Transitori nelle reti ad una costante di tempo. Lezione 6 1

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1 Transitori nelle reti ad una costante di tempo Lezione 6 1

2 Circuito con amplificatore Calcolare v(t) vt () = v(0 ), t< 0 [ ] t τ vt () = v(0 ) V e + V, t> 0 + Continuità della tensione sul condensatore Lezione 6 2

3 Interruttore non ancora attivato 1/2 Condizioni iniziali dello stato e dell uscita: in t=0- la rete è a regime (stazionario) Il condensatore è in una parte di rete senza generatori Il condensatore equivale ad un corto circuito Lezione 6 3

4 Interruttore non ancora attivato 2/2 v C (0 ) = 0 v(0 ) = 0 Lezione 6 4

5 Valori iniziali 1/2 Valori iniziali dello stato e dell uscita: in t=0 + la rete è in funzionamento dinamico il condensatore è un corto circuito: v C (0 ) = v (0 ) = 0 + C Lezione 6 5

6 Valori iniziali 2/2 Tensione differenziale ingresso amplificatore nulla: v (0 ) = 10 = v (0 ) = v(0 ) = 10 V M + N + + Lezione 6 6

7 Costante di tempo 1/3 Costante di tempo: rendere inerte la rete sostituire il condensatore con un generatore di corrente i p calcolare R e =v p /i p Lezione 6 7

8 Costante di tempo 2/3 Sovrapposizione effetti: 25 vn = ip+ vu = vm = v u = 20i p v = i v = i + 20 i = 20 i p p u p p p Lezione 6 8

9 Costante di tempo 3/3 Resistenza equivalente: R e v p = = 20 kω i p 3 6 e Lezione 6 9 Costante di tempo: τ = R C = = 1 s

10 Valori finali 1/2 Valore finale uscita: il condensatore è un circuito aperto v = 10 = v 25 = v v 45 = 10 = 18 V 25 Lezione 6 10

11 Valori finali 2/2 Transitorio dell uscita: ( v(0 ) = 10, V = 18, τ = 1) t vt () = 8e + 18 [ V], t> 0 + Lezione 6 11

12 Transitori nelle reti ad una costante di tempo Lezione 6 12

13 Circuito con generatore pilotato Calcolare i x (t) i () t = i (0), t< 0 x x [ ] t τ i () t = i (0) I e + I, t > 0 x x + x x Continuità della corrente sull induttore Lezione 6 13

14 Condizioni iniziali 1/2 Condizioni iniziali dello stato e dell uscita: in t=0- la rete è a regime (stazionario) l induttore è in serie con un circuito aperto: i (0 ) 0 L = Lezione 6 14

15 Condizioni iniziali 2/2 Equazione nodo M: i (0 ) + 2 i (0 ) = 0 i (0 ) = 0 x x x Lezione 6 15

16 Valori iniziali 1/2 Valori iniziali dello stato e dell uscita: in t=0 + la rete è in funzionamento dinamico l induttore equivale ad un circuito aperto: i (0 ) = i (0 ) = 0 L + L Lezione 6 16

17 Valori iniziali 2/2 Equazione nodo M: i (0 ) + 2 i (0 ) = 0 i (0 ) = 0 x + x + x + Lezione 6 17

18 Costante di tempo 1/3 Costante di tempo: Rendere inerte la rete Sostituire l induttore con un generatore di corrente i p Calcolare R e =v p /i p Lezione 6 18

19 Costante di tempo 2/3 Equazione nodo M: 1 i + 2i + I = 0 i = I 3 x x p x p Lezione 6 19

20 Costante di tempo 3/3 i x = 1 3 I p Equazione maglia: v R p = v + 1 I = 2i + I = M p x v 5 L 9 = = Ω, τ = = s p e ip 3 Re 5 Lezione 6 20 p 5 3 I p

21 Valori finali 1/2 Valore finale uscita: L induttore è un corto circuito (regime stazionario) 1 (3 I ) = 5 2( I ) I x x = 1 A x Lezione 6 21

22 Valori finali 2/2 Transitorio dell uscita: 5 t 9 i () t = e + 1 [ A], t > 0 x 9 ( ix(0 + ) = 0, Ix = 1, τ = s) 5 Lezione 6 22

23 Transitori nelle reti ad una costante di tempo: Ingressi Sinusoidali Lezione 6 23

24 Formula 1/2 Formula del transitorio nel caso di ingressi sinusoidali le costanti di tempo non cambiano il valore finale è sostituito con il termine di regime il termine di regime è sinusoidale ed isofrequenziale con gli ingressi esso si calcola con il calcolo simbolico. Lezione 6 24

25 Formula 2/2 termine di regime τ yt () = y(0 + ) yp(0) e + yp() t valore iniziale t Lezione 6 25

26 Esempio 1/8 Nella rete l ingresso è sinusoidale. Calcolare i(t) τ it () = i(0 + ) ip(0) e + ip(), t t> 0 t Lezione 6 26

27 Esempio 2/8 in t=0- la rete funziona a regime (sinusoidale) Nel dominio dei fasori : Il condensatore e modellato con l impedenza j0.5 il fasore dell ingresso vale -2 j Lezione 6 27

28 Esempio 3/8 Condizione iniziale dello stato e dell uscita: j0.5 VC = ( j 2) = 0.47 j 0.12 V 2 j0.5 [ ] v C jω t (0 ) = Re Vce = [ V ] = Re = 0.47 V c t = 0 it ( ) = 0.235cos(2 t) 0.941sin(2 t) t< 0 2 j i(0 ) = Re[ I] = Re[ ] = A 2 j0.5 Lezione 6 28

29 Esempio 4/8 Situazione della rete in t=0 + : e(0)=0 la rete non è degenere: vc(0 + ) = vc(0 ) = 0.47V Lezione 6 29

30 Esempio 5/8 Valore iniziale dell uscita: 1 1 v (0 ) (0 ) C + i + = = A i(0 ) = 0.235A Lezione 6 30

31 Esempio 6/8 Costante di tempo R = = 1.5 Ω, C = 1F e τ = RC= e 1.5 Lezione 6 31 s

32 Esempio 7/8 Termine di regime dell uscita (dominio dei fasori): 2 j I p = = 0.1 j1.3 [ A] 1 + (1 j0.5) 1 jω t i () t = Re[ I e ] = p j2t = Re[(0.1 j1.3) e ] = p 0.1cos(2 t) + 1.3sin(2 t) [ A] (0) = 0.1[ A] p Lezione 6 32 i

33 Esempio 8/8 Transitorio dell uscita: t 1.5 it ( ) = ( ) e + 0.1cos(2 t) + 1.3sin(2 t) [ A], t > 0 Lezione 6 33

34 Grafico di i(t) per tutti i valori di t. La linea in rosso rappresenta il transitorio Discontinuita di i(t) in t=0 Lezione 6 34

35 Transitori nelle reti ad una costante di tempo Lezione 6 35

36 Metodo 1/4 Presenza nella rete di interruttori che si aprono (chiudono) e si richiudono (riaprono) in istanti successivi Caso trattato: Ingressi in continua (costanti nel tempo) Lezione 6 36

37 Metodo 2/4 Nell intervallo t i t i+1 relativo ad ogni fase di funzionamento: integrale particolare t t ( ) τ i i pi pi i i+ 1 xt () = xt ( ) X e + X, t t t valore all'istante iniziale dell'intervallo i Lezione 6 37

38 Metodo 3/4 t t ( ) τ i i pi pi i i+ 1 xt () = xt ( ) X e + X, t t t i Le variabili di stato sono continue negli istanti in cui finisce una fase e comincia la fase successiva La costante di tempo può cambiare da una fase all altra Lezione 6 38

39 Metodo 4/4 L integrale particolare X pi dipende dalla fase considerata e può essere calcolato supponendo che tale fase duri abbastanza per poter raggiungere il regime stazionario Lezione 6 39

40 Esempio 1/7 L interruttore si apre nell istante t=0 e si richiude nell istante t=0.4 s. calcolare v C (t) Lezione 6 40

41 Esempio 2/7 Presenza di tre fasi di funzionamento: fase 1: t<0: la rete è in regime stazionario fase 2: 0<t<0.4: la rete è in fase transitoria ma non raggiunge il regime fase 3: t>0.4: la rete è in fase transitoria ma raggiunge il regime Lezione 6 41

42 Esempio 3/7 Fase 1: t<0. La parte di rete dove è inserito il condensatore è inerte: v () t = 0, t 0 (0 ) = 0 Lezione 6 42 v C C

43 Esempio 4/7 Fase 2: ( ) τ1 + 0 t 0.4: v ( t) = v (0 ) V e + V, C C p1 p1 t Valore iniziale v C (0 ) = v (0 ) = 0 + C Costante di tempo R = 3+ 2 = 5Ω τ = CR = 0.5s Lezione 6 e1 1 e1 43

44 Esempio 5/7 Fase 2: Integrale Particolare V V V p1 = 1 = 10 t 0.5 Transitorio v ( ) 10 10, Lezione 6 C t = e + t 44

45 Esempio 6/7 t 0.4 τ C C p2 p2 t 0.4 : v ( t) = v (0.4 ) V e + V, Fase 3: ( ) 2 + Valore iniziale: v v e V 2 (0.4 ) (0.4 ) 10(1 t C + = C = ) = 5.5 t = 0.4 Costante di tempo: R = 2Ω τ = CR = 0.2s e2 2 e2 Lezione 6 45

46 Esempio 7/7 Integrale particolare: V V V p 2 = 2 = 0 t 0.4 Transitorio: 0.2 v ( ) 5.5, 0.4 Lezione 6 C t = e t s 46

47 Transitori nelle reti ad una costante di tempo Lezione 6 47

48 Teorema 1/2 Nelle reti non degeneri se in determinato istante sono noti gli ingressi e le variabili di stato, in quello stesso istante si può calcolare qualsiasi uscita della rete Lezione 6 48

49 Teorema 2/2 Le equazioni che esprimono l uscita in funzione dello stato e dell ingresso si chiamano equazioni di uscita lavorando nel dominio del tempo, nelle reti non degeneri, conviene sempre calcolare le evoluzioni temporali delle variabili di stato vantaggio: le variabile di stato sono continue e comunque a partire da esse, le uscite si calcolano con l equazioni di uscita Lezione 6 49

50 Esempio 1/4 Ingressi: e,a Variabili di stato : v C, i l Uscite: v 4,i 1,i 2 Lezione 6 50

51 Esempio 2/4 Sostituire condensatori con generatori di tensione Sostituire induttori con generatori di corrente Lezione 6 51

52 Esempio 3/4 La sovrapposizione degli effetti dovuti ai generatori equivalenti associati alle variabili di stato ed ai generatori associati agli ingressi porge le equazioni: R RR v t = v t + a t () C () () R3 + R4 R3 + R4 1 R 1 i t = e t + i t v t 2 1() () L() C() R1+ R2 R1+ R2 R1+ R2 1 R 1 i t = e t i t v t 1 2() () L() C() R1+ R2 R1+ R2 R1+ R2 Lezione 6 52

53 Esempio 4/4 Le equazioni precedenti definiscono le equazioni dell uscita delle rete considerata. Lezione 6 53