Capitolo VIII Dinamica dei circuiti di ordine superior e

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Marco Gianfranco Mauri
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1 Capitolo VIII Dinamica dei circuiti di ordine superior e Nei capitoli precedenti abbiamo già esaminato, partendo da alcuni classici esempi, gli aspetti salienti della soluzione di una rete elettrica in regime dinamico qualsiasi; proviamo qui a riepilogarli. Sia data una rete con l lati ed n nodi, alimentata da generatori di tensione e corrente con evoluzione temporale qualsiasi - ma non controllati - composta da bipoli resistivi, induttivi e capacitivi le cui caratteristiche non variano nel tempo - si dirà che la rete è tempoinvariante. Desiderando conoscere l'evoluzione temporale delle grandezze elettriche - tensioni e correnti - dei singoli bipoli, a partire da un determinato istante iniziale t 0 - istante in cui è noto lo stato della rete, e cioè le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori - si procede alla maniera seguente: Utilizzando le leggi di Kirchhoff si scrivono n-1 equazioni ai nodi ed l-(n-1) equazioni alle maglie; dato che le caratteristiche dei bipoli, in generale, esprimono legami differenziali tra tensioni e correnti, il sistema che ne deriva sarà di l equazioni differenziali lineari, se i bipoli presenti sono appunto lineari. Mediante successive operazioni di sostituzione, ed eventuale differenziazione, si ricava dal sistema di partenza una unica equazione differenziale in una delle

2 226 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica incognite in precedenza scelta; il grado dell'equazione sarà pari al numero di bipoli "a memoria" - induttori e condensatori - presenti nella rete. Quest'ultima affermazione andrebbe dimostrata; noi la consideriamo tale sulla base di una semplice considerazione di carattere fisico: se ciò non fosse vero il numero di condizioni iniziali assegnate non sarebbe adeguato alla soluzione del problema. Naturalmente due condensatori in parallelo, o due induttori in serie, vanno contati come un unico componente; del resto, nei due casi, la condizione iniziale e unica! La soluzione dell'equazione così determinata si ottiene aggiungendo all'integrale generale della equazione omogenea associata, una soluzione particolare della equazione completa. L'integrale generale dell'omogenea associata, se le radici sono tutte distinte, sarà del tipo: dove le α r sono le radici del polinomio caratteristico associato all'equazione differenziale; tali radici possono essere complesse, ed in tal caso si avranno fenomeni oscillatori. Nel caso in cui si hanno radici coincidenti, la soluzione dell'omogenea ha una espressione diversa. Ad esempio se la radice k-esima ha molteplicità g k, l'integrale dell'omogenea è del tipo: In ogni caso la parte reale delle radici non potrà mai essere positiva, in quanto le soluzioni non potranno mai crescere esponenzialmente nel tempo; al limite, in reti prive di resistenze, le radici potranno essere puramente immaginarie, dando luogo ad oscillazioni permanenti. Per quanto riguarda la soluzione particolare della completa, abbiamo già visto come sia possibile determinary 0 t = p r =1 y 0 t = n r=1 m A r e α r t A r e α rt+ B k,r t r-1 e β kt. (VIII.2) g k k = 1 r =1 (VIII.1)

3 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica 227 la quale soluzione a regime nei due casi in cui i generatori sono tutti costanti - regime continuo - o di tipo sinusoidale, tutti con la stessa frequenza - regime sinusoidale, correntemente detto anche regime alternativo. Naturalmente il procedimento può essere esteso a regimi periodici di altro tipo: basta assumere che la soluzione di regime abbia lo stesso andamento periodico dei generatori, inserire tale soluzione nella equazione differenziale e, imponendo che essa sia soddisfatta, ricavare i parametri da cui dipende la soluzione stessa. La soluzione generale così ottenuta, somma di quella dell'omogenea e della soluzione particolare, dipende dalle costanti A r presenti nella soluzione della omogenea. A questo punto entrano in gioco le condizioni iniziali sulle grandezze di stato che, essendo proprio in numero pari al grado dell'equazione differenziale risultante, forniscono un adeguato numero di equazioni per determinare le costanti A r. Naturalmente va ricordato che, non essendo in generale le condizioni iniziali fornite direttamente come valori della grandezza che si è scelta come incognita e delle sue derivate nell'istante iniziale, ma come valori delle correnti negli induttori e tensioni sui condensatori, occorrerà da questi ultimi ricavare quelli relativi alla grandezza prescelta. Un procedimento generale che consente di effettuare questo passaggio, consiste nel valutare le equazioni, scritte per imporre il rispetto delle leggi di Kirchhoff, all'istante iniziale: in tali equazioni compaiono, come termini noti, sia le tensioni e correnti dei generatori che le correnti negli induttori e le tensioni sui condensatori; da esse sarà possibile ricavare il valore di ogni altra grandezza all'istante iniziale, come abbiamo già fatto vedere nei casi sviluppati. Questo in sintesi il procedimento generale per risolvere una rete lineare tempo-invariante in regime qualsiasi. Un esempio chiarirà meglio i vari passi della procedura. Ci limiteremo a descriverli riducendo al minimo i commenti.

4 228 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica Consideriamo la rete mostrata in figura; essa, prima dell'apertura dell'interruttore in serie al generatore e 1 e della chiusura di quello in serie ad e 2, funziona in regime stazionario. All'istante t=0 cambia la topologia e quindi il funzionamento della rete. Per determinare le condizioni iniziali occorre risolvere la rete a regime per t<0. Utilizzando il metodo fasoriale si ha immediatamente: V c = E R R + - j X, c R + j X L R + j X L - X c I L = E 1 R + - j X c R + j X L R + j X L - X c - j X c R + j X L - X c. (VIII.3) Dove: E 1 = 100 5e - j 0,463 = j, E 2 = 100 5e j 0,463 = j, (VIII.4) sono i fasori rappresentativi delle tensioni dei generatori. Introducendo i valori numerici:

5 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica 229 V c = E j 2 - j = j, I L = j E j = - j 10. (VIII.5) Ritornando al dominio temporale: v c t = 200 sen 100 t - π 4, i L t = sen 100 t + π 2. (VIII.6) Le condizioni iniziali sono, dunque: v c 0 = 200 sen - π 4 = , i L 0 = sen π 2 = (VIII.7) Per determinare l'evoluzione per t>0 applichiamo la LCK e la LTK al circuito nella sua configurazione finale: Con alcuni semplici passaggi si ricava l'equazione risole 2 = R i 2 + L di L dt, L di L dt = R i c + v c, i 2 = i L + i c, (VIII.8) i c = C dv c dt.

6 230 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica vente nella tensione sul condensatore: d 2 v c dt + R + 1 dv c 2 2L 2RC dt (VIII.9) v c 2 LC = 1 de 2 2RC dt. La VIII.9 è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e non omogenea (si noti che, come previsto, l'ordine dell'equazione è uguale al numero di bipoli a memoria presenti nella rete). Il polinomio caratteristico associato alla (VIII.9) è: con radici: α α = 0, α r + j β = - 50 ± j 50. La soluzione dell'omogenea associata è del tipo: v c0 t = A e - 50 t sen 50 t + γ. (VIII.10) (VIII.11) (VIII.12) Resta da calcolare la soluzione di regime che si trova facilmente con il metodo fasoriale: V cp = E 2 R+ j X L R-j X c R+j X L -X c jx L -jx c R+j X L -X c. (VIII.13) Inserendo i valori: V cp = E j e nel dominio del tempo: v cp t = sen 100 t. L'integrale generale della completa è dunque: v c t = Ae -50 t sen 50t+γ sen 100 t. = 100, (VIII.14) (VIII.15) (VIII.16) Per determinare le costanti A e γ occorre sfruttare le

7 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica 231 condizioni iniziali. La prima è data direttamente sulla tensione del condensatore e fornisce: Per la la seconda basta scrivere la LKC e la LKT all'istante iniziale; sottraendo infatti la seconda delle (VIII.8), valutata all'istante zero, dalla prima, si ottiene una relazione da cui è facile ricavare il valore della derivata della tensione sul condensatore all'istante iniziale: Dalla (VIII.17) e dalla (VIII.18) si ricava facilmente: L'andamento della soluzione è mostrato nell'ultima figura; dopo alcune oscillazioni transitorie, la tensione sul condensatore si assesta al suo andamento sinusoidale di regime. Esercizi v c 0 = A sen γ = i c 0 = C dv c = e 2 0 -v c 0 -Ri L 0. (VII.41) dt t = 0 2 R A V; γ = 1.1 rad. (VII.42) Le potenze totali assorbite dal carico trifase del primo esercizio sono: P a(tot) = 8,99 kw, P (tot) = 9,04 kw, mentre l'indicazione dell'amperometro è: I = 13,7 A. (VIII.17) Per il trifase di cui allo schema successivo, l'indicazione dell'amperometro è: I 4,73 A.

8 232 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica Lo spostamento del centro stella è risultato pari a: V O'O = 126,8 e j π 6. La capacità necessaria per rifasare il carico del terzo esercizio è pari a: C = 23 µf. Si è supposto di disporre i condensatori di rifasamento a triangolo. Nei due ultimi problemi proposti si richiede di determinare l'evoluzione dei circuiti durante un transitorio. Nel primo caso il forzamento è in continua e la chiusura di un interruttore aggiunge, in parallelo al condensatore, un nuovo resistore. Nel secondo caso, due interruttori agiscono sincronamente, l'uno in apertura e l'altro in chiusura. Un condensatore viene così aggiunto al circuito.

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