R e R L. La soluzione per i(t) é quindi identica alla soluzione per Q(t) nel caso di un circuito RC, a meno delle dette sostituzioni:

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1 Circuiti L/LC Circuiti L La trattazione di un circuito L nel caso in cui venga utilizzato un generatore di tensione indipendente dal tempo é del tutto analoga alla trattazione di un circuito C, nelle stesse condizioni. La differenza principale sta nel fatto che mentre nel circuito C man mano che il condensatre si carica, la differenza di potenziale ai suoi capi aumenta, fino a diventare uguale alla forza elettromotrice del generatore (e a quel punto la corrente che passa nel circuito si annulla), nel caso di un circuito L la tensione ai capi dell induttanza é grande quando la variazione di corrente é grande: per t, la corrente raggiunge un valore costante e a quel punto l induttanza L non produce alcun effetto, ed il circuito si comporta come se ci fosse solo la resistenza ( i = ε/). Per la soluzione del problema del circuito L si puó sfruttare l analogia con le equazioni del circuito C: Circuito C : ε V c i = 0 (V c = Q C ) ε C Q dq dt = 0 Circuito L : ε i V L = 0 (V L = L di ) ε i Ldi dt dl = 0 Le due equazioni sono formalmente identiche, con le sostituzioni Q i, C e L. La soluzione per i(t) é quindi identica alla soluzione per Q(t) nel caso di un circuito C, a meno delle dette sostituzioni:. Processo di carica: Corrente nel circuito: i(t) = ε ( exp{ t/l}) Differenza di potenziale sulla resistenza : V (t) = i = ε( exp{ t/l}) Differenza di potenziale sull induttanza : V L (t) = L di dt = ε exp{ t/l}. Processo di scarica: Corrente nel circuito: i(t) = i(t = 0) exp{ t/l} Differenza di potenziale sull induttanza: V L (t) = L di dt = i(t = 0) exp{ t/l} Differenza di potenziale sulla resistenza : V (t) = i = i(t = 0) exp{ t/l} Esercizi preliminari Esercizi relativi ai processi di carica e scarica di un circuito C Esempi tratti da esercizi di esame Esame 7//00 Si consideri il circito L disegnato in figura. Si assuma che al tempo t = 0 l interruttore venga chiuso. Si chiede dopo quanto tempo la differenza di potenziale fra A e B è di 5 V. Dati: f = 5V, = 5Ω, L = 45mH

2 La differenza di potenziale ai capi dellla resistenza vale, per la legg edi Ohm, V AB = i. Per sapere il tempo t per il quale V AB = 5V, occorre qindi trovare il tempo per il quale i = V AB / = /3A. Per questosi scrive l equazione della maglia: f i L di dt = 0 che, con la condizione i(0) = 0 (all istante iniziale l interruttore è aperto,e quind non passa corrente) ha come soluzione i(t) = f ( e t/τ ) dove τ = L/ = 0.003s. Imponendo i( t) = /3A si ottiene allora ( t = τln i ) =.ms f Esame /003 Si consideri il circuito in figura. Inizialmente l interruttore è nella posizione e non scorre corrente nel circuito. Al tempo t = 0, l interruttore viene spostato sulla posizione e comincia a scorrere una corrente i. Ad un tempo t, l interruttore viene spostato nella posizione 3, e successivamente, quando t = t = s, si misura nel circuito una corrente i = 0.7 A. Dati ε = 5 V, L = 0 3 H e = Ω, si determini il valore di t. ε 3 L Fra gli istanti t = 0 e t = t il circuito è un circuito L in fase di carica. La corrente che scorre al suo interno sarà quindi descritta, in funzione di t, dall espressione i(t) = ε ( ) e t/τ dove τ = L/. Al tempo t = t, quando l interruttore viene nuovamente spostato, la corrente sarà quindi i(t ) = ε ( ) e t /τ Da quel momento in poi, il circuito è un circuito L in fase di scarica, e quindi la sua corrente sarà descritta, in funzione del tempo, dall espressione i(t) = i(t )e (t t )/τ i(t ) = i(t )e (t t )/τ Sostituendo il valore di i(t ) trvato in precedenza si ottiene i(t ) = ε ( ) e t /τ e (t t )/τ = ε ( ) e t /τ e t/τ Da cui, tramite alcuni passaggi matematici, e t/τ = + i ( ε et /τ t = τln + i ) ε et /τ che, con i dati del problema, dà come risultato finale t = 0 3 s = ms.

3 Circuiti in corrente alternata Per i circuiti in corrente alternata, il problema é di ottenere le relazioni fra i due parametri (V 0 e ω) che caratterizzano l andamento temporale della differenza di potenziale ai capi del generatore, ed i tre parametri (i 0, ω e φ) che caratterizzano la corrente che scorre nel circuito, essendo V (t) = V 0 cos(ωt) = {V 0 e jωt } = {Ṽ } i(t) = i 0 cos(ωt φ) = {i 0 e jωt φ } = {Ĩ} A tale scopo, risulta particolarmente utile introdurre l impedenza (complessa) del circuito definita come tramite la quale le relazioni cercate si riducono a Z = {Z} + ji{z} = Ṽ i 0 = V 0 Z ( ) I{Z} φ = arctan {Z} Il valore di Z si puó otteere utilizzando le regole degli elementi circuitali in serie o in parallelo, tenendo conto che per resistenze, induttanze e condensatori vale rispettivamente: Z = Z L = jωl Z C = j/ωc Ĩ Esercizi preliminari Operazioni con numeri complessi e regole di trasformazione dalla rappresentazione cartesiana a quella polare per i numeri complessi Esempi tratti da esercizi di esame Esame 5/4/00 Il circuito in figura ( = 0Ω, L = mh) è alimentato con un alternatore costituito da una spira quadrata di lato l = 0 cm che viene fatta ruotare in un campo magnetico di 0.5 T. Si chiede quanto deve essere la velocità angolare ω con cui ruota la spira per avere una differenza di potenziale di 0 V ai capi della resistenza. La differenza di potenziale ai capi della resistenza vale V = i = i 0 e j(ωt φ). Per avere i 0 = 0 V deve essere i 0 = 0/ = A. D altra parte, in un circuito L, Z = + jωl e quindi Z = + (ωl) e quindi

4 i 0 = V 0 Z = V 0 + (ωl) Inoltre, dato che il generatore é costituito da una spira quadrata che ruota in un campo magnetico, V (t) = BAω cos(ωt) V 0 = BAω. L espressione per i 0 é quindi: i 0 = e, invertendo la relazione precedente, ω = BAω + (ωl) i 0 = (BAω) + (ωl) i 0 (BA) (i 0 L) = rad/s Esame 0/9/00 I due circuiti in figura sono alimentati da due generatori identici che forniscono una alimentazione sinusoidale V 0 cos(ωt). Scrivendo le correnti che scorrono nei due circuiti come i = i 0, cos(ωt φ ), i = i 0, cos(ωt φ ), si chiede: ) per quale valore di ω si ha i 0, = i 0, ) per quale valore di ω si ha cos(φ ) = cos(φ ) 3) l espressione di i 0, e i 0, in funzione di ω Dati: = = 0Ω; L = mh; C = 0µF ; V 0 = 0V Dato che V = V = V 0 cos(ωt), i 0, = i 0, se Z = Z. Nel caso di un circuito C serie, mentre per un L serie Z C = j ωc Z C = + (/ωc) Z L = + jωl Z C = + (ωl) che sono uguali se ωl = /(ωc) ovvero se ω = / LC = 0 4 rad/s. Per quanto riguarda il valore di ω per cui cos(φ ) = cos(φ ), questo é equivalente ad avere φ = ±φ. Per un circuito C, mentre per un circuito L quindi φ = ±φ se ovvero la stessa frequenza trovata in precedenza. φ C = arctan /ωc φ L = arctan ωl/ ωc = ωl ω = / LC

5 Infine, per quanto riguarda l andamento di i 0 in funzione della frequenza per i due circuiti, si ha in entrambi i casi i 0 = V 0 / Z e quindi ωc i 0,C = V 0 (ωc) + i 0,L = V 0 + (ωl) Esame 0//003 (scritto A) Nel circuito in figura (f 0 = 0.0V ), all interno della scatola è presente un solo elemeto circuitale (, L o C). Si misura la corrente che scorre nel circuito a due valori di ω (ω = rad/s, ω = 0 6 rad/s) ottenendo in entrambi i casi i(t) = i 0 (ω) cos(ωt φ(ω)), con i 0 (ω ) =.8A e i 0 (ω ) = 0.9A. Si determini quale elemento è presente nella scatola, il suo valore numerico ed il valore di. Qualunque sia l elemento circuitale, i 0 = f 0 / Z, dove Z = + se nella scatola é presente una resistenza, Z = + (ωl) se nella scatola ṕresente un induttanza L, e Z = + /(ωc) se nella scatola ṕresente un codensatore C. Come si può verificare, nel primo caso i 0 non dipende dalla frequenza, nel secondo diminuisce all aumentare di ω, mentre nel secondo caso i 0 aumenta all aumentare di ω. Dato che secondo i dati del problema ω > ω e i 0 (ω ) < i 0 (ω ), all interno della scatola deve esserci necessariamente una induttanza L. Per trovare il valore di e L, si considera che scrivendo Z = + (ω τ L ) (con τ L = L/) i 0 (ω ) = f 0 + (ω τ L ) i 0 (ω ) = f 0 + (ω τ L ) dividendo membro a membro e definendo r = i 0 (ω )/i 0 (ω ) si ottiene + (ω τ L ) r = + (ω τ L ) da cui, tramite successivi passaggi algebrici τ L = r ω (r ω ω ) = 0 6 s Utilizzando questo valore di τ L nell espressione di i 0 (ω ) si ottiene allora ed infine = f 0 i 0 (ω ) + (ω τ L ) = 5Ω L = τ L = 5µH

6 Esame 0//003 (scritto B) Nel circuito in figura (f 0 = 0.0V ), all interno della scatola è presente un solo elemeto circuitale (, L o C). Si misura la corrente che scorre nel circuito a due valori di ω (ω = rad/s, ω = rad/s) ottenendo i 0 (ω ) = 0.45A e i 0 (ω ) = 0.9A. Si determini quale elemento è presente nella scatola, il suo valore numerico ed il valore di. Procedendo come nell esercizio precedente, e considerando che secondo i dati del problema si ha in questo caso ω > ω e i 0 (ω ) > i 0 (ω ), all interno della scatola deve esserci necessariamente un condensatore C. Per trovare il valore di e C, si considera che, scrivendo Z = + /(ω τ) (con τ = C) i 0 (ω ) = f 0 + /(ω τ) i 0 (ω ) = f 0 + /(ω τ) dividendo membro a membro e definendo r = i 0 (ω )/i 0 (ω ) si ottiene r = da cui, tramite successivi passaggi algebrici + /(ω τ) + /(ω τ) τ = (rω /ω ) ω (r ) = s Utilizzando questo valore di τ nell espressione di i 0 (ω ) si ottiene allora = f 0 i 0 (ω ) + /(ω τ) = 9.9Ω ed infine C = τ/ = 5.0µF Esame 0//003 Si consideri il circuito in figura, con f 0 = 0V, = 5Ω e L = mh. Supponendo come di consueto f(t) = f 0 cos(ωt) e i(t) = i 0 cos(ωt φ), per quali valori di ω si avrà i 0 > A? Come sarebbe cambiato il risultato se al posto di L ci fosse stato un condensatore di capacità C = mf? In un circuito in regime di corrente alternata i 0 = f 0 Z

7 Nel caso in questione, essendo f 0 = 0V, la condizione i 0 A si traduce nella condizione Z 0. Per un circuito L, per il quale Z = + (ωl), questo comporta + (ωl/) 0 da cui ( = 5Ω) + (ωl/) 4 ω 3(/L) = 8660 rad/s Nel caso di un circuito C, Z = + (ωc), e quindi la condizione i 0 A si scrive /(ωc) 0 e con passaggi analoghi al caso precedente si ottiene infine + /(ωc) 4 ω 3C = 5.5 rad/s Esame /7/003 Sia dato il circuito in figura, in cui l alimentatore è costituito da un alternatore nel quale una bobina quadrata di 00 spire e di lato l = 0 cm ruota in un campo magnetico B = 0.5 T. Se la resistenza vale = 00 Ω, quanto deve valere la velocità angolare della bobina per avere una potenza dissipata di 00 W su? La potenza dissipata dalla resistenza vale D altra parte, la f.e.m. dell alernatore è data da W = f 0i 0 = f0 f 0 = dφ(b) dt = d (BNAcos(ωt)) = ωbna sin(ωt) dt dove N è il numero di spire di cui è costituita la bobina e A = l è l area di ogni singola spira. Imponendo che W = 00W si ottiene (ωbnl ) = 00W ω = W BNl = 00rad/s Esame 0/9/003 Il circuito in figura è alimentato da un generatore in corrente alternata. Dati V 0 = 00 V, = 00Ω, C = 0µF, si chiede per quale valore di ω la potenza dissipata su è pari a W = 00 W ~ C V 0 sin(ωt)

8 La potenza dissipata sulla resistenza vale ( Z = + (/ωc) ) W = i qm = ( Vqm Z ) = V 0 + /(ωc) () Con i dati del problema, V 0 = 00 W, e quindi, per avere W = 00W deve essere da cui + /(ωc) = ωc = () ω = /C = 000rad/s (3) Esame //004 (scritto A) Nel circuito LC in figura, la resistenza ed il condensatore sono fissi, mentre l induttanza può essere variata a piacere. Se la caduta di potenziale ai capi della resistenza è V cos(ωt φ) e la caduta di potenziale ai capi dell induttanza è V L sin(ωt φ), si chiede per quali valori di L: () V è massima; () V = V L. Quanto valgono V L, V e φ per questi due valori di L? Si considerino noti, C e ω. Per come sono state definite V e V L nel testo, scrivendo come di consueto i = i 0 cos(ωt φ) si ha V = i 0 e V L = ωli 0. Il valore massimo di V si ha quindi in corrispondenza del massimo valore possibile per i 0. Essendo in un circuito LC i 0 = f 0 / + (ωl /ωc) tale valore massimo si ottiene se ωl = /ωc L = /ω C. Per tale valore di L, i 0 = f 0 / e quindi V = f 0 e V L = ωlf 0 /. Per avere V L = V deve invece essere ωl = L = /ω. Per tale valore di L, i 0 = f 0 / + ( /ωc) e V L = V = f 0 / + ( /ωc). Per quanto riguarda la fase, si ha in generale φ = arctan(ωl /ωc)/. Nel primo caso si ha quindi φ = 0, mentre nel secondo φ = arctan( /ωc) Esame //004 (scritto B) In un circuito LC, la resistenza e l induttanza sono fissi, mentre il condensatore può essere variato a piacere. Se la caduta di potenziale ai capi della resistenza è V cos(ωt φ) e la caduta di potenziale ai capi del condensatore è V C sin(ωt + φ), si chiede per quali valori di C: () V è massima; () V = V C. Quanto valgono V C, V e φ per questi due valori di C? Si considerino noti, L e ω. Per cone sono state definite V e V C nel testo, scrivendo come di consueto i = i 0 cos(ωt φ) si ha V = i 0 e V C = i 0 /ωc. Il valore massimo di V si ha quindi in corrispondenza del massimo valore possibile per i 0. Essendo in un circuito LC i 0 = f 0 / + (ωl /ωc) tale valore massimo si ottiene se /ωc = ωl C = /ω L.

9 Per tale valore di L, i 0 = f 0 / e quindi V = f 0 e V C = f 0 /ωc. Per avere V C = V deve invece essere /ωc = C = /ω. Per tale valore di C, i 0 = f 0 / + (ωl ) e V C = V = f 0 / + (ωl/ ). Per quanto riguarda la fase, si ha in generale φ = arctan(ωl /ωc)/. Nel primo caso si ha quindi φ = 0, mentre nel secondo φ = arctan(ωl/ )