Soluzione degli esercizi del Capitolo 13

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1 Soluzione degli esercizi del Capitolo 3 Soluzione dell Esercizio 3. Il polinomio caratteristico desiderato è ϕ (s) = (s + 4) (s + ) = s 2 + 4s + 4 Uguagliando i coefficienti quelli del polinomio caratteristico del sistema di Figura 3.5 si ricava k = 4 e k 2 = 6. Usando una retroazione statica dall uscita i poli in anello chiuso giacciono necessariamente sul luogo delle radici (diretto o inverso) riportato in Figura 3.4, e pertanto non possono essere entrambi negativi. Soluzione dell Esercizio 3.2 Poiché il polinomio caratteristico desiderato per la matrice F = A + BK è ora ϕ (s) = (s + ) (s + 4) = s 2 + 5s + 4 la matrice guadagno K che fa sì che gli autovalori di F siano in e 4 è data da K = ˆK ˆM r M r ˆK = 6 6 e gli stessi valori di M r e ˆM r calcolati nell Esempio 3.2. Risulta quindi K = 3 Se si utilizza ancora l osservatore asintotico dell Esempio 3.3, caratterizzato dalla matrice guadagno 3 H = 24 si ricava Ψ = A + BK + HC = e le funzioni di trasferimento del regolatore sono P (s) = K (si Ψ) B + = s2 + 2s + s s + 6 R(s) = K (si Ψ) 72 (s + ) H = s s + 6 Si osserva quindi che, nel calcolo della funzione d anello L(s) = R(s)G(s) = 26 (s + 2) (s s + 6) (s 2) Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

2 avviene una cancellazione tra lo zero di R(s) in s = e il corrispondente polo di G(s). Ciò è legato alla richiesta che l autovalore in non si sposti. Poiché in generale la retroazione sposta i poli, l unico modo perché ciò non accada è quello di imporre una cancellazione polo-zero tra il regolatore e il processo. Il polinomio caratteristico in anello chiuso vale ˆϕ(s) = ( s s + 6 ) (s 2) + 26 (s + 2) = = s s 2 + 8s + 4 = = (s + 4) (s + ) 2 e, come previsto, ha come radici i rimanenti 3 autovalori assegnati. Soluzione dell Esercizio 3.3 Considerando l ingresso vettoriale u(t), il sistema è completamente raggiungibile, dato che la matrice di raggiungibilità M r = B AB A 2 B 2 4 = ha rango 3. Se però si sidera il solo ingresso u (t), la matrice di raggiungibilità è M r = B AB A 2 B = ed è singolare. Ciò significa che, mediante la retroazione u (t) = K x(t), non è possibile assegnare arbitrariamente gli autovalori. Viceversa, se si sidera il solo ingresso u 2 (t), la matrice di raggiungibilità è M r2 = B 2 AB 2 A 2 B 2 = 2 e risulta invertibile. Pertanto è possibile assegnare arbitrariamente gli autovalori in anello chiuso una retroazione del tipo u 2 (t) = K 2 x(t). Si proceda ora al calcolo di K 2 in modo che gli autovalori in anello chiuso siano λ = 2, λ 2,3 = ± j. Come è facile verificare, la forma canonica della coppia (A, B 2 ) è Â = 2 3 2, ˆB2 = e la corrispondente matrice di raggiungibilità vale ˆM r2 = 2 2 Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 2

3 Poiché il polinomio caratteristico desiderato in anello chiuso è ϕ (s) = s 3 + 4s 2 + 6s + 4, si ottiene ˆK 2 = K 2 = ˆK 2 ˆMr2 M r2 = 2.5 Soluzione dell Esercizio 3.4 Definendo il vettore allargato di stato ξ(t) = x(t) ˆx(t) e utilizzando le (3.9), (3.), (3.2), (3.3), si ricava ξ(t) = A ξ ξ(t) + B ξ u(t) + B ξ d (t) + B ξ2 d 2 (t) e(t) = C ξ ξ(t) A ξ = A HC A + HC C ξ = I I B, B ξ = B I, B ξ =, B ξ2 = H Allo scopo di calcolare le funzioni di trasferimento cercate, viene preliminarmente osservare che (si A ξ ) = = si A = HC si A HC (si A) (si A HC) HC (si A) (si A HC) Quindi la funzione di trasferimento tra d ed e risulta essere M (s) = C ξ (si A ξ ) B ξ = (si A) (si A HC) HC (si A) = ( ) = I + (si A HC) HC (si A) = = (si A HC) (si A HC + HC) (si A) = = (si A HC) Invece, la funzione di trasferimento tra d 2 ed e risulta essere M 2 (s) = C ξ (si A ξ ) B ξ2 = (si A HC) H Si siderino ora i valori numerici di A e C riportati nell Esempio 3.3 e si progetti la matrice H in modo che i due autovalori di N = A+HC siano coincidenti (per semplicità) e assumano il valore p, p >. Per poter trattare Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 3

4 modulo di M (s) p=. p= p= db ω Figura S3.: Diagramma di Bode di M (jω) per diversi valori di p nell Esercizio 3.4. funzioni di trasferimento scalari si sideri poi solo l effetto sull errore e, cioè quello associato alla prima variabile di stato, della prima componente del disturbo d (indicata come d ) e del disturbo d 2, che è già scalare. Naturalmente risulta M (s) = E (s) D (s) = M (s) M 2 (s) = E (s) D 2 (s) = M 2 (s) Ovviamente le funzioni M (s) e M 2 (s) cambiano al variare di p e i rispettivi diagrammi di Bode del modulo mettono in evidenza le bande di pulsazione in cui i disturbi produo il maggior effetto sull errore di stima. A titolo illustrativo, nelle Figure S3. e S3.2 sono messi a fronto i diagrammi di M (jω) e M 2 (jω) per diversi valori di p. Si nota che, p =., cioè quando si impone una dinamica relativamente più lenta all osservatore, si ottiene un vantaggio sull attenuazione ad alta frequenza del disturbo d 2, a scapito di una scarsa attenuazione di entrambi i disturbi a bassa frequenza. Se viceversa si sceglie di rendere veloce la dinamica dell osservatore ( p = e quindi un guadagno H più elevato) si ha una soddisfacente attenuazione del disturbo d, ma la banda passante nei riguardi del disturbo d 2 è più ampia. Il caso p = sembra rappresentare in questo caso un buon compromesso. Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 4

5 modulo di M 2 (s) p=. p= p= db ω Figura S3.2: Diagramma di Bode di M 2 (jω) per diversi valori di p nell Esercizio 3.4. Soluzione dell Esercizio 3.5 Il problema può essere risolto utilizzando un regolatore u(t) = K ˆx(t), dove ˆx(t) è la stima dello stato fornita da un osservatore asintotico, matrice guadagno H. Per il progetto di K e H, viene innanzitutto ricavare la rappresentazione di stato del sistema da trollare in forma canonica di raggiungibilità. Si ottiene A =, B =, C = 2 La specifica su ω c equivale a richiedere che tutti i poli in anello chiuso siano a distanza maggiore di 2 dall origine. Per esempio, si può progettare il regolatore imponendo che F = A + BK abbia autovalori in 2.5 e 5 e che N = A + HC abbia autovalori in e 2. Con tali scelte si ricava K =.5 5.5, H = 28 43, Ψ = A+BK+HC = e la funzione di trasferimento del regolatore (tra y e u) è R(s) = Infine, la funzione d anello risulta L(s) = R(s)G(s) = 9s s s s (s s ) (s + ) Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 5

6 5 Bode Diagram Gm = 2.4 db (at 9.2 rad/sec), Pm = 76.2 deg (at 3.6 rad/sec) Magnitude (db) 5 5 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura S3.3: Diagrammi di Bode della funzione d anello dell Esercizio 3.5. che, come si vede dalla Figura S3.3, garantisce il rispetto della specifica sulla pulsazione critica e assicura un margine di fase pari a ϕ m 76. Soluzione dell Esercizio 3.6 Per la stabilizzazione si può utilizzare un regolatore u(t) = K ˆx(t), dove ˆx(t) è la stima dello stato fornita da un osservatore asintotico, matrice guadagno H. Per il progetto di K e H, viene innanzitutto ricavare la rappresentazione di stato del sistema da trollare in forma canonica di raggiungibilità. Si ottiene A =, B =, C = Se si progettano K e H imponendo, per esempio, che F = A + BK abbia autovalori in e 2 e che N = A + HC abbia autovalori in 3 e 4, si ricava 8 8 K = 2 4, H =, Ψ = A + BK + HC = La funzione di trasferimento del regolatore (tra y e u) è R(s) = 96s + 24 s 2 + s + 46 e la corrispondente funzione d anello risulta L(s) = R(s)G(s) = 96s + 24 s (s 2 + s + 46) (s ) Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 6

7 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Figura S3.4: Diagramma di Nyquist della funzione d anello dell Esercizio 3.6. Per verificare la stabilità del sistema retroazionato si può utilizzare il criterio di Nyquist, osservando che L(s) possiede un polo parte reale positiva e che il suo diagramma di Nyquist (Figura S3.4) compie un giro antiorario intorno al punto. Soluzione dell Esercizio 3.7 Per il progetto si faccia riferimento allo schema di Figura 3.3 per l assegnamento degli autovalori l introduzione di un azione integrale. Il modello del processo (in forma canonica) è A = 2 ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t), B =, C = come nell Esercizio3.5. L osservatore può essere progettato come nell Esercizio 3.5, ed è quindi descritto dalle equazioni:. 28 ˆx (t) = Aˆx(t) + Bu(t) + H (ŷ(t) y(t)), H = 43 ŷ(t) = C ˆx(t) In accordo la Figura 3.3, la variabile di trollo u(t) è ottenuta da u(t) = K ˆx(t) + v(t) Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 7

8 dove v(t) è l uscita dell integratore, guadagno k I, alimentato dall errore e w (t) = w(t) y(t) Per progettare K e k I occorre far riferimento al sistema allargato ξ(t) = x(t) x I (t) ξ(t) = A a ξ(t) + B a u(t), A a = A C B, B a = e calcolare la matrice guadagno allargata K a = K k I che assegna arbitrariamente gli autovalori di F a = A a + B a K a. Se per esempio si scelgono per tale matrice gli autovalori λ = 4, λ 2 = 8, λ 3 = 6 (in modo da rispettare un po di margine il requisito sulla pulsazione critica), si ottiene K a = ovvero K = , k I = 52. Per una verifica in termini di funzioni di trasferimento, si noti che la funzione di trasferimento tra v e y (si veda la Figura 3.2) è G (s) = P (s)g(s) + R(s)G(s) dove P (s) = s2 + 3s s s 2, R(s) = + 56s + 5 s s + 5 Quindi, dopo alcune semplificazioni, si ha G (s) = e la funzione d anello complessiva è s s L(s) = k I s G 52 (s) = s (s s + 224) Dai diagrammi di Bode di L(s) (Figura S3.5) si vede che la pulsazione critica ottenuta è ω c 2.25 e il margine di fase vale ϕ m 74. Inoltre, la presenza dell integratore garantisce l annullamento a transitorio esaurito dell errore e w quando w(t) è uno scalino. Soluzione dell Esercizio 3.8 Definendo il vettore di stato x(t) = δp(t) δṗ(t) δθ(t) δ θ(t), l ingresso u(t) = δf (t) e l uscita y(t) = δp(t), la rappresentazione di stato del modello linearizzato è ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 8

9 5 Bode Diagram Gm = 2.8 db (at 5 rad/sec), Pm = 74 deg (at 2.25 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura S3.5: Diagrammi di Bode della funzione d anello dell Esercizio 3.7. A = mg M (M + m) g Ml, B = M Ml, C = È facile verificare che, per qualunque valore dei parametri, la coppia (A, B) è completamente raggiungibile e la coppia (A, C) è completamente osservabile. Quindi è possibile progettare un regolatore ad assegnamento degli autovalori stato non misurabile. Per esempio, utilizzando i dati numerici M =, m =, l =, g = 9.8 indicati nel testo, si scelga per la matrice F = A + BK il polinomio caratteristico ϕ F (s) = ( s 2 +.5s + ) ( s 2 + 2s + ) e per la matrice N = A + HC il polinomio caratteristico ϕ N (s) = ( s 2 + 5s + ) ( s 2 + 2s + ) In corrispondenza si ottiene K = , H = Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 9

10 2 non lineare lineare p t θ non lineare lineare t Figura S3.6: Movimento libero di δp(t) e δθ(t) stato iniziale x() =.. sotto l azione del regolatore progettato nell Esercizio 3.8. Le prestazioni del regolatore così progettato possono essere valutate in simulazione, non solo in ambito lineare, ma anche utilizzando per il sistema il modello non lineare originario. A titolo illustrativo, nella Figura S3.6 è mostrato l andamento delle variabili δp(t) e δθ(t) sotto l azione del regolatore progettato quando lo stato iniziale è x() =... Come si vede, le differenze tra le due simulazioni ( il modello non lineare e quello lineare) non sono significative e il sistema di trollo garantisce un rapido ritorno alla dizione di equilibrio. È però importante notare che l azione stabilizzante del regolatore ha validità solo locale. Mediante la simulazione non lineare si può per esempio verificare che il ritorno verso l equilibrio si verifica solo per valori di δp() inferiori a circa.3. Nel caso si desiderasse introdurre un azione integrale in modo da permettere l inseguimento preciso di segnali di riferimento di posizione costanti, il progetto va modificato come indicato alla fine del Paragrafo 3.6. Dopo aver definito il sistema allargato ξ(t) = x(t) z(t) ξ(t) = A a ξ(t) + B a u(t), A a = A C B, B a = si calcola la matrice guadagno allargata K a che assegna arbitrariamente gli autovalori di F a = A a + B a K a. Se per esempio come polinomio caratteristico desiderato si sceglie ϕ F a (s) = ( s 2 +.5s + ) ( s 2 + 2s + ) (s + 2) Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

11 2 non lineare lineare p t.4.2 non lineare lineare θ t Figura S3.7: Movimento di δp(t) e δθ(t) in risposta a un riferimento a onda quadra sotto l azione del regolatore azione integrale dell Esercizio 3.8. si ottiene K a = ovvero, riferimento allo schema della Figura 3.3, K = , k = 2.4 I risultati mostrati nella Figura S3.7 fanno riferimento a una simulazione in cui lo stato iniziale è nullo e il segnale di riferimento ha una forma a onda quadra di ampiezza e periodo 25. Anche in questo caso si nota l efficacia del sistema di trollo progettato, in termini di prestazioni sia statiche sia dinamiche. Va anche rilevato il fatto che, poiché il valore δθ(t) dell angolo dell asta rimane comunque relativamente basso, le differenze tra la simulazione non lineare e quella lineare sono trascurabili. Copyright c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.