CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE

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1 CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE CIRCUITO PURAMENTE OHMICO Esaminiamo il comportamento dei circuiti in regime sinusoidale iniziando da un circuito puramente ohmico. Si consideri (figura 1) un circuito costituito da un generatore di tensione alternata sinusoidale e da un resistore ideale, avente come unico parametro la resistenza R, supposta costante. Un utilizzatore di questo tipo è detto puramente ohmico, in quanto presenta soltanto una resistenza elettrica, senza altri parametri induttivi e capacitivi. Comportamento del genere hanno i resistori montati nei circuiti elettronici funzionanti in bassa frequenza e vari utilizzatori elettrici alimentati alla frequenza di rete (50 Hz), come, per esempio, i resistori per riscaldamento. Il generatore fornisce la tensione v(t) alternata sinusoidale, la cui legge di variazione nel tempo è data da:

2 La corrente circolante è data per la legge di Ohm dal rapporto tra la tensione e la resistenza: Indicando con I il valore efficace della corrente e con ΦI la sua fase, uguale a ΦV, l espressione della corrente diventa :

3 Una sinusoide può essere associata a un numero complesso e le operazioni tra le sinusoidi si possono ricondurre a operazioni tra numeri complessi. Questo metodo è detto simbolico e consente di studiare i circuiti interessati da tensioni e correnti isofrequenziali considerando solo i valori efficaci e le fasi delle varie sinusoidi, corrispondenti ai moduli e agli argomenti dei relativi numeri complessi. La rappresentazione simbolica di queste espressioni è la seguente:

4 Potenza elettrica Considerando, per semplicità, nulle le fasi della corrente e della tensione in un circuito puramente ohmico e moltiplicando tra loro le espressioni di v(t) e di i(t), si ottiene la legge che descrive l andamento della potenza, ossia l espressione della potenza istantanea p(t): la potenza è sempre positiva, dato che nella sua espressione compare il quadrato del seno; la potenza è quindi sempre diretta dal generatore verso l utilizzatore; l andamento di p(t) è di tipo periodico, con periodo T p pari alla metà di quello della tensione e della corrente; il valore istantaneo non è costante, ma varia da zero al valore massimo P M = 2 VI; questo significa che il generatore fornisce al resistore una potenza variabile nel tempo, massima quando sia la corrente che la tensione assumono i valori massimi, indipendentemente dal segno, e zero quando sono nulle la tensione e la corrente. Il valore medio della potenza istantanea prende il nome di potenza attiva, si indica con il simbolo P e si misura in watt (W). Per il circuito puramente ohmico si ha, come nel caso della corrente continua: P = V I

5 È bene precisare che l impedenza, pur essendo un numero complesso, non corrisponde a una grandezza sinusoidale. È vero, infatti, che ogni sinusoide può essere associata a un numero complesso, ma non è altrettanto vero il contrario.

6 CIRCUITO PURAMENTE INDUTTIVO Un circuito puramente induttivo si ha quando l utilizzatore ha come unico parametro l induttanza L, come succede quando si alimenta un induttore per il quale si ritengono trascurabili la resistenza elettrica del filamento e le capacità parassite tra le spire. Nella figura 4 è rappresentato un induttore puro, di induttanza L costante, alimentato da un generatore di corrente sinusoidale. La corrente circolante essendo variabile nel tempo provoca nell induttore una f.e.m. di autoinduzione che si oppone alla variazione della corrente stessa, il cui valore considerando il verso concorde con quello della corrente che lo produce è dato dalla relazione : Maggiore è la variazione della corrente (quindi la velocità con cui la corrente aumenta o diminuisce) maggiore è il valore della f.e.m. di autoinduzione, che si oppone alla causa che la produce. Essendo un circuito con una maglia sola :

7 La v(t) e la i(t) in un bipolo puramente induttivo sono sinusoidi aventi la stessa frequenza e fasi diverse, con la tensione in anticipo di 90 rispetto alla corrente. Il rapporto tra il valore massimo della tensione e della corrente dipende dall induttanza e dalla frequenza secondo la relazione : si definisce reattanza induttiva del bipolo il fattore Il reciproco della reattanza è pari al rapporto :

8 è detto suscettanza induttiva e si misura in siemens, che ha la dimensione dell inverso di una resistenza [Ohm-1]. Rappresentando nel piano di Gauss i fasori di tensione e corrente di un bipolo induttivo, si ottiene il diagramma vettoriale : Rappresentazione simbolica Rappresentando la tensione e la corrente sul piano di Gauss si ottengono i vettori sfasati di 90 del diagramma vettoriale di figura c, che possono essere scritti in forma complessa nel seguente modo: Eseguendo il rapporto si ricava l impedenza del bipolo puramente induttivo:

9 La legge di Ohm in forma simbolica si può perciò scrivere :

10 CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO Esaminiamo ora il comportamento di un circuito capacitivo (fig.a) costituito da un generatore di tensione sinusoidale e un condensatore ideale. Supponendo per semplicità che la fase della tensione sia nulla, l espressione della v(t) è data da: Essendo la tensione variabile nel tempo, nel circuito circolerà una corrente i(t), anch essa variabile, data da:

11 In figura è riportato il grafico della v(t) e della i(t). La circolazione della corrente avviene nel circuito esterno al condensatore ed è determinata da una sequenza di fenomeni di carica e scarica. La forma d onda della corrente è sempre una sinusoide avente la stessa frequenza della tensione, ma sfasata in anticipo di 90. L espressione della corrente è : Il rapporto tra il valore massimo della corrente e della tensione dipende dalla capacità e dalla frequenza secondo la relazione :

12 Si definisce suscettanza capacitiva del bipolo il fattore : Il reciproco della suscettanza, pari al rapporto V/I, costituisce la reattanza capacitiva ed è data da : Rappresentando sul piano di Gauss la tensione e la corrente del bipolo capacitivo, otteniamo il diagramma vettoriale : In forma simbolica abbiamo eseguendo il rapporto si ricava l impedenza del bipolo puramente capacitivo:

13 La legge di Ohm in forma simbolica si può perciò scrivere: