1. Andamenti transitori di carica e scarica di un condensatore in termini di tensione e corrente

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1 Risposte alle domande di teoria 1. Andamenti transitori di carica e scarica di un condensatore in termini di tensione e corrente Il transitorio è un processo elettrico che descrive tramite una funzione come i bipoli conservativi raggiungono la condizione di regime, ovvero come da una condizione di equilibrio vengono portati ad un altra. Il condensatore ha la capacità di accumulare tensione, la tensione è la sua variabile di stato mentre la corrente è la variabile libera. Tramite la risoluzione dell equazione differenziale ottengo: x(t) = [x(0) x( )] e -t/τ + x( ) con x(t) == v(t) che mi permetterà di risolvere il transitorio di carica e scarica e quindi di conoscere l andamento della funzione tensione in ogni istante. 2. Spiegare il metodo risolutivo delle correnti di maglia per le reti elettriche Il metodo delle correnti di maglia è applicabile solo a circuiti planari con generatori di corrente ed è possibile, per un circuito formato di n anelli ed m generatori di corrente, n-m equazioni in n-m variabili indipendenti. -Si definisce il verso delle correnti per ciascun anello e i versi delle tensioni su ogni bipolo. -Si scrivono le LKT per gli anelli -Dal sistema di n-m equazioni è possibile ricondursi ad una matrice del tipo: 3. Illustrare il metodo risolutivo dei transitori del I ordine: il caso ohmico-capacitivo. Esempio. I transitori del primo ordine sono particolari situazioni nelle quali avviene il processo di carica o scarica di un bipolo conservativo. Nel caso di un circuito ohmico-capacitivo siamo in presenza di un condensatore e di una resistenza, vogliamo quindi ad esempio studiare il transitorio di scarica. -Partiamo quindi da una condizione nella quale il condensatore è carico, esso avrà ai suoi capi una tensione fornita dal circuito e di conseguenza dai vari collegamenti tra generatori e resistori -All istante t* avverrà l apertura di un interruttore che cambierà quindi la condizione di equilibrio -In corrispondenza della perturbazione inizierà il transitorio che vedrà la variabile di stato evolvere come un esponenziale e che potrà considerarsi terminato dopo 5*τ

2 4. Trasformazione delle sorgenti in regime costante: A. Introdurre il legame costitutivo e la caratteristica grafica (dettagliandone le proprietà nei punti di lavoro estremi: generatore a vuoto e generatore in corto circuito) di un generatore reale di tensione B. Introdurre il legame costitutivo e la caratteristica grafica (dettagliandone le proprietà nei punti di lavoro estremi: generatore a vuoto e generatore in corto circuito) di un generatore reale di corrente C. Introdurre e dimostrare la trasformazione dalla rappresentazione serie (generatore di tensione) a quella parallelo (generatore di corrente) A. Il bipolo attivo generatore di tensione ha un legame costitutivo del tipo: -Il funzionamento a vuoto è rappresentato dalla condizione per la quale la corrente è nulla, nel punto in cui v 0=v s -Il funzionamento in cto-cto è rappresentato dall intercetta con l asse delle ascisse poiché i capi del generatore reale sono allo stesso potenziale e la corrente è calcolata come i=v s/r B. Il bipolo attivo generatore di corrente ha un legame costitutivo del tipo: -Il funzionamento a vuoto è rappresentato dall intercetta con le ordinate, infatti la corrente erogata è nulla perché quella fornita dal generatore ideale è totalmente dissipata nella resistenza interna -Il funzionamento in cto-cto è descritto dall intercetta con le ascisse, infatti la differenza di potenziale è nulla poiché i nodi sono collegati direttamente, la corrente erogata è pari a quella nominale del generatore ideale. C. E sempre possibile trasformare un generatore di tensione in uno di corrente se è valida la relazione V s = R*i s 5. Dettagliare la risoluzione di reti elettriche tramite il metodo dei potenziali nodali: A. introdurre le ipotesi di calcolo B. esemplificare (con una rete opportuna, a scelta dello studente) il procedimento, precisando le convenzioni di misura adottate C. dettagliare l approccio risolutivo tramite metodo matriciale costruito per ispezione A. Per applicare il metodo dei potenziali nodali nel circuito non devono essere presenti generatori di tensione, se sono presenti serve equivalentarli a generatori Norton. Viene scelto un nodo e posto a potenziale nullo. Uso questo metodo se (N-1) < 2L B. C. -Scrivo le equazioni LKC per tutti gli N-1 nodi che ho scelto -Scrivo in una matrice i coefficienti come sono scritte nel sistema -Moltiplico la matrice dei coefficienti per il vettore dei potenziali nodali -Il risultato dell uguaglianza sarà la matrice delle correnti date dai generatori

3 6. Legame costitutivo ai capi di un condensatore in regime variabile A. dettagliare il legame costitutivo di un condensatore in regime variabile B. particolareggiare il legame costitutivo nel caso di regime PAS C. dettagliare il concetto di reattanza equivalente del condensatore, esplicitando le relazioni fra i fasori delle variabili elettriche A. Il legame costitutivo di un condensatore in regime variabile è del tipo: Per la sua natura di bipolo conservativo la sua carica varia esattamente come la forzante a meno di un fattore di scala e di un angolo di fase, infatti si ha che: Sappiamo però che: Quindi: B. Sopra C. La reattanza equivalente del condensatore è la parte puramente immaginaria e negativa dell impedenza che rappresenta il condensatore. La reattanza è calcolata come: X c = -1/ωC e dipende dalla pulsazione della forzante, come si vede nel legame costitutivo. 7. Teorema del massimo trasferimento di potenza in regime stazionario: A. dettagliare, per una rete in configurazione di maglia minima la massima potenza trasferibile al carico ipotizzando noti e costanti la tensione e la resistenza del generatore equivalente di Thevènin (visto ai morsetti del carico stesso) B. dettagliare, per la stessa rete introdotta in precedenza, la massima potenza trasferibile nel caso in cui sia nota la resistenza del carico e variabile la resistenza del generatore equivalente di Thèvenin (in altre parole, calcolare la resistenza del generatore equivalente, tale da massimizzare il trasferimento di potenza al carico) A. Il teorema del massimo trasferimento di potenza trova la soluzione a un problema di carattere fisico come è quello di trovare la potenza massima che il carico al quale è collegato un generatore reale è in grado di assorbire. Sia l espressione della potenza al carico L: P L = R L * i 2 e sia la corrente circolante i = E/(R L + R T) La potenza sarà quindi espressa come: P L = R L * [E/(R L + R T)] 2 Basterà risolvere il problema di massimizzazione ponendo la derivata della potenza rispetto al carico pari a zero e con calcoli banali si troverà che il carico che massimizza la potenza assorbita deve essere pari alla resistenza interna del generatore. B. Il problema inverso è di più facile risoluzione, infatti basta annullare la resistenza interna del generatore in modo da non avere dissipazioni al suo interno e si avrà quindi che tutta la potenza fornita dal generatore sarà assorbita dal carico.

4 8. Induttori e transitori del primo ordine di tipo ohmico-induttivo: A. illustrare come è possibile realizzare operativamente un solenoide; B. ricavare l espressione della variabile di stato nel tempo del tr. di carica; C. scrivere il bilancio energetico del tr. di carica A. Un solenoide non è altro che un avvolgimento di più spire di un filo conduttore di corrente attorno ad un materiale che può essere: isolante o ferromagnetico. La funzione di un solenoide è quello di generare un campo magnetico dove immagazzinare corrente sotto forma di campo magnetico per poi essere usata quando richiesta. B. La variabile di stato per un induttore è la corrente, prendendo come istante iniziale del transitorio t 0 e come istante finale t, viene calcolata come: i(τ) = dove I 0 rappresenta tutto ciò che è accaduto al circuito da tempo infinito fino all istante t 0. C. Nel transitorio di carica l induttore immagazzina potenza e tale quota di potenza immagazzinata in ogni istante è pari alla derivata dell energia interna: Si avrà quindi: 9. Si consideri una rete costituita da N nodi e L lati: A. disegnare la rete chiarendo quali/quanti sono i nodi e quali/quanti sono i lati; B. illustrare la soluzione di tale rete mediate il metodo generale di soluzione delle reti elettriche: C. quante/quali incognite è necessario trattare? D. quante/quali equazioni servono? Come si ottengono? E. esistono metodi più compatti (che richiedono meno equazioni)? Quali? A. B. Data una rete costituita da N nodi e L lati si hanno 2L incognite poiché saranno incognite le correnti e le tensioni di ogni lato, serviranno quindi 2L equazioni indipendenti -Per ogni lato è possibile scrivere una equazione costitutiva (2L L)incognite -LKC a (N-1) nodi (L N + 1) incognite -LKT alle maglie indipendenti per soddisfare la richiesta di eq. (2L 2L) incognite D. Ci sono altri metodi oltre a quello del tableau sparso descritto prima per risolvere le reti elettriche, per esempio il metodo dei potenziali nodali o quello delle correnti agli anelli -Pot. Nodali. : data una rete con N nodi e M gen. Tensione si possono scrivere N-M+1 equazioni per risolvere la rete tramite LKC indipendenti una dall altra ed esprimendo le correnti su ogni lato come differenza di potenziale tra in nodi di interesse fratto la resistenza a cui va sommata la corrente fornita dai generatori di corrente nel modo seguente

5 Vengono poi scritte in una matrice: -Tramite il metodo delle correnti agli anelli è possibile scrivere N-M equazioni indipendenti per una rete costituita da N anelli e M generatori di corrente. Esso è applicabile a reti esclusivamente planari Vengono quindi scritte LKT per gli anelli scelti dando un verso di percorrenza della corrente Dal sistema di N-M equazioni è possibile ricavare le correnti di anello: 10. Grandezze stazionarie e variabili nel tempo A. Illustrare i concetti di grandezze alternate, a valor medio nullo, sinusoidali B. Introdurre il concetto di valore efficace A. I sistemi elettrici che vengono usati di norma sono governati da grandezze alternate sinusoidali a media nulla, questo per caratteristiche tecniche di non poco conto come la possibilità di trasportare corrente elettrica a grandi distanze a differenza delle reti elettriche in corrente continua. L andamento della corrente e della tensione è del tipo: Come si vede, la media di tale segnale è pari a zero B. Il valore efficace è molto importante poiché, presa una rete in regime PAS, la potenza dissipata su una resistenza è pari alla potenza che la resistenza dissiperebbe se fosse soggetta ad un carico di tipo continuo con valore di corrente pari al valore efficace. Il valore efficace dipende dal segnale di picco della sinusoide, quindi dalla massima ampiezza; si calcola come A M/ 2

6 11. Equivalentazione di circuiti: A. enunciare il teorema di Thevenin B. fornire un esempio di applicazione del teorema di Thevenin C. discutere la applicabilità di detto teorema in presenza di carichi non lineari A. Se guardata dal carico (bipolo), ogni rete composta da sorgenti ideali di corrente e tensione e da resistori lineari, può essere rappresentata da un circuito equivalente composto da una sorgente ideale di tensione V T in serie con una resistenza equivalente R T. Tale bipolo viene chiamato GENERATORE EQUIVALENTE DI THEVENIN B. Presa la rete in esempio: -Si calcola la resistenza equivalente vista alla porta a-b -Si calcola la tensione equivalente vista alla porta a-b C. Il teorema di Thevenin è usato quando interessa calcolare alcune grandezze solo su una parte di circuito o quando una parte di circuito è non lineare. Viene usato quindi isolando la parte non lineare del circuito e si calcola l equivalente Th ai suoi capi. L equivalente Th non può essere calcolato dei bipoli non lineari proprio perché non sono lineari e si perderebbero le caratteristiche di suddetti bipoli nell equivalentazione. 12. Equivalentazione di circuiti: A. enunciare il teorema di Norton B. fornire un esempio di applicazione del teorema di Norton C. discutere la applicabilità di detto teorema in presenza di carichi non lineari A. Se guardata dal carico (bipolo), ogni rete composta da sorgenti ideali di corrente e tensione e da resistori lineari, può essere rappresentata da un circuito equivalente composto da una sorgente ideale di corrente i T in parallelo con una resistenza equivalente R N. Tale bipolo viene chiamato GENERATORE EQUIVALENTE DI NORTON B. Presa la rete in esempio: -Si passivizza il circuito e si calcola la resistenza equivalente alla porta a-b -Si pone la porta a-b in cto-cto e si calcola la corrente in quel ramo, essa sarà la caratteristica del generatore di corrente C. Uguale a sopra 13. Principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti: A. enunciare il principio; B. illustrarne l applicazione mediante un esempio numerico; C. discuterne l applicazione in presenza di componenti di rete non lineari mediante un ulteriore esempio A. In un circuito contenente N sorgenti, la tensione e la corrente in ciascun ramo è data dalla somma di N tensioni e correnti, ciascuna delle quali può essere calcolata ponendo pari a zero tutte le sorgenti tranne una e risolvendo il circuito che contiene quella unica sorgente. B. C. Il PSCE non può essere usato in presenza di elementi non lineari poiché è un metodo puramente lineare.

7 14. Transitori RC A. ricavare l equazione dell andamento nel tempo della tensione durante la carica di un condensatore B. graficare tale andamento C. graficare l andamento della corrente e motivare le differenze A. Sappiamo che per i condensatori vale la relazione costitutiva: q(t) = C * v(t) Sappiamo inoltre che la corrente è legata alla carica: i(t) = dq(t)/dt La corrente in un condensatore sarà quindi: La tensione ai capi del cond sarà l inversa della precedente: Presa una rete a maglia minima e scrivendo LKT relativa si avrà un equazione differenziale del tipo: che ha come soluzione nell incognita v(t): B. C. E chiaro che, essendo la corrente la derivata nel tempo della tensione, essa avrà un andamento nel tempo di questo tipo ( Come impulso iniziale ) 15. Transitori RL A. ricavare l equazione dell andamento nel tempo della corrente durante la carica di un induttore B. graficare tale andamento C. graficare l andamento della tensione e motivare le differenze A. Sapendo che la tensione è, per la relazione costitutiva degli induttori, la derivata nel tempo della corrente circolante possiamo scrivere l equazione differenziale che governa tale transitorio: B. Vedi sopra Che avrà come soluzione: