica impedenza, vista dal generatore. 2 ( ) ( ) Z = + jx + jx j X X = Z 2 = jx Z 2 + j X X ( ) 2 = + 2 X + j X X + 2 X Un altro esempio Provate a sviluppare quest altro esempio. i r i(t) i(t) = sen(000 t-π/2). = 2 sen(000 t). = 0.5 mf; = mh; = Ω; = 2 Ω; iepilogo della ezione Ancora sul metodo simbolico; Fasori come vettori rotanti; mpedenza ed ammettenza; sercizi.