Controlli automatici L-A

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1 Controlli automatici L-A Compendio delle dispense del prof. Paolo Castaldi Marco Alessandrini Università degli Studi di Bologna (Sede di Cesena)

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3 Dispense originarie Capitolo 0. Introduzione ai sistemi di controllo. (33 pagine) Capitolo. Trasformata di Laplace. (52 pagine) Capitolo 2. Antitrasformazione delle funzioni razionali fratte. (25 pagine) Capitolo 3. Impiego della trasformata di Laplace per la soluzione di equazioni differenziali lineari. (2 pagine) Capitolo 4. Modelli matematici dei sistemi. (45 pagine) Capitolo 5. Problemi e sistemi di controllo. (9 pagine) Capitolo 6. Funzione di trasferimento di sistemi interconnessi. (9 pagine) Capitolo 7. Analisi delle risposte canoniche. (49 pagine) Capitolo 8. Stabilità e criterio di Routh. (54 pagine) Capitolo 9. Metodo del luogo delle radici. (59 pagine) Capitolo 0. Analisi degli errori a regime di un sistema di controllo. (74 pagine) Capitolo. Analisi armonica. (78 pagine) Capitolo 2. Metodo per il tracciamento dei diagrammi di Bode. (26 pagine) Capitolo 3. Diagrammi polari. (73 pagine) (totale: 598 pagine)

4 Indice Trasformata di Laplace 6. Variabile complessa Definizioni Trasformata di Laplace Proprietà della trasformata di Laplace Principali teoremi sulla trasformata di Laplace Impulso di Dirac Risolvere le equazioni differenziali Funzione di trasferimento 2. Tipi di sistema Rappresentazioni algebriche Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità 4 3. Risposte ai segnali Sistema del I ordine Risposta all impulso di sistemi del I ordine Risposta al gradino di sistemi del I ordine Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri) Stabilità Sistemi lineari Sistemi lineari stazionari Modi di un sistema Stabilità ILUL (Ingresso Limitato - Uscita Limitata) Criterio di Routh Equazione ausiliaria e tabella proseguita Stabilità in dipendenza da un parametro Luogo delle radici Poli dominanti Proprietà del luogo delle radici Esempi di tracciamento di luogo delle radici Analisi degli errori a regime Retroazione negativa unitaria Retroazione negativa (non unitaria)

5 Indice 5 4 Analisi armonica Funzione di risposta armonica Diagrammi di Bode decibel (db) Diagrammi elementari Esempio di tracciamento di diagrammi di Bode Diagrammi polari Diagrammi elementari Comportamenti al variare di ω Rotazioni complessive al finito Esempi di tracciamento di diagrammi polari Diagramma polare completo (di Nyquist) Criterio di Nyquist Analisi di robustezza alla stabilità Esempi di progetto Progetto () Progetto (2) Progetto (3) Elenco delle figure 78 Elenco delle tabelle 79

6 CAPITOLO Trasformata di Laplace. Variabile complessa s = σ + jω con σ, ω R. σ è la parte reale di s, jω è la parte immaginaria di s. In forma esponenziale: s = ρ e jω Teorema (Condizione di analiticità di Cauchy-Riemann). La funzione G(s) = G(x) + jg(y) ammette derivata unica se G(x) e G(y) ( R) sono funzioni continue di σ e ω, insieme alle loro derivate parziali. Inoltre deve valere: σ G(x) = ω G(y) σ G(y) = ω G(x) Nota... In una funzione analitica le operazioni di derivazione e integrazione si svolgono come se la funzione fosse reale. d G(s) si calcola come se G fosse reale. ds sb G(s) ds = G(s b ) G(s a ) dipende solo dagli estremi del percorso s a di integrazione. Sono funzioni analitiche s n, n s, log s... Definizioni Punto ordinario. In esso G(s) è analitica. Punto singolare. in esso G(s) non è analitica. Polo. Punto singolare in cui G(s) (o una sua derivata) tendono a. Zero. Punto in cui G(s) = 0. Se il punto è finito, lo zero è ordinario; se il punto è infinito, lo zero è singolare.

7 .2 Trasformata di Laplace 7 Teorema 2 (Prolungamento analitico). Se due funzioni f, g sono analitiche su una stessa regione e uguali in un intervallo finito comune, allora esse sono uguali su tutta la regione..2 Trasformata di Laplace Definizione. (Trasformata di Laplace). Data una funzione y(t) : R R con t 0, continua (almeno a tratti), si definisce come trasformata di Laplace la funzione: Y (s) = L[y(t)] = 0 e st y(t) dt Il dominio in C in cui Y (t) esiste è il dominio di convergenza della trasformata. Definizione.2 (Antitrasformata di Laplace). È possibile calcolare l antitrasformata di Laplace come integrale, eseguito lungo una retta parallela all asse immaginario, di ascissa s 0 (appartenente al dominio di convergenza. y(t) = L [Y (s)] = 2πj s0 +j s 0 j e st Y (s) ds Proprietà.2. (Condizioni sufficienti per la convergenza). La trasformata di Laplace esiste se:. y(t) = 0 per t < 0; 2. y(t) è continua a tratti; 3. y(t) è di ordine esponenziale: σ R : lim y(t) e σt = 0 t Una funzione che soddisfa il limite è di ordine esponenziale σ c. Tale funzione non può crescere più velocemente (per t + ) della funzione e σc t. Il valore σ c è detto ascissa di convergenza e per esso valgono le relazioni: { σ < σc, limite σ > σ c, limite 0 Funzioni come e c t, t e c t, e c t sin ωt,... hanno tutte ascissa di convergenza c. Funzioni che crescono più rapidamente dell esponenziale e σc t (ad es. e t2, e t3 ) non hanno trasformata di Laplace. La possibilità che queste funzioni abbiano trasformata di Laplace è circoscritta a casi in cui esse sono definite su intervalli limitati. Se Y (s) è razionale fratta, allora σ c è la parte reale del polo più a destra sul piano di Gauss. Proprietà.2.2. Se la trasformata esiste per s c = σ c + jω c, allora esiste per ogni valore s = σ + jω con σ σ c. Nelle dimostrazioni di convergenza si può supporre s = σ (cioè s R).

8 8 Trasformata di Laplace Corollario 3 (Estensione della definizione di trasformata a tutto il piano complesso). Se Y (s) esiste, allora essa è definita su tutto il piano di Gauss eccetto che nei poli di y(t)..2. Proprietà della trasformata di Laplace. linearità L[c y (t)+c 2 y 2 (t)+ +c n y n (t)] = c L[y (t)]+c 2 L[y 2 (t)]+ +c n L[y n (t)] con c, c 2,..., c n C. 2. trasformata della derivata prima destra [ ] d L dt y(t) = s Y (s) y(0 + ) 3. trasformata della derivata [ ] d (n) n 2 L dt n y(t) = s n Y (s) s n y(0 + ) s k k=0 d dt y(t)n k t=0 + dove la sommatoria è data dai termini: s n 2 d dt y(t) s d dt y(t)n 2 d t=0 + dt y(t)n t= trasformata dell integrale [ t ] L y(t) dt = Y (s) 0 s.2.2 Principali teoremi sulla trasformata di Laplace t=0 + Teorema 4 (del valore finale). Se esistono Y (s) e s Y (s) (trasformate del segnale e della sua derivata), allora vale la relazione: lim y(t) = lim s Y (s) t s 0 Teorema 5 (del valore iniziale). Se esistono Y (s) e s Y (s) (trasformate del segnale e della sua derivata), allora vale la relazione: quando il limite converge. y(0 + ) = lim s + s Y (s) Teorema 6 (della derivata complessa). Tranne che nei poli vale la relazione: dy (s) L[t y(t)] = ds Teorema 7 (della traslazione in s). Vale la relazione: L [ y(t) e αt] = Y (s + α)

9 .2.3 Impulso di Dirac Impulso di Dirac La funzione impulso (o delta) di Dirac: δ(t t 0 ) è definita come quella distribuzione, di ampiezza infinita e area unitaria, il cui integrale è il gradino unitario. L impulso di Dirac non è una funzione, perché non corrisponde al limite di una successione che converge), ma è una distribuzione, cioè una funzione generalizzata. y(t) Y (s) Delta di Dirac (t = 0) δ(t) Gradino (t = 0) R 0 h(t) R 0 s Gradino (t = a) R 0 h(t a) s e as R 0 Rampa R 0 t h(t) s 2 t n (n )! h(t) s n R 0 Esponenziale R 0 e at h(t) a ( e at ) h(t) t n (n )! e at h(t) R 0 s + a s(s + a) (s + a) n Sinusoide R 0 h(t) sin(ωt) R 0 ω s 2 + ω 2 Cosinusoide R 0 h(t) cos(ωt) R 0 s s 2 + ω 2 h(t)e at sin(ωt) ω (s + a) 2 + ω 2 e at sin(ωt) (s + a) (s + a) 2 + ω 2 (b a) 2 + ω 2 e at sin(ωt + ϕ) ω (ϕ = arg(b a + jω)) s + b (s + a) 2 + ω 2 Tutte le funzioni sono considerate per t 0. Per chiarezza sono esplicitati i prodotti col gradino unitario h(t), che vale 0 per t < 0 e per t 0. Tabella.: Tabella delle trasformate di Laplace più utilizzate

10 0 Trasformata di Laplace Y (s) y(t) e at s + a + τs s( + τs) τ e t τ e t τ t n ( + τs) n τ n (n )! e τ ω 2 n s 2 + 2δω n s + ω 2 n ω 2 n ( + T s) s 2 + 2δω n s + ω 2 n ω n δ 2 e δωnt sin (ω n t ) δ 2 2T δωn + T ω 2 ω 2 ( n n δ 2 e δωnt sin ω n t ) δ 2 + ϕ ( ) ϕ = arg T δω n + jt ω n δ 2 Tabella.2: Tabella delle antitrasformate di Laplace più utilizzate.2.4 Risolvere le equazioni differenziali Grazie alla trasformata di Laplace, si può utilizzare un algoritmo per risolvere le equazioni differenziali in maniera algebrica: si trasforma il polinomio in t, passando nel dominio s; si sostituiscono le condizioni iniziali fornite; si trova Y (s) (soluzione, nel dominio s); si antitrasforma il polinomio in s per ottenere la soluzione nel dominio iniziale t. Per trasformare e antitrasformare termini e polinomi si possono utilizzare le tabelle delle trasformate (tabb.. e.2).

11 CAPITOLO 2 Funzione di trasferimento Definizione 2. (Sistema non puramente dinamico). Un sistema G(s) non puramente dinamico (fig. 2.) può essere scomposto nel parallelo di due blocchi indipendenti: un sistema statico (G 0 ), presente solo quando m = n; un sistema puramente dinamico (G (s)), sempre presente. I due blocchi danno ciascuno un contributo all uscita Y (s) = Y 0 (s) + Y (s): l evoluzione libera (Y 0 (s)) è il contributo di G 0, infatti è presente quando l ingresso è nullo e si considerano solo le condizioni iniziali del sistema; l evoluzione forzata (Y (s)) è il contributo di G (s), infatti è presente in presenza di ingresso e considerando le condizioni iniziali nulle. Figura 2.: Sistema non puramente dinamico Definizione 2.2 (Sistema stazionario). Un sistema è stazionario se: a un ingresso u(t) corrisponde un uscita y(t); a un ingresso u(t + t) corrisponde un uscita y(t + t). Definizione 2.3 (Funzione di trasferimento). La funzione di trasferimento G(s) di un sistema stazionario è la relazione che lega l ingresso del sistema alla risposta forzata provocata: G(s) def = Y (s) U(s)

12 2 Funzione di trasferimento Nei casi di uso comune si considera, a prescindere, G 0 = 0; allora per ottenere la funzione di trasferimento si opera come segue:. trasformare l equazione (ponendo nulle le condizioni iniziali); 2. calcolare la fdt come: G(s) = Y (s) U(s) = 3. la funzione di trasferimento è del tipo: L(uscita) L(ingresso) G(s) = K bms m + + b s + b 0 s n + + a s + a 0 Se m n, allora il sistema è causale; altrimenti è anticipativo. Definizione 2.4 (Risposta del sistema). L antitrasformata y(t) = L [Y (s)] è la risposta del sistema all ingresso fornito. Fdt di sistemi complessi. Ponendo opportunamente più sistemi si può calcolare una funzione di trasferimento unica. Per sistemi in cascata vale il prodotto delle fdt: G cascata (s) = G (s) G 2 (s) Per sistemi in parallelo vale la somma delle fdt: G parallelo (s) = G (s) + G 2 (s) Per un sistema G(s) con retroazione negativa H(s) vale il rapporto: G retroazione (s) = 2. Tipi di sistema G(s) + G(s) H(s) Il numero di poli nell origine (indicato con h nelle forme della funzione di trasferimento, riportate alla sezione 2.2) determina il tipo del sistema: tipo 0: nessun polo nell origine (h = 0); tipo : un polo semplice nell origine (h = ); tipo 2: un polo doppio nell origine (h = 2). A seconda del tipo di sistema, la costante di guadagno K assume nomi diversi: guadagno statico (o costante di posizione) per sistemi di tipo 0; costante di velocità per sistemi di tipo ; costante di accelerazione per sistemi di tipo 2. Gli errori a regime del sistema dipendono da h e dal segnale tipico di test utilizzato.

13 2.2 Rappresentazioni algebriche Rappresentazioni algebriche Rapporto di polinomi a coefficienti reali. G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b 0 a n s n + a n s n + + a s + a 0 Avendo un polo di molteplicità h nell origine si può scrivere: K = b m b i = b i b m con i =, 2,..., m s m + b m G(s) = K sm + + b s + b 0 s h (s n h + a n s n h + + a h+ s + a h ) Il polinomio a denominatore è chiamato polinomio caratteristico: le sue radici sono i poli della funzione di trasferimento. Le radici del polinomio a numeratore sono, invece, gli zeri della funzione (cioè i valori che la annullano). Forma fattorizzata. Mette in evidenza zeri (z i ) e poli (p i ). G(s) = K (s z ) (s z 2 ) (s z m ) (s p ) (s p 2 ) (s p n ) Avendo un polo di molteplicità h nell origine si può scrivere: G(s) = K (s z ) (s z 2 ) (s z m ) s h (s p h+ ) (s p h+2 ) (s p n ) Forma fattorizzata con termini del II ordine. Sono presenti anche termini relativi a coppie coniugate di zeri o poli. ( ) ( ) (s z )(s z 2 ) s 2 + 2δ ω n s + ω n2 s 2 + 2δ 2 ω n2 s + ω n22 G(s) = K ( )( ) (s p )(s p 2 ) s 2 + 2δ ω n s + ω 2 n s 2 + 2δ 2 ω n2 s + ω 2 n2 Avendo un polo di molteplicità h nell origine si può scrivere: ( ) ( ) (s z )(s z 2 ) s 2 + 2δ ω n s + ω n2 s 2 + 2δ 2 ω n2 s + ω n22 G(s) = K ( )( ) s h (s p h )(s p h+ ) s 2 + 2δ ω n s + ω 2 n s 2 + 2δ 2 ω n2 s + ω 2 n2 Forma fattorizzata con termini del II ordine e costanti di tempo. ( ) ( ) G(s) = K ( + τ s)( + τ 2s) + 2 δ ω n s + ( ( + τ s)( + τ 2 s) + 2 δ s + ω n avendo definito la costante di guadagno: s2 ω n 2 s2 ω n 2 K = K τ τ 2... τ τ 2... ω 2 n ω n ω n2 ω n22... con τ i = z i (zero reale) oppure τ i = p i (polo reale). + 2 δ 2 ω n2 s + ) ( + 2 δ 2 ω n2 s + s2 ω n2 2 s2 ω n2 2 )

14 CAPITOLO 3 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità 3. Risposte ai segnali La risposta all impulso di Dirac caratterizza completamente un sistema. Anche dalla risposta al gradino unitario si può risalire alla risposta al generico impulso. 3.. Sistema del I ordine G(s) = = K s p K + τs τ = σ p R p = σ (costante di tempo) K = Kτ = lim s 0 G(s) (guadagno statico) 3..2 Risposta all impulso di sistemi del I ordine y(t) = L [G(s)] = Ke σt = Ke t K τ = τ e t τ La risposta è riportata in figura 3. (grafico con ascissa normalizzata). Definizione 3. (Tempo di smorzamento (t s )). Istante dopo il quale la risposta all impulso scende al di sotto del 5% del valore iniziale. Approssimativamente, t s 3τ Risposta al gradino di sistemi del I ordine Il gradino nel dominio s è definito come: La risposta al gradino è del tipo: Se: y(t) = K U(s) = s ( ) e t τ

15 3..4 Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri) 5 Figura 3.: Risposta all impulso di un sistema del I ordine τ > 0 (cioè σ < 0: polo negativo); Kτ = K = ; allora la risposta è: y(t) = e t τ La risposta è riportata in figura 3.2 (grafico con ascissa normalizzata). Figura 3.2: Risposta al gradino di un sistema del I ordine Definizione 3.2 (Tempo di assestamento (t a )). Istante al quale la risposta al gradino raggiunge il 95% del valore di regime della risposta. Approssimativamente, t a 3τ Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri) Si considerano due poli complessi coniugati: p, p 2 C p,2 = σ ± jω

16 6 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità G(s) = K (s p )(s p 2 ) = K s 2 + 2δω n s + ω 2 n ω n = σ 2 + ω 2 è la pulsazione naturale, a cui oscillerebbe il sistema con δ = 0. δ = σ σ = è il coefficiente di smorzamento, che si riferisce ω n σ 2 + ω2 alla risposta all impulso (sinusoide inviluppata ad un esponenziale). Con δ = 0 non c è smorzamento; con 0 < δ < si ha smorzamento crescente con δ. Avendo definito la pulsazione naturale e il coefficiente di smorzamento si possono calcolare, a partire da questi parametri, la parte reale e quella immaginaria di s: σ = δ ω n ; ω = ω n δ 2 (anche detta pulsazione smorzata della sinusoide inviluppata, quando δ 0). Quando δ < i poli sono complessi coniugati: p,2 = ω n ( δ ± j δ 2 ) In tabella 3. è riportata la casistica delle tipologie di poli al variare di δ. δ Dominio dei poli Parte reale δ < poli reali positiva < δ < 0 poli complessi coniugati positiva 0 < δ < poli complessi coniugati negativa δ = poli reali coincidenti (p,2 = δ ω n ) δ > poli reali negativa Tabella 3.: Poli di un sistema del II ordine Normalizzando (K = ω n ) si ha: ω 2 n G(s) = s 2 + 2δω n s + ωn 2 La trasformata della risposta al gradino è: Si trova, risolvendo: Antitrasformando: Y (s) = G(s) s K = y(t) = K = ω 2 n s (s 2 + 2δω n s + ω 2 n) = K s K 2ω 2 n( + T s) s 2 + 2δω n s + ω 2 n K 2 = 2δ ω n T = 2δω n [ ( )] Ae δ(ωnt) sin δ 2 (ω n t) + ϕ

17 3..4 Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri) 7 2T δωn + T con A = K 2 ω 2 ωn 2 n δ 2. Con i valori di prima: ( ) δ 2 A = δ 2 ϕ = arctan δ Alla fine, la risposta al gradino unitario di un sistema del II ordine (senza zeri) è (in forma normalizzata rispetto alla variabile ω n t): [ ( )] δ y(t) = δ 2 e δ(ωnt) sin δ 2 2 (ω n t) + arctan δ La risposta è visibile in figura 3.3. Si nota come, al variare di δ, l oscillazione spiani e la risposta tenda a essere sempre più un esponenziale regolare. Figura 3.3: Risposta al gradino di un sistema del II ordine Significato geometrico dei parametri δ e ω n Consideriamo il caso di due poli complessi coniugati con parte reale negativa, per i quali si ha: δ < δ > 0 ω n > 0 Calcoliamo le parti reale e immaginaria del polo: R{p,2 } = δω n I{p,2 } = ω n δ 2 Poiché la parte reale e la parte immaginaria devono soddisfare il teorema di Pitagora, calcolando si nota che l ipotenusa (cioè il modulo dei poli) è ω n : ω n = p = p 2

18 8 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Ciò noto, si verifica che δ è una funzione dell argomento della rappresentazione polare (modulo e argomento) dei poli, e precisamente: δ = cos ϕ Quanto appena detto è facilmente riscontrabile in figure 3.4 e 3.5: nella prima è riportata la relazione geometrica tra i parametri, nella seconda si mostra lungo quali percorsi del piano di Gauss i due parametri rimangono costanti. Si noti, in particolare, che δ (essendo il coseno dell angolo di incidenza con l asse reale) aumenta col diminuire del coefficiente angolare della retta per l origine, in valore assoluto; i cerchi lungo i quali è costante ω n, invece, hanno raggio pari a ω n stesso. La figura 3.5 è importante in fase di studio dinamico dei poli di un sistema: la loro posizione, e il loro spostamento sul piano, determina valori diversi di δ e ω n e, quindi, variazione nei parametri di risposta del sistema ai segnali (come si vede nei paragrafi successivi). Figura 3.4: Significato geometrico di δ e ω n Figura 3.5: Piano di Gauss con coordinate δ e ω n costanti In particolare, cambiano in maniera importante la massima sovraelongazione e il tempo di assestamento, nella risposta al gradino.

19 3..4 Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri) 9 Parametri di risposta al gradino Figura 3.6: Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine Dalla risposta in figura 3.6 si possono ricavare alcuni parametri importanti relativi alla risposta di un sistema del II ordine a un gradino. Massima sovraelongazione S (anche massimo sorpasso). Differenza tra il massimo valore in uscita e il valore finale raggiunto dall uscita. S è solo funzione di δ (fig. 3.7(a)): S = y(t m ) = e Istante di massima sovraelongazione t m. π t m = ω n δ 2 πδ δ 2 Tempo di salita t s. Tempo necessario all uscita per passare dal 0% al 90% del suo valore finale. Considerando la normalizzazione ω n t s (rispetto al coefficiente di smorzamento) si ha circa (fig. 3.7(b)): ω n t s, 8, 5 δ Tempo di ritardo t r. Tempo necessario all uscita per raggiungere il 50% del suo valore finale. Tempo di assestamento t a. t a 3 δ ω = 3 σ Progetto (assegnati S %max e t amax ). Si vuole determinare il dominio del piano di Gauss che individua il rispetto dei criteri di progetto assegnati: un valore massimo di sovraelongazione; un valore massimo di tempo di assestamento.

20 20 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità (a) Sovraelongazione percentuale (b) Tempo di salita Figura 3.7: Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine Per avere S % S %max bisogna avere δ δ min, con S %max = S % (δ min ). Questo è vero nel settore circolare delimitato dalle semirette che sono inclinate, rispetto all asse reale, di: ϕ max = arccos(δ min ) Avere t a t amax significa avere parte reale σ 3 t a. Questo è vero per tutti i valori con parte reale minore di tale ascissa σ. Considerando assieme i due criteri si ottiene il dominio (in grigio) della figura 3.8. Figura 3.8: Dominio individuato dai valori massimi assegnati di S e t a

21 3.2 Stabilità Stabilità Per valutare la stabilità di un sistema (con ingresso u(t) e uscita y(t)) se ne perturba l equilibrio e si osserva il comportamento conseguente: se il sistema torna in equilibrio (convergendo), allora è stabile; se il sistema diverge, allora è instabile. Definizione 3.3 (Condizione di equilibrio). Per t = t 0 in equilibrio, si ha: { t < t0 : y(t) = y 0, u(t) = u 0 t > t 0 : y(t) = y 0 SE u(t) = u 0 (y(t) rimane costante se u(t) non varia). Una perturbazione ( u(t)) è una repentina variazione del segnale in ingresso, che avviene a partire da un istante t 0 e si manifesta con durata ed ampiezza finita. Per questi motivi è possibile approssimare una perturbazione con l impulso di Dirac. A seguito di una perturbazione possono verificarsi i seguenti casi (tutti per t t 0 ): risposta limitata : esiste M y tale che: y(t) M y. Il sistema è semplicemente stabile; risposta divergente : non esiste alcun M y tale che: y(t) M y. Il sistema è instabile; risposta convergente asintoticamente a zero : esiste M y tale che: { y(t) My Il sistema è asintoticamente stabile. lim y(t) = 0 t La stabilità si riferisce alla condizione di equilibrio considerata, non al sistema!

22 22 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità 3.3 Sistemi lineari Un sistema lineare è tale quando gode delle proprietà: di sovrapposizione degli effetti; di additività delle risposte (libera e forzata). Nei sistemi non lineari il comportamento varia se si cambia il punto di equilibrio e la perturbazione. Se il punto di equilibrio non è influenzato dall entità della perturbazione, allora il punto è globalmente (asintoticamente) stabile. Ne segue che il sistema è globalmente (asintoticamente) stabile. Nei sistemi lineari il comportamento è indipendente rispetto a punto di equilibrio e tipo di perturbazione. Ne segue che il sistema è stabile, oppure instabile, oppure asintoticamente stabile. Proprietà In un sistema lineare, se un punto di equilibrio è (asintoticamente) stabile, allora lo sono tutti Sistemi lineari stazionari Per sistemi lineari stazionari si possono avere due casi:. perturbazione delle condizioni iniziali (conclusa prima di t = 0). Abbiamo spostato il sistema dalla condizione nulla iniziale. La trasformata della risposta è data solo dalla risposta libera: n i a i s j di j y(t) dt i j i=0 j=0 t=0 Y 0 (s) = n a i s i i=0 2. perturbazione della funzione di ingresso. Modelliamo l azione applicando δ(t) in t = 0. La risposta è la funzione di trasferimento (trasformata della risposta forzata): Y (s) = G(z) = m b i s i i=0 n a i s i i=0 In entrambi i casi, il denominatore è lo stesso della funzione di trasferimento. Poiché la risposta di un sistema è la somma delle singole risposte (date dai fratti semplici), allora si può concludere che le caratteristiche della risposta ad una perturbazione dipendono solo dai poli della funzione di trasferimento. In particolare, la parte reale dei poli determina la stabilità o l instabilità del sistema. I metodi per valutare il segno delle radici del denominatore (polinomio caratteristico), presentati in seguito, servono per capire quanti poli stabili o instabili ci sono in un sistema, senza dovere calcolarli.

23 3.3.2 Modi di un sistema 23 Polo (molteplicità) Polo (parte reale) Modo qualsiasi negativa asintoticamente stabile qualsiasi positiva instabile 0 semplicemente stabile > 0 instabile Modi di un sistema Tabella 3.2: Rapporto tra poli e modi Definizione 3.4 (Modo di un sistema). Un modo di un sistema è una risposta elementare, ottenuta antitrasformando i fratti semplici legati ai poli della fdt. I modi determinano le proprietà di stabilità della risposta. I modi di un sistema sono del tipo: per poli semplici: K; K e σt ; K e σt sin(ωt + ϕ); per poli multipli (molteplicità r): K t h ; K t h e σt ; K t h e σt sin(ωt+ϕ) (con h [, r]). Nelle figure 3.9 e 3.0 sono riportati i grafici dei modi più comuni Stabilità ILUL (Ingresso Limitato - Uscita Limitata) Definizione 3.5 (Stabilità ILUL). Dato M u > 0, allora esiste M y > 0 tale che: u(t) M u y(t) M y Teorema 8. Un sistema è stabile ILUL solo se: + 0 g(τ) dτ M < + La stabilità ILUL è legata alla risposta impulsiva, quindi ai poli del sistema. Proprietà La stabilità asintotica implica la stabilità ILUL, e viceversa. Teorema 9 (Condizione necessaria di stabilità). Dato un polinomio 2 a n s n + a n s n + + a 0 = 0 se tutti i coefficienti a i sono positivi, allora è possibile che le radici del polinomio abbiano parte reale negativa. Tale condizione è anche sufficiente per polinomi di secondo grado. 2 Tale condizione necessaria si applica a qualsiasi polinomio. L applicazione più interessante è quella relativa al polinomio caratteristico: può essere un metodo veloce per verificare se può avere poli stabili, o se ha sicuramente dei poli instabili. Si tratta di una condizione necessaria, utile solo per una prima valutazione. I criteri forniti in seguito studiano più precisamente i segni delle radici.

24 24 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Figura 3.9: Grafici dei modi relativi a poli semplici Figura 3.0: Grafici dei modi relativi a poli multipli

25 3.4 Criterio di Routh Criterio di Routh Il criterio di Routh consente di determinare il segno delle radici del polinomio caratteristico, senza dover calcolare le radici (operazione difficile in presenza di parametri). In particolare, tale criterio dà una condizione necessaria e sufficiente per capire se le radici del polinomio hanno parte reale negativa. a n s n + a n s n + + a 0 = 0 Procedimento. Si costruisce la tabella di Routh, come in tabella 3.3. n a n a n 2 a n 4 a n 6... n a n a n 3 a n 5 a n 7... n 2 b n 2 b n 4 b n n 3 b n 3 b n 5 b n n 4 c n 4 c n n 5 c n 5 c n prima col. Tabella 3.3: Tabella di Routh I coefficienti diversi da a i si calcolano come segue: b n 2 = a n a n 2 a n a n 3 a n b n 3 = b n 2 a n 3 a n b n 4 b n 2 b n 4 = a n a n 4 a n a n 5 a n b n 5 = b n 2 a n 5 a n b n 6 b n 2 b n 6 = a n a n 6 a n a n 7 a n c n 4 = b n 3 b n 4 b n 2 b n 5 b n 3 Considerata la prima colonna come successione di termini, ad ogni variazione di segno corrisponde una radice con parte reale positiva, mentre ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice con parte reale negativa. Proprietà Se si moltiplica tutta una riga per un coefficiente positivo, i segni della prima colonna non cambiano. Proprietà Se la prima colonna di una riga ha valore zero, allora l intera tabella perde di significato.

26 26 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Caso particolare: primo termine di una riga nullo. Si può risolvere sostituendo lo zero con un termine ε (piccolo a piacere). Se, invece, più termini iniziali della riga sono nulli, è possibile sfruttare una proprietà (corollario 0) del criterio di Routh. Corollario 0. La tabella di Routh non cambia se, ad ogni riga che inizia con un certo numero (h) di zeri, si somma un altra riga, ottenuta moltiplicando quella originale per ( ) n e poi traslandola a sinistra di h posti. Caso particolare: tutta una riga è nulla. Tale opportunità può verificarsi solo in righe dispari. Indicata tale riga con 2m+, le variazioni di segno della prima colonna nelle posizioni precedenti riguardano solo n 2m radici. Per avere informazioni delle altre 2m radici si usa la tabella proseguita, ottenuta a partire dall equazione ausiliaria costruita sulla riga 2m Equazione ausiliaria e tabella proseguita Data la riga 2m + composta di tutti zeri (che impedisce di completare la tabella), si costruisce dalla riga precedente 2m l equazione ausiliaria: b 2m s 2m + b 2m 2 s 2m b 0 = 0 i cui coefficienti sono quelli della riga precedente quella con tutti zeri. Le sue radici coincidono con quelle iniziali mancanti (sono 2m). Proprietà (Stabilità di righe nulle). Per i valori che annullano un intera riga della tabella di Routh, il sistema non può mai essere asintoticamente stabile ma, al più, semplicemente stabile. Proprietà (Segni delle radici dell equazione ausiliaria). Nell equazione ausiliaria il numero di radici con parte reale positiva è uguale 3 al numero di radici con parte reale negativa. Inoltre possono esserci, senza vincoli, radici puramente immaginarie (cioè con parte reale nulla). Infatti, se si pone s 2 = x, si può riscrivere l equazione ausiliaria generica: b 2m x m + b 2m 2 x m + + b 0 = 0 le cui radici sono associabili come segue alle radici dell equazione ausiliaria: una radice reale negativa corrisponde a due radici immaginarie dell equazione ausiliaria; una radice reale positiva corrisponde a due radici reali dell equazione ausiliaria; una coppia di radici complesse coniugate corrisponde a due coppie di radici complesse coniugate dell equazione ausiliaria. Se l equazione ausiliaria è di grado troppo elevato per poterne calcolare le radici, la si può derivare senza perdere le sue caratteristiche e poi usare la tabella proseguita: 3 Infatti l equazione ausiliaria manca di tutti i termini di grado dispari, per cui le radici sono simmetriche rispetto all origine.

27 3.4. Equazione ausiliaria e tabella proseguita 27. si deriva il primo membro dell equazione ausiliaria; 2. si mettono i coefficienti dell equazione, ottenuta derivando, nella riga 2m (composta da tutti zeri); 3. si costruisce (allo stesso modo della tabella di Routh) e si studia la tabella proseguita, a partire dalla riga 2m. La tabella proseguita dà informazioni su tutte le radici mancanti all appello, con una lieve variante nell analisi dei segni della prima colonna: variazione di segno: corrisponde a una radice con parte reale positiva; permanenza di segno: corrisponde a una radice con parte reale negativa, oppure nulla. Esempio. Consideriamo l equazione: s 4 + s 3 3s 2 s + 2 = 0 Possiamo applicare il criterio di Routh, perché il termine noto è diverso da 0; si ottiene la tabella (3.4) di Routh (parziale) Tabella 3.4: Esempio di tabella di Routh con riga nulla La riga, essendo nulla, non permette di completare la tabella. Dalle righe 4, 3 e 2, intanto, si possono annotare una permanenza e una variazione di segno, che corrispondono a una radice con parte reale negativa e ad una con parte reale positiva. Essendo il polinomio di quarto grado, mancano all appello due radici. Possiamo utilizzare l equazione ausiliaria rispetto alla riga, cioè quella costruita con la riga precedente (la 2): 2s = 0 s = ± Abbiamo trovato le due radici mancanti: una ha parte reale positiva, l altra ha parte reale negativa. Alternativamente possiamo derivare l equazione ausiliaria (sempre costruita dalla riga 2) e studiare la tabella proseguita: d ( 2s ) = 0 4s = 0 ds I coefficienti da porre nella nuova riga sono 4 e 0. La riga 0 si calcola come noto. Si ottiene così la tabella proseguita della tabella di Routh (tab. 3.5). Studiando la prima colonna si nota una variazione di segno (quindi una radice con parte reale positiva) e una permanenza di segno (una radice con parte reale negativa o nulla). Poiché le radici devono andare a coppie, cioè devono esserci in pari numero radici con parte reale positiva e negativa, allora la seconda radice non può essere immaginaria, ma deve essere a parte reale negativa per compensare l altra.

28 28 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Tabella 3.5: Esempio di tabella proseguita I due metodi ottengono il medesimo risultato; la tabella proseguita, però, è indicato solo quando le righe mancanti nella tabella di Routh (a causa di righe nulle) sono molte e rendono pesante il calcolo diretto delle radici, come in questo esempio Stabilità in dipendenza da un parametro Spesso la funzione studiata col criterio di Routh è espressa in forma parametrica. In tal caso si vuole sapere per quale intervallo di valori del parametro il sistema è stabile. Scritta la tabella di Routh col procedimento visto, si impone che la prima colonna abbia segno costante (in tal caso, tutte le radici hanno parte reale negativa). Per situazioni in cui i valori del parametro annullano intere righe, si può:. calcolare direttamente le radici del caso incriminato (se è agevole); 2. usare equazioni ausiliarie e tabelle proseguite. I valori del parametro che annullano uno o tutti gli elementi di una riga determinano semplice stabilità. Tali valori dividono l intervallo ], + [ in più sottointervalli, ognuno dei quali determinerà condizioni di stabilità asintotica oppure instabilità seguendo la seguente regola: si passa dalla stabilità asintotica alla instabilità, attraverso la stabilità semplice. Esempio. Consideriamo la funzione di trasferimento: G(s) = ( + k)s 3 + (6 6k)s 2 + ( + k)s + (6 6k) Possiamo applicare il criterio di Routh, perché il termine noto è diverso da 0; si ottiene la tabella (3.6) di Routh. 3 + k ( + k) 0 2 6( k) 6( k) 0 0( + k) 0 0 6( k) 0 Tabella 3.6: Esempio di tabella di Routh parametrica con riga nulla G(s) è asintoticamente stabile quando < k <. Con k = si annulla la seconda riga (numero 2). Questo fatto sembrerebbe anomalo (si possono annullare solo le righe dispari), in realtà con k = il termine noto è nullo e non si applica Routh. Si possono calcolare direttamente le radici nel caso k = : 2s s = 0 s(2s ) = 0

29 3.4.2 Stabilità in dipendenza da un parametro 29 s = 0 s 2 = +j s 3 = j Tutte le radici sono a parte reale nulla, quindi corrispondono a poli semplicemente stabili. Si può fattorizzare il polinomio, raccogliendo s, e costruire la tabella proseguita di Routh. Con k = si annulla la prima riga (numero 3). Non essendoci righe poste al di sopra, non c è equazione ausiliaria per questa circostanza. Si possono calcolare direttamente le radici nel caso k = : 2s = 0 s,2 = ±j Tutte le radici sono a parte reale nulla, quindi corrispondono a poli semplicemente stabili. Si possono studiare le radici rimanenti, usando il polinomio caratteristico P (s) = 2s e costruendo la tabella proseguita di Routh. (tab. 3.7) Tabella 3.7: Esempio di tabella proseguita con parametro vincolato La riga è fittizia, costituita da tutti zeri, e serve solo per costruire le righe successive della tabella: non va considerata nel conteggio delle variazioni di segno. La riga, invece, è la derivata del polinomio caratteristico (cioè della prima riga). Studiando la prima colonna si notano due permanenze di segno (quindi due radici con parte reale negativa o nulla). Poiché le radici devono andare a coppie e il polinomio ha solo due radici, l unica possibilità è che entrambe le radici siano a parte reale nulla (come conferma il calcolo diretto).

30 30 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità 3.5 Luogo delle radici Le radici della funzione di trasferimento, al variare del parametro K R, descrivono un luogo geometrico sul piano complesso (luogo delle radici, fig. 3.). Figura 3.: Luogo delle radici Il luogo delle radici è la rappresentazione grafica dei valori che possono assumere tutti i poli di un sistema di controllo in retroazione (fig. 3.8), al variare di un parametro della sua funzione di trasferimento di anello G a (s) = G(s) H(s). Solitamente il parametro è: Si utilizza il luogo delle radici per: K a = lim s 0 G a (s) = G a (0) verificare se, variando K a, si spostano i poli avendo un comportamento migliore di quello, originario, di G(s); ottenere la sintesi di un sistema con la determinazione di K a, che assegna la posizione dei poli più simile a quella desiderata; controllare che la configurazione desiderata si riferisce ai poli dominanti, sulla base di specifiche assegnate (es. massima sovraelongazione, tempo di assestamento) Poli dominanti Dopo aver riportato tutti i poli e gli zeri sul piano complessi, si cancellano tutte le coppie polo-zero nelle quali i due componenti sono prossimi tra loro. I poli isolati più vicini all asse immaginario, rispetto agli altri poli, sono dominanti (in fig. 3.2 si nota che i poli non sono quelli più vicini, in assoluto, all asse immaginario: bisogna prima rimuovere le coppie che si annullano vicendevolmente). Proprietà 3.5. (Approssimazione della fdt). Si può approssimare la funzione di trasferimento di una funzione coi soli poli dominanti, utilizzando il guadagno del sistema iniziale Proprietà del luogo delle radici Le proprietà del luogo delle radici si basano sulla forma fattorizzata della funzione di trasferimento. Qualora sia data la forma non fattorizzata, non si possono applicare le proprietà a K, ma da esso bisogna risalire necessariamente alla versione K del guadagno:

31 3.5.2 Proprietà del luogo delle radici 3. si pone Figura 3.2: Poli dominanti G (s) = (s z ) (s z m ) (s p ) (s p n ) con G a (s) = K G (s) = G(s) H(s); 2. l equazione caratteristica è: + K G (s) = 0 (che è uguale a + G(s) H(s) = 0); 3. poiché l equazione caratteristica è definita nel dominio C, allora essa è composta di due equazioni reali (una per i moduli e una per gli argomenti) che dipendono da K: con K > 0: con K < 0: G (s) = K arg G (s) = (2ν + )π, G (s) = K arg G (s) = 2νπ, ν Z ν Z Proprietà (Rami e asintoti). Il luogo ha tanti rami quanti sono i poli di KG (s). Le radici multiple definiscono le intersezioni tra i rami. Ognuno degli n rami parte da un polo di G (s): m rami terminano in uno zero di G (s); n m rami terminano all infinito (asintoti). Proprietà (Simmetria). Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all asse reale. Proprietà (Radici reali). Quando K > 0, un punto reale è nel luogo delle radici se alla sua destra c è un numero dispari di poli e zeri. Quando K < 0, un punto reale è nel luogo delle radici se alla sua destra c è un numero pari di poli e zeri.

32 32 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Proprietà (Angoli (quando K > 0)). Il luogo delle radici parte da un polo p i con angolo: ϕ i = (2ν + )π + m arg(p i z j ) arg(p i p j ) j I j= { ν Z con: I = {, 2,..., i, i +,..., n} Il luogo delle radici tende ad uno zero z i con angolo: ϑ i = (2ν + )π + n arg(z i p j ) j= j I arg(z i z j ) con: { ν Z I = {, 2,..., i, i +,..., m} Proprietà (Angoli (quando K < 0)). Il luogo delle radici parte da un polo p i con angolo: ϕ i = 2νπ + m arg(p i z j ) arg(p i p j ) j I j= { ν Z con: I = {, 2,..., i, i +,..., n} Il luogo delle radici tende ad uno zero z i con angolo: ϑ i = 2νπ + n arg(z i p j ) j= j I arg(z i z j ) con: { ν Z I = {, 2,..., i, i +,..., m} Nota Nel calcolo degli angoli, le formule per K > 0 e quelle per K < 0 differiscono per il fattore che moltiplica π: è un numero dispari (2ν + ) nel primo caso, pari (2ν) nel secondo. Proprietà (Punti di diramazione). Una radice di ordine h è un punto comune ad h rami ( punto di diramazione). In esso sono soddisfatte: + KG (s) = 0 d (n) ds n [ + KG (s) ] = 0 fino a n = h (cioè si annullano le derivate di ogni ordine di G (s), rispetto a s) Per le radici doppie vale la condizione semplificata: m i= s z i n i= s p i = 0 I punti di diramazione sull asse reale sono chiamati punti di emergenza o di confluenza.

33 3.5.3 Esempi di tracciamento di luogo delle radici 33 Nota Eventuali punti di diramazione sull asse immaginario o complessi coniugati non sono punti di diramazione, perché non sono soluzioni ammissibili. Proprietà (Radici multiple). In corrispondenza di una radice multipla di ordine h, il luogo delle radici presenta h rami entranti e h uscenti, alternati tra loro, con tangenti che formano tra loro angoli di π h radianti. Proprietà (Asintoti). Gli asintoti del luogo delle radici formano una stella di raggi, con centro nel punto dell asse reale avente ascissa: ( n ) σ a = m p i z i n m Quando K > 0, gli asintoti formano con l asse reale angoli: i= i= ϑ a,ν = 2ν + π ν = {0,,..., n m } n m Quando K < 0, gli asintoti formano con l asse reale angoli: ϑ a,ν = 2ν π ν = {0,,..., n m } n m Proprietà (Intersezioni con l asse immaginario). Come conseguenza della proprietà 3.5.9, se G a (s) ha: n m > 2 (n: numero poli; m: numero zeri); fase minima (gli zeri hanno parte reale negativa), allora gli asintoti intersecano l asse immaginario in due punti, diversi dall origine degli assi. Per questo, i poli dominanti (cioè i primi ad attraversare l asse immaginario dal semipiano sinistro al destro) sono complessi coniugati. I punti di intersezione con l asse immaginario sono il limite di stabilità. Il criterio di Routh dà il valore di K corrispondente al limite; la sua equazione ausiliaria dà i valori di ordinata ove c è intersezione. Le intersezioni sull asse sono del tipo jω i, per questo si può anche risolvere: { arg G (jω i ) = π, K 0 arg G (jω i ) = 0, K 0 I valori di K associati sono: K = G (jω i ), K 0 K = G (jω i ), K Esempi di tracciamento di luogo delle radici Sistema con tre poli. Consideriamo: G a (s) = K s(s + )(s + 2) È un sistema con tre poli e nessuno zero (n m = 3 0 = 3): s = 0 s 2 = s 3 = 2

34 34 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Luogo delle radici per K 0 Il luogo delle radici relativo a K 0 è riportato in figura 3.3. Figura 3.3: Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K 0) Radici reali. I punti appartenenti agli intervalli ], 2[ e ], 0[ lasciano alla propria destra un numero dispari di zeri e poli, quindi sono punti del luogo. Anche i tre poli, in quanto reali, appartengono al luogo. Asintoti. Non essendoci zeri, ogni polo tende al proprio asintoto. Essendoci tre asintoti, essi sono disposti con angoli di 2 3π tra loro, infatti: ϑ a,ν = (2ν + ) π 3 ν = {0,, 2} ϑ a,0 = π 3 ϑ a, = π ϑ a,2 = π 3 Poiché il semiasse ], 2[ appartiene al luogo, esso è un asintoto e ad esso tende un polo. Per simmetria, gli altri due asintoti attraversano l asse immaginario in due punti simmetrici rispetto all asse reale. L ascissa centrale della stella di asintoti è: σ a = 3 3 i= p i = (0 2) = 3 Punti di emergenza. Consideriamo i poli s e s 2. All inizio si muovono nell intervallo [, 0] (perciò in questo intervallo ci sarà il punto di emergenza). Quando diventano coincidenti, emergono dall asse reale. Con K + tendono agli asintoti a π 3 e π 3.

35 3.5.3 Esempi di tracciamento di luogo delle radici 35 Cerchiamo i punti di emergenza annullando la derivata prima di G (s): d ds d ds s(s + )(s + 2) = 0 [s(s + )(s + 2)] (s(s + )(s + 2)) 2 = 0 3s 2 + 6s + 2 (s(s + )(s + 2)) 2 = 0 3s 2 + 6s + 2 = 0 { sa = 0, 4226 ], 0[ punto di emergenza per K 0 s b =, 5774 ], 0[ punto di emergenza per K 0 Il valore di K per cui le radici reali sono uguali è, in ambo i casi: G (s a ) = G (s b ) = K K emergenza = 0, 3849 Nel punto di emergenza entrano due rami e ne escono altrettanti, per cui il luogo esce da s a perpendicolarmente (con angoli di π 2 ). Intersezioni con l asse immaginario. Routh (tab. 3.8). + KG (s) = 0 + K s(s + )(s + 2) = 0 s(s + )(s + 2) + K = 0 s 3 + 2s 2 + 2s + K = K 4 K 0 0 K Si calcolano col criterio di Tabella 3.8: Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici Il sistema è asintoticamente stabile se 0 < K < 4. Il sistema è semplicemente stabile se K = 4, quindi le radici si trovano sull asse immaginario. Con l equazione ausiliaria (riga 2) e K = 4 si trovano le ordinate di intersezione: Il sistema è instabile se K > 4. 2s = 0 s,2 = ±j 2 ±j, 4 Il sistema è semplicemente stabile anche se K = 0. Con l equazione ausiliaria (riga ) e K = 0 si trova l ordinata di intersezione: 4s = 0 s = 0 Il sistema ha un polo instabile quando K < 0 (il polo passa per l origine).

36 36 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Intersezioni con l asse immaginario (metodo alternativo). calcolano le intersezioni del tipo jω i come soluzioni di: Si 0 arctan arg jω i (jω i + )(jω i + 2) ( ωi ) ( ωi ) ( ωi ) arctan arctan 0 2 = ±π = ±π Risolvendo si ha ω i = 2 per avere π, mentre si ha ω i = 2 per avere π. Quando K ]K, 4[ il sistema ha rispo- Comportamento dinamico. sta oscillatoria caratterizzata da: sovraelongazione crescente con K (il coefficiente di smorzamento dei poli dominanti - complessi coniugati - passa da a 0 escluso); tempo di assestamento crescente (la parte reale dei poli dominanti complessi coniugati passa da 0, 4226 a 0 escluso). Per questi motivi, il valore K = K emergenza = 0, 3849 è la scelta migliore, rispetto a sovraelongazione e tempo di assestamento. Luogo delle radici per K 0 Il luogo delle radici relativo a K 0 è riportato in figura 3.4. Figura 3.4: Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K 0) Radici reali. I punti appartenenti agli intervalli [ 2, ] e [0, + [ lasciano alla propria destra un numero pari di zeri e poli, quindi sono punti del luogo. Anche i tre poli, in quanto reali, appartengono al luogo. Asintoti. Tutto come prima, ma cambiano gli angoli di intersezione con l asse reale: ϑ a,0 = 0 ϑ a, = 2 3 π ϑ a,2 = 2 3 π

37 3.5.3 Esempi di tracciamento di luogo delle radici 37 Poiché il semiasse [0, + [ appartiene al luogo, esso è un asintoto e ad esso tende un polo. Gli altri due asintoti non attraversano l asse immaginario. L ascissa centrale della stella di asintoti è, ancora, σ a =. Punti di emergenza. Tutto come prima, stavolta il punto di emergenza è s b. Notiamo, infatti: { sa = 0, 4226 ] 2, [ punto di emergenza per K 0 s b =, 5774 ] 2, [ punto di emergenza per K 0 È facile calcolare le interse- Intersezioni con l asse immaginario. zioni del tipo jω i come soluzioni di: arctan arg = 0 jω i (jω i + )(jω i + 2) ( ωi ) ( ωi ) ( ωi ) arctan arctan = ω i = 0 Comportamento dinamico. Il sistema è instabile per K < 0. Sistema con due poli e uno zero. Consideriamo: s G(s) H(s) = KG (s) = K s 2 + 3s + È un sistema con due poli e uno zero (n m = 2 = ): p = 2, 6 p 2 = 0, 4 z = 0 Troviamo coefficiente di smorzamento e pulsazione naturale, col principio di identità dei polinomi: s 2 + 2δω n s + ω 2 n = s 2 + 3s + { 2δωn = 3 ω 2 n = Poiché δ >, i poli sono reali negativi. { δ = 3 2 ω n = Luogo delle radici per K 0 Il luogo delle radici relativo a K 0 è riportato in figura 3.5. Figura 3.5: (K 0) Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero

38 38 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Radici reali. Appartengono al luogo delle radici i punti appartenenti agli intervalli ], 2, 6[ e ] 0, 4, 0[. Asintoti. È presente n m = 2 = asintoto, che forma con l asse reale un angolo pari a: π ϑ a,ν = (2ν + ) 2 = π ν = {0} quindi l asse reale negativo è asintoto (infatti ], 2[ appartiene al luogo). L ascissa centrale degli asintoti è: ( 2 ) σ a = p i z i = ( 2, 6 0, 4 0) = 3 2 i= i= (che, però, è ininfluente, visto che l asintoto è un intero semiasse). Punti di emergenza. p 2 si muove verso z :vi tende quando K +. p è sull asintoto: tende a quando K +. L analisi qualitativa è sufficiente per constatare che non ci sono punti di emergenza, infatti nessun polo si dirige verso un altro polo. Eventuali 4 punti di emergenza saranno presenti per K 0. Intersezioni con l asse immaginario. Routh (tab. 3.9). s + K s 2 + 3s + = 0 s 2 + (3 + K)s + = 0 Si calcolano col criterio di K K 0 Tabella 3.9: Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici Il sistema è asintoticamente stabile se K > 3. Il sistema è semplicemente stabile se K = 3, quindi le radici si trovano sull asse immaginario. Con l equazione ausiliaria (riga 2) e K = 3 si trovano le ordinate di intersezione: s 2 + = 0 s,2 = ±j Comportamento dinamico. Il sistema è sempre stabile per K 0. La risposta non è mai oscillatoria. Il tempo di assestamento peggiora con K crescente: il polo dominante, infatti, si avvicina all origine. 4 Si possono, comunque, calcolare annullando la derivata prima di G (s), ma tali punti risultano esterni al luogo trovato per K 0.

39 3.5.3 Esempi di tracciamento di luogo delle radici 39 Luogo delle radici per K 0 Il luogo delle radici relativo a K 0 è riportato in figura 3.6. Figura 3.6: (K 0) Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero Radici reali. ]0, + [. Appartenengono al luogo gli intervalli ] 2, 6, 0, 4[ e Asintoti. pari a: È presente un asintoto, che forma con l asse reale un angolo ϑ a,ν = 2ν π 2 = 0 ν = {0} quindi l asse reale positivo è asintoto (infatti ]0, + [ appartiene al luogo). Punti di emergenza. I poli si muovono uno verso l altro, poi emergono dall asse reale quando diventano coincidenti. Dopo l emersione, un polo va all asintoto, l altro va a z. Cerchiamo i punti di emergenza, con la formula particolare per i sistemi a due poli: m i= s z i n i= s p i = 0 s s + 2, 68 s + 0, 382 = 0 s 2 + 3s + 2s 2 3s = 0 s 2 + = 0 s a,b = ± s a e s b sono punti di emergenza per K 0, perché appartengono al luogo delle radici. I valori di K per cui le radici reali sono uguali sono: G (s) sa=+ = K K emergenza a = 5

40 40 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità G (s) sb = = K K emergenza b = Nei punti di emergenza entrano due rami e ne escono altrettanti, per cui il luogo esce da s a e s b perpendicolarmente (con angoli di π 2 ). Avevamo calcolato le interse- Intersezioni con l asse immaginario. zioni, che valevano ±j quando K = 3. Comportamento dinamico. Il sistema è asintoticamente stabile se 3 < K 0. Il sistema è semplicemente stabile se K = 3. Il sistema è instabile se K 3. Il sistema non risponde in maniera oscillatoria se 0 K <, e il polo più lento si velocizza (la parte reale diventa più negativa). Per questi motivi, il valore K = è la scelta migliore, rispetto a sovraelongazione e tempo di assestamento. Tale scelta è migliore di K 0, che ha risposta non oscillatoria, ma ha un polo tendente all origine che deteriora il tempo di assestamento. Supponiamo di avere specifiche sul tempo di salita, che sappiamo essere calcolabile come: ω n t s =, 8, 5 δ ω n è costante con le radici complesse coniugate: descrivendo un cerchio, hanno modulo costante. Allora δ e t s sono inversamente proporzionali. Se, però, cambiano assieme δ e ω n, allora cambia anche la sovraelongazione (in peggio) pur a fronte di un miglioramento del tempo di salita.

41 3.6 Analisi degli errori a regime Analisi degli errori a regime Per ogni valore temporale t 0 si vuole: c(t) = K c r(t) dove c(t) è la variabile controllata, r(t) il riferimento e K c una costante di controllo. Durante il transitorio è impossibile soddisfare l uguaglianza: si può ottenere solo asintoticamente nel tempo. In un sistema retroazionato (fig. 3.7) si rileva un segnale errore (e(t) = r(t) c(t)) che misura la precisione del sistema di controllo. Idealmente si avrebbe e(t) = 0. L errore a regime, invece, è: e r = lim t e(t) errore a regime Gli errori a regime sono valutabili solo quando il sistema è asintoticamente stabile. Figura 3.7: Sistema in retroazione unitaria 3.6. Retroazione negativa unitaria Si studiano le nove combinazioni tra i tre segnali di test (gradino, rampa e parabola) e i tre tipi di sistema (tipo 0, e 2). In particolare: la trasformata del gradino R 0 s la trasformata della rampa R 0 s 2 la trasformata della parabola R 0 2s 3 La trasformata del segnale errore è: ha un polo nullo; ha un polo nullo doppio; ha un polo nullo triplo. E(s) = R(s) C(s) = R(s) G(s) E(s) per cui E(s) = R(s) per sistemi in retroazione negativa unitaria. Col + G(s) teorema del valore finale si trova: s R(s) e r = lim e(t) = lim s E(s) = lim t s 0 s 0 + G(s) Errore nella risposta al gradino (errore di posizione) Il gradino è r(t) = R 0 h(t). s R 0 s e r (t) = lim s 0 + G(s) = R 0 + lim G(s) = R 0 + K p s 0 dove K p = lim G(s) è la costante di posizione. s 0 chiamato errore di posizione (e p ). Per questo motivo e r è

42 42 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Errore nella risposta alla rampa (errore di velocità) La rampa è r(t) = R 0 t h(t). s R 0 s e r (t) = lim 2 s 0 + G(s) = R 0 lim s G(s) = R 0 K v s 0 dove K v = lim s 0 s G(s) è la costante di velocità. Per questo motivo e r è chiamato errore di velocità (e v ). Errore nella risposta alla parabola (errore di accelerazione) La parabola è r(t) = 2 R 0 t 2 h(t). s R 0 s e r (t) = lim 3 s 0 + G(s) = R 0 lim s 0 s2 G(s) = dove K a = lim s 0 s 2 G(s) è la costante di accelerazione. Per questo motivo e r è chiamato errore di accelerazione (e a ). R 0 K a Tipo di sistema K p e p K v e v K a e a tipo 0 K R 0 + K (finito) 0 0 tipo 0 K R 0 K (finito) 0 tipo K R 0 K (finito) Tabella 3.0: Costanti ed errori di un sistema in retroazione negativa unitaria Teorema (Principio del modello interno). Per avere errore a regime nullo, se R(s) ha un polo nullo di molteplicità h, allora G(s) (nel ramo diretto) deve avere un polo nullo di molteplicità h. Definizione 3.6 (Errore a regime percentuale). Indipendentemente dal riferimento: e r% = + G(0) Retroazione negativa (non unitaria) Figura 3.8: Sistema in retroazione non unitaria Per un sistema in retroazione non unitaria (fig. 3.8) si cerca come obiettivo: c(t) = K c r(t)

43 3.6.2 Retroazione negativa (non unitaria) 43 Il segnale errore riferito all ingresso è: e i (t) = r(t) K c c(t) che vale idealmente 0 (con inseguimento ideale). Considerare K c = H(s) è conveniente per rifarsi al caso di retroazione unitaria. Figura 3.9: Retroazione unitaria equivalente Considerando lo schema equivalente (fig. 3.9), che ha funzione di trasferimento equivalente G e (s) = G(s) ( ) K c + G(s) K c H(s) si ha la formula equivalente: E i (s) = R(s) + G e (s) Per estensione di concetto, l errore a regime riferito all ingresso sarà: e, ancora, non dipende da R 0. e i% = + G e (0)

44 44 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilità Esempio di progetto Dati. È dato un sistema G(s) con blocco di retroazione H(s) (fig. 3.8), avente le seguenti caratteristiche: G(s) = s + H(s) = K R(s) = s (gradino) Si vuole un errore a regime e r = 0,. Determinare K. Soluzione. G retroazione (s) = C(s) R(s) = G(s) + G(s)H(s) = s+ + K s+ = s + (K + ) Il sistema è stabile per K > (usando, ad esempio, il criterio di Routh: gli addendi del denominatore mantengono lo stesso segno, quindi c è un polo stabile). E(s) = R(s) K C(s) = R(s) K E(s) ( s + E(s) + K ) = R(s) s + Col teorema del valore finale: E(s) R(s) = e r = lim e(t) t = lim s E(s) s 0 = lim s 0 s = lim s 0 s = + K 0, = + K K = 9 + K s+ = s + s + + k s + s + + K R(s) s + s + + K s

45 CAPITOLO 4 Analisi armonica Nei metodi presentati in precedenza si cercava e studiava il legame tra la posizione dei poli e le caratteristiche nel dominio del tempo. Questo metodo è agevole solo fino a due poli, e diventa complicato da tre poli e oltre. Un metodo più agevole consiste nello studiare il sistema in frequenza, in particolare analizzando la funzione di risposta armonica, che descrive completamente il comportamento a regime in corrispondenza di ingressi sinusoidali. Risposta a regime di un sistema (lineare e stazionario) a un ingresso sinusoidale Dato un ingresso u(t) = U sin(ωt), esauriti tutti i transitori la risposta assume forma: y(t) = Y (ω) sin(ωt + ϕ(ω)) con: Si nota che: { Y (ω) = U G(jω) ϕ(ω) = arg G(jω) u(t) e y(t) sono sinusoidi con la stessa frequenza (ω); Y (ω) e ϕ(ω) sono funzioni della frequenza: il sistema amplifica e sfasa differentemente, a seconda della frequenza in ingresso; non serve conoscere G(s), ma i valori che assume sull asse immaginario (cioè il solo comportamento in frequenza a transitori esauriti). 4. Funzione di risposta armonica In un sistema lineare e stazionario vale l importante relazione: F (ω) = Y (ω) U ejϕ(ω) = G(jω) e jϕ(ω) j arg G(jω) = G(jω) e = G(jω)

46 46 Analisi armonica Affinché F (ω) sia un modello del sistema, serve che essa possa definire completamente il comportamento del sistema. Questo è vero perché F (ω) è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva: G(jω) = + 0 e jωt g(t) dt A questo punto si possono definire tutte le importanti relazioni tra le funzioni rappresentative di un sistema: 4.2 Diagrammi di Bode g(t) = L {G(s)} = F F (ω) I diagrammi di Bode sono riportati in figura 4.. Sono diagrammi logaritmici: i valori sull asse delle ascisse sono riportati in scala logaritmica (log ω). I valori sull asse delle ordinate, invece: sono decibel per il diagramma delle ampiezze; sono angoli (lineari) per il diagramma delle fasi. I decibel si usano per avere una scala lineare, invece di riportare i valori logaritmici del modulo di G(jω). Si tratta, comunque, di una unità di misura logaritmica. (a) Diagramma delle ampiezze (b) Diagramma delle fasi Figura 4.: Diagrammi di Bode Nota Per motivi analitici, talvolta i diagrammi di Bode vengono calcolati con i logaritmi naturali invece dei logaritmi in base 0, senza cambio della sostanza e del risultato. In questa eventualità, il diagramma delle ampiezze è chiamato diagramma α, quello della fasi diagramma β decibel (db) È un unità di misura logaritmica che permette di riportare intervalli molto ridotti o molto estesi su brevi porzioni di piano (linearizzandone la scala, come si nota dalle tabelle successive). Da questa proprietà segue la sommabilità dei valori tra diagrammi in decibel, nel momento in cui i diagrammi con valori reali andassero moltiplicati. La definizione matematica di decibel è: A db = 20 log A

47 4.2.2 Diagrammi elementari 47 A A db 0 2 =, 442 3, ,6 0 5, Tabella 4.: Corrispondenze tra valori effettivi e in db In tabella 4. sono riportate le corrispondenze tra alcuni valori assoluti assunti da A e il corrispettivo in decibel. Trattandosi di un unità logaritmica, le operazioni moltiplicative sui valori reali di A diventano operazioni additive quando A è in decibel (tab. 4.2). A A db 2A A db + 6 A A db 6 2 0A A db + 20 A A db n 20 n Tabella 4.2: Operazioni notevoli in db L uso dei decibel (logaritmici) per G(jω) tramuta il prodotto tra i fattori di G in somma tra i rispettivi diagrammi, permettendo facilmente di ottenere un unico diagramma complessivo Diagrammi elementari I diagrammi elementari si riferiscono ai fattori elementari di G(jω) (in forma fattorizzata). G(jω) = K Si tratta di una costante (fig. 4.2). Figura 4.2: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per una costante

48 48 Analisi armonica G(jω) = (jω) h Si tratta di un polo nell origine, con molteplicità h (fig. 4.3). Per il diagramma delle ampiezze si trova la relazione: log G(jω) = h log ω G(jω) = hω per cui, in decibel: G(jω) db = 20 h ω. Per il diagramma delle ampiezze è più facile: arg G(jω) = h π 2. Figura 4.3: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo nell origine (di molteplicità h) G(jω) = + jωτ Si tratta di un polo semplice (fig. 4.4): negativo (stabile), per τ > 0; positivo (instabile), per τ < 0. Per il diagramma delle ampiezze: G(jω) = + ω 2 τ 2 Si studiano gli asintoti per ω 0 e ω. ω τ : cioè G(jω) = ; ω τ : log G(jω) = log = log + ω}{{ 2 τ} 2 trasc. log G(jω) = log }{{} +ω 2 τ = log 2 ωτ = log ω + log τ trasc. cioè G(jω) = ω + τ.

49 4.2.2 Diagrammi elementari 49 Figura 4.4: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo semplice Figura 4.5: Diagramma di Bode reale (ampiezza) per un polo semplice Il valore ω 0 = è detto pulsazione di taglio o punto di rottura. Il diagramma τ reale (fig. 4.5), in sua corrispondenza, assume un valore inferiore di 3 db rispetto alla cuspide dell approssimazione asintotica. L errore tra diagramma reale e asintotico si esaurisce, a partire da ω 0, entro una decade di ω. Per il diagramma delle fasi: Agli asintoti: ω τ : arg G(jω) = 0; ω τ : arg G(jω) = π 2 arg G(jω) = arctan(ωτ) Il diagramma reale delle fasi è la funzione arcotangente, e passa per il punto centrale del segmento obliquo dell approssimazione (in corrispondenza di ω 0, dove la fase vale π 4 ). I valori estremi del segmento obliquo si calcolano come segue: ω a = ω 0 ω b = ω 0 4, 8 4, 8

50 50 Analisi armonica Il diagramma delle fasi per τ < 0 (fig. 4.6) è ribaltato rispetto all asse delle ascisse, ma conserva le stesse caratteristiche. Figura 4.6: Diagramma di Bode (fase, quando τ < 0) per un polo semplice G(jω) = + jωτ Si tratta di uno zero semplice: negativo ( zero stabile ), per τ > 0; positivo ( zero instabile ), per τ < 0. I diagrammi di Bode di ampiezza e fase (figg. 4.7 e 4.8) si ottengono ribaltando i corrispettivi diagrammi del polo semplice. In particolare, per le ampiezze si ha G(jω) = ω τ come approssimazione per ω τ. Figura 4.7: Diagramma di Bode (ampiezza) per uno zero semplice Figura 4.8: Diagrammi di Bode (fase) per uno zero semplice

51 4.2.2 Diagrammi elementari 5 G(jω) = + 2δ ω ω n ω2 ω 2 n Si tratta di due poli complessi coniugati (fig. 4.9): con parte reale negativa (stabili), per δ > 0; con parte reale positiva (instabili), per δ < 0. Figura 4.9: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per due poli complessi coniugati Figura 4.0: Diagramma di Bode reale (ampiezza) per due poli complessi coniugati Il diagramma delle ampiezze assume alcune caratteristiche interessanti al variare di δ: 0 δ 2 : c è un picco di risonanza in (ω n ); 0 δ < 2 : l intersezione con l asse delle ascisse è a destra di ω n (l approssimazione sottovaluta il diagramma reale); δ = 2 : l intersezione con l asse delle ascisse è in ω n; 2 < δ 2 : l intersezione con l asse delle ascisse è a sinistra di ω n ;

52 52 Analisi armonica 2 δ : non c è picco né intersezione con l asse delle ascisse (l approssimazione sopravvaluta il diagramma reale). Si definisce la pulsazione di risonanza: ω r = ω n 2δ 2 In sua corrispondenza si misura l ampiezza del picco di risonanza: M r = 2δ δ 2 che è una funzione decrescente di δ, e ha senso fino a δ 2. Il diagramma delle fasi presenta il segmento di raccordo con pendenza variabile : da verticale (con δ = 0) il segmento aumenta l inclinazione col δ crescere di δ (ruotando attorno al centro, che si trova in corrispondenza della pulsazione ω n ). Gli estremi del raccordo si calcolano estendendo le formule viste per il polo semplice: ω a ω n 4, 8 δ ω b 4, 8 δ ω n La funzione reale per il diagramma delle fasi (fig. 4.) è l arcotangente. Figura 4.: Diagramma di Bode reale (fase) per due poli complessi coniugati Quando < δ < 0 il diagramma delle ampiezze è sempre uguale a quello presentato, mentre il diagramma delle fasi è ribaltato sull asse delle ascisse (fig. 4.2), pur conservando tutte le caratteristiche. G(jω) = + 2δ ω ω n ω2 ω 2 n Si tratta di due zeri complessi coniugati. I diagrammi di Bode di ampiezza e fase (figg. 4.3 e 4.4) si ottengono ribaltando i corrispettivi diagrammi dei poli complessi coniugati.

53 4.2.2 Diagrammi elementari 53 Figura 4.2: Diagramma di Bode (fase, quando < δ < 0) per due poli complessi coniugati Figura 4.3: Diagramma di Bode (ampiezza) per due zeri complessi coniugati Figura 4.4: Diagrammi di Bode (fase) per due zeri complessi coniugati

54 54 Analisi armonica Esempio di tracciamento di diagrammi di Bode Consideriamo G(s) = 0(s 5) s(s ) G(jω) = 50 ( 5 jω) jω( jω) Dall espressione di G(jω) traiamo i fattori elementari:. G (jω) = 50 (costante); 2. G 2 (jω) = jω (polo nell origine); 3. G 3 (jω) = jω (polo reale: p = +, τ p = ); 4. G 4 (jω) = 5 jω (zero reale: z = +5, τ z = 5 ). Il contributo della costante viene conteggiato assieme a quello del polo nell origine, perché questa unione non svilisce le caratteristiche del polo nell origine (ne cambia solo il modulo): G 2 = 50 jω I tre fattori contribuiscono in zone diverse del diagramma: ω 0 (e su tutte le ω): contribuisce G 2 (con 20 db/dec.); ω > = : contribuisce G 3 (con 20 db/dec.); τ p ω > = 5: contribuisce G 4 (con +20 db/dec.). τ z Ricerchiamo le ordinate in corrispondenza delle ascisse (ω p = e ω z = 5) ove avvengono le intersezioni tra i tre contributi. Nel primo caso (che coincide con l intersezione con l asse delle ascisse): G(jω) ω= = 20 log 50 j = 20 log 50 = 34 db Noti i due estremi del segmento di raccordo, si trova l ascissa del punto centrale: log ω centrale = log ω p + log ω z = 2, 24 2 La pendenza del segmento di raccordo è quella presente per ω < (cioè 20 db/dec.), incrementata dei 20 db/dec. contribuiti dal polo reale. A partire da ω = 5, a questa pendenza si aggiungono i 20 db/dec. dello zero. Per quanto riguarda le fasi: la costante dà contributo di fase nullo; il polo nell origine dà contributo di fase costante di valore π 2 ; il polo reale contribuisce (con il diagramma relativo): con fase 0 per ω ω pa = ω p = 0, 2; 4, 8

55 4.2.3 Esempio di tracciamento di diagrammi di Bode 55 con fase π 2 per ω ω pb = ω p 4, 8 = 4, 8; con un raccordo di pendenza 90 log ω pb log ω pa = 66. lo zero reale contribuisce (con il diagramma relativo): con fase 0 per ω ω za = ω z =, 04; 4, 8 con fase π 2 per ω ω zb = ω z 4, 8 = 24, 05; con un raccordo di pendenza 90 log ω zb log ω za = 66. A questo punto si definisce la fase intervallo per intervallo, calcolando le pendenze dei raccordi sommando i diagrammi dei singoli fattori. La fase vale sicuramente π 2 per ω < 0, 2 e ω > 24, 05. Altrettanto sicuramente la fase è costante per, 04 ω 4, 8, poiché è data da due soli contributi di pendenza opposta. Questa fase costante è quella assunta nel punto finale dell intervallo [0, 2,, 04] dal raccordo di pendenza 66, cioè 43, 8. Da questo valore riparte il raccordo, di pendenza 66, nell intervallo [4, 8, 24, 05]. I diagrammi asintotici risultanti sono in figura 4.5. Figura 4.5: Esempio di tracciamento dei diagrammi di Bode (ampiezza e fase)

56 56 Analisi armonica 4.3 Diagrammi polari Un diagramma polare è una curva che unisce tutte le coppie modulo-fase (di G(jω)) al variare di ω, riportata sul piano di Gauss (fig. 4.6). Figura 4.6: Diagramma polare 4.3. Diagrammi elementari I diagrammi elementari (come nel caso visto per i diagrammi di Bode) si riferiscono ai fattori elementari di G(jω) (in forma fattorizzata). G(jω) = K Per una costante si hanno i diagrammi in figura 4.7. (a) Diagramma polare per costante positiva (b) Diagramma polare per costante negativa Figura 4.7: Diagrammi polari per una costante G(jω) = (jω) n Per un polo multiplo si ha: G(jω) = ω h arg G(jω) = h π 2 Ad esempio, se h =, si ha il diagramma in figura 4.8. G(jω) = + jωτ Per un polo semplice si ha modulo: G(jω) = + ω 2 τ 2 = {, ω 0 0, ω

57 4.3.2 Comportamenti al variare di ω 57 Figura 4.8: Diagramma polare per un polo multiplo e argomento: 0, ω 0 arg G(jω) = arctan(ωτ) = ωτ, ω piccolo π, ω 2 Quanto appena visto è visibile in figura 4.9. Figura 4.9: Diagramma polare per un polo semplice Comportamenti al variare di ω Consideriamo G(jω) in forma polinomiale, oppure fattorizzata. ω 0 + Con h = 0: il diagramma parte dal punto dell asse reale lim G(jω). ω 0 + Con h = : il diagramma ha un asintoto verticale di ascissa σ a = lim ω 0 + R{G(jω)}. Se G(jω) è in forma polinomiale: G(jω) = K b 0 + jωb jω(a 0 + jωa ) σ a = K b a 0 b 0 a a 2 0

58 58 Analisi armonica Se G(jω) è in forma fattorizzata: σ a = K ( ) τ i + 2 δ i ω i ni j ( τ j + 2 δ ) j ω nj Con h > : il diagramma parte da un punto all infinito e tende a una curva di ordine h. lim G(jω) = ω 0 + lim arg G(jω) = hπ ω ϕ n con ϕ n = 0, K b0 a 0 > 0, K > 0 π, K b0 a 0 < 0, K < 0 Esempio. Supponiamo il caso G(jω) = (jω) 2. Poiché h = 2, ( + jω) il diagramma polare è una parabola che, per ω 0 +, ha argomento: arg G(jω) = 2 π 2 + ϕ n = π + ϕ n = π con ϕ n = 0 perché K > 0. Dalla figura 4.20 si nota che, per ω 0 +, la curva parte dall infinito per poi convergere all origine degli assi, al crescere di ω. Figura 4.20: Esempio di diagramma polare per un polo multiplo (h = 2) ω > 0 (piccolo) Determina come ruota, inizialmente, il raggio vettore. Si valuta la variazione di arg G(jω) rispetto ad arg G(0): si possono trascurare tutti i termini di grado superiore a ω. Per qualunque valore di h 0, il vettore ruota in senso orario/antiorario a seconda che le parentesi (nelle formule 4. e 4.2) siano negative/positive: ( b arg G(jω) ω a ) (4.) b 0 a 0 ( ( τ i + 2 δ i ω ni τ j + 2 δ ) j (4.2) ω nj = ω i ) j

59 4.3.3 Rotazioni complessive al finito 59 ω + Con n = m (tanti poli quanti zeri): il diagramma termina su un punto dell asse reale: lim G(jω) = K = K τ τ 2 ω n ω n ω + τ τ 2 ω n 2 ω n Con n > m (più poli che zeri): il diagramma termina nell origine, tangente ad un asse: lim ω + G(jω) = 0 Il limite dell argomento determina l asse e il verso di tangenza: dove: lim arg G(jω) = (m n)π ω [ sgn ( K ) ] π 2 m: zeri a parte reale negativa + poli a parte reale positiva; n: zeri a parte reale positiva + poli a parte reale negativa Rotazioni complessive al finito Variando ω da 0 a : [ arg G(jω)] ω=0 = (m n)π 2 (µ ν)π 2 (n z n p )π 2 con: m grado numeratore n grado denominatore µ numero di zeri immaginari ν numero di poli immaginari n z numero di zeri a parte reale positiva numero di poli a parte reale positiva n p

60 60 Analisi armonica Esempi di tracciamento di diagrammi polari Caso (sistema di tipo 0): G(jω) =. È un polo stabile. + jω Con ω 0 + : Con ω piccolo: lim ω jω = τ = La rotazione è oraria. ω + : arg G(jω) = τ ω = ω < 0 lim arg G(jω) = (m n)π ω [ sgn ( K ) ] π 2 = (0 ) π 2 + ( )π 2 = π 2 Anche questa caratteristica era nota, per il polo stabile. Rotazioni al finito: [ arg G(jω)] n=0 = (m n) π 2 (µ ν)π 2 (n z n p )π = (0 ) π 2 (0 0)π (0 0)π = π 2 Il raggio vettore compie un quarto di giro (in senso orario). Il diagramma polare ottenuto con queste informazioni è in figura 4.2. Figura 4.2: Diagramma polare per un sistema di tipo 0

61 4.3.4 Esempi di tracciamento di diagrammi polari 6 Caso (sistema di tipo ): G(jω) = Con ω 0 + : lim ω 0 + jω( + jω). jω( + jω) = È presente un asintoto verticale di ascissa σ a = (perché τ = ). L argomento iniziale è π 2, che è dovuto al polo nell origine. Con ω piccolo: La rotazione è oraria. ω + : Rotazioni al finito: arg G(jω) = τ ω = ω < 0 lim arg G(jω) = (m n)π ω [ sgn ( K ) ] π 2 = (0 2) π 2 + ( )π 2 = π [ arg G(jω)] n=0 = (m n) π 2 (µ ν)π 2 (n z n p )π = (0 2) π 2 (0 )π (0 0)π = π 2 Il raggio vettore compie un quarto di giro (in senso orario). Il diagramma polare ottenuto con queste informazioni è in figura Figura 4.22: Diagramma polare per un sistema di tipo

62 62 Analisi armonica Caso (sistema di tipo 2): G(jω) = (jω) 2 ( + jω). Con ω 0 + : il comportamento è parabolico, con fase iniziale π (i due poli contribuiscono ciascuno per π 2. Con ω piccolo: la rotazione è oraria (il polo con τ > 0 dà sfasamento negativo). ω + : lim arg G(jω) = (m n)π ω [ sgn ( K ) ] π 2 = (0 3) π 2 + ( )π 2 = 3 2 π Il diagramma termina tangente all asse immaginario, in direzione negativa (al contributo di due poli, per complessivi π radianti, si aggiunge il contributo di π 2 radianti del polo stabile). Rotazioni al finito: [ arg G(jω)] n=0 = (m n) π 2 (µ ν)π 2 (n z n p )π = (0 3) π 2 (0 2)π (0 0)π = π 2 Il raggio vettore compie un quarto di giro (in senso orario). Il diagramma polare ottenuto con queste informazioni è in figura Figura 4.23: Diagramma polare per un sistema di tipo 2

63 4.3.5 Diagramma polare completo (di Nyquist) Diagramma polare completo (di Nyquist) Nel diagramma polare di Nyquist si ha variazione completa di ω, da a +. Poiché G a ( jω) = G a(jω), il diagramma delle pulsazioni negative si ottiene ribaltando il diagramma polare sull asse delle ascisse. Sistema di tipo 0. Il diagramma, ottenuto per riflessione, è chiuso (fig. 4.24). Figura 4.24: Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo 0 Sistema di tipo. Il diagramma, ottenuto per riflessione, è aperto. Per chiuderlo si usa una circonferenza all infinito, che gira in senso orario con ω (a partire dal ramo superiore, per arrivare a quello inferiore: fig. 4.25). Figura 4.25: Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo Sistema di tipo 2. Il diagramma, ottenuto per riflessione, è aperto. Per chiuderlo si usa una circonferenza all infinito, che gira in senso orario con ω (a partire dal ramo inferiore, per arrivare a quello superiore: fig. 4.26). Figura 4.26: Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo 2

64 64 Analisi armonica 4.4 Criterio di Nyquist Dato un sistema retroazionato, come in figura 3.8, caratterizzato da: funzione di trasferimento: G retroazione (s) = guadagno d anello: G a (s) = G(s) H(s) G(s) +G(s) H(s) dato il diagramma di Nyquist della funzione di risposta armonica di G a (s) si hanno condizioni per avere G retroazione (s) asintoticamente stabile. Teorema 2 (Criterio di Nyquist (I)). Dato un sistema con poli tutti a parte reale negativa, perché esso sia stabile il diagramma di Nyquist non deve circondare né toccare il punto critico + j0. Teorema 3 (Criterio di Nyquist (II)). Dato un sistema senza poli immaginari (eccetto un eventuale polo nullo semplice o doppio) e con gli altri poli con parte reale qualsiasi, perché esso sia stabile il diagramma di Nyquist deve circondare il punto critico + j0 (in senso antiorario) tante volte quanti sono i poli di G a con parte reale positiva (poli instabili). Ogni giro di differenza corrisponde a un polo instabile del sistema. Teorema 4 (Criterio di Nyquist (generale)). Un sistema è stabile se il suo diagramma di Nyquist circonda il punto critico + j0: con tanti giri al finito in senso antiorario quanti sono i poli instabili di G a (s); con tanti mezzi giri al finito in senso antiorario quanti sono i poli sull asse immaginario. Calcolo del numero di poli instabili di H(s). Senza chiudere i diagrammi di Nyquist con circonferenze all infinito, si può calcolare il numero di poli instabili della funzione di trasferimento con la formula: n z = n f + n p + ν 2 con: n z : numero di poli instabili di H(s); n f : numero di giri al finito di G a (jω): col segno : giri antiorari; col segno +: giri orari; n p : numero di poli instabili di G a (s); ν 2 : numero di poli immaginari di G a(s). Quando n z = 0, allora H(s) è asintoticamente stabile.

65 4.4 Criterio di Nyquist 65 Stabilità condizionata. Quando il luogo dei punti è funzione di K ci sono due possibilità, per verificare il comportamento del diagramma polare (che si sposta, rispetto al punto critico, e dunque cambia comportamento):. avere più versioni della curva, mantenendo intatta la scala (fig. 4.27(a)); 2. avere un unica curva (essendo difficile tracciare più curve), variando il punto critico, che diventa K (fig. 4.27(b)). (a) Scala costante (b) Curva costante Figura 4.27: Influenza di K sulla stabilità La stabilità condizionata lega il valore di K con la stabilità (o instabilità) del sistema. Esempio. Studiare la stabilità di: (s + )2 G a (s) = K s 2 (s + 0, ) con K 0 Il sistema ha due poli nell origine e nessun polo a parte reale positiva. Affinché sia stabile, il diagramma di Nyquist deve fare due mezzi giri antiorari attorno al punto critico. In figura 4.28 è riportato il diagramma di Nyquist, con scala graduata su K = ; l intersezione con l asse reale avviene nel punto 2, 5 + j0, mentre il punto critico è K =. In questo caso, il diagramma compie due mezzi giri antiorari attorno al punto critico, per cui è asintoticamente stabile per K =. Con K < 0, 4, il punto critico ha ascissa 2, 5 o inferiore. In tali condizioni, il diagramma compie un giro completo in senso orario attorno a questi punti critici, quindi il sistema è asintoticamente instabile (infatti ci sono due poli instabili). Concludendo, il sistema è stabile per K > 0, 4 e instabile per K < 0, 4. (Si può trovare lo stesso risultato con il luogo delle radici, in figura 4.29: per K = 0, 4 i poli sono puramente immaginari, per K > 0, 4 i poli sono a parte reale negativa cioè stabili, per K < 0, 4 i poli sono a parte reale positiva cioè instabili.)

66 66 Analisi armonica Figura 4.28: Esempio di studio di stabilità condizionata (col diagramma di Nyquist) Figura 4.29: Esempio di studio di stabilità condizionata (col luogo delle radici)

67 4.4. Analisi di robustezza alla stabilità Analisi di robustezza alla stabilità Si possono definire due margini di stabilità: margine di fase (m f ): angolo da sottrarre alla fase di G a, quando ω dà G a (jω) = (cioè 0 db), per ottenere π; margine di guadagno (m a ): inverso del guadagno di anello, quando ω dà angolo di fase π. m f = arg G(jω u ) + π m a = G(jω n con ω u la pulsazione di guadagno unitario. In figure 4.30 e 4.3 sono riportati, sui diagrammi di Bode e sul diagramma polare, le definizioni di m f e m a. Figura 4.30: Significato geometrico dei margini di stabilità (diagrammi di Bode) Figura 4.3: polare) Significato geometrico dei margini di stabilità (diagramma Teorema 5. Applicando il criterio di Nyquist (I), se m f m a <, allora il sistema è instabile. <, oppure

68 68 Analisi armonica Se i parametri sono incerti, si può assegnare a un punto del diagramma un valore nominale, per poi ampliarne la posizione a una piccola circonferenza centrata sul punto. Il raggio dipende dall incertezza. Ai fini del criterio di Nyquist, questa circonferenza non deve circondare il punto critico. Esempio. Trovare m f di G a (s) = 2 2 s + 2. G a (jω) = 2 G a (jω) = + 2 jω ω2 = + 4 ω2 = 2 cioè ω u = 2. m f = arg G a (jω u ) + π = π + ( 0 arctan ( 0, 25ωu 2 )) = arctan = π 4 sistema instabile Lo stesso risultato è riscontrabile tracciando il diagramma polare relativo al caso ω = ω u = 2 (fig. 4.32), in ben due modi:. si può riscontrare il valore m f = π 4 come da significato geometrico; 2. si nota che il diagramma completo, ad esso associato, circonda completamente il punto critico + j0. Anche con i diagrammi di Bode (fig. 4.33) è possibile visualizzare i margini di stabilità e confermare quanto ricavato per via analitica.

69 4.4. Analisi di robustezza alla stabilità 69 Figura 4.32: Esempio di analisi coi margini di stabilità (diagramma polare) Figura 4.33: Esempio di analisi coi margini di stabilità (diagrammi di Bode)

70 CAPITOLO 5 Esempi di progetto 5. Progetto () È data la funzione di trasferimento: G(s) = s + 2 (s )(s 0, 5) Si consideri un sistema K G(s), con retroazione unitaria negativa.. Tracciare il diagramma polare della funzione di risposta armonica. 2. Analizzare le proprietà di stabilità del sistema per K =. 3. Determinare i valori di K per cui il sistema è asintoticamente stabile.. Diagramma polare In forma fattorizzata: G(s) = 2 ( + 2 s) ( )( s) ( + ) 2 = 4 s 2 ( 2s) ( s)( 2s) + 2 G(jω) = 4 jω ( jω)( 2jω) ω 0 + lim G(jω) = lim ω 0 + ω 0 + lim arg G(jω) = lim ω 0 + ω jω ( jω)( 2jω) = 4 [ ( ) ] arctan 2 ω arctan( ω) arctan( 2ω) = 0 Il diagramma parte dal punto (4, 0). La fase iniziale è nulla. Nota 5... Non ci sono poli nell origine e K > 0: all inizio, contribuiscono tutti con fase nulla. quindi i termini,

71 5. Progetto () 7 ω piccolo arg G(jω) = (τ τ τ 2 )ω = [ ] ( ) ( ) ω = ω > 0 Il raggio vettore ruota, inizialmente, in senso antiorario. Nota Le costanti di tempo dei poli, essendo negative, danno contributo di fase positivo. ω + Poiché n > m, il modulo tende a 0. Direttamente: [ ( ) ] lim arg G(jω) = lim arctan ω + ω + 2 ω arctan( ω) arctan( 2ω) = π 2 + π 2 + π 2 = 3 2 π Altrimenti, con la formula: [ ( lim arg G(jω) = (m n)π ω sgn K τ ) ] π τ τ 2 2 = (m = 3 zeri a parte reale neg. + poli a parte reale pos.) = (3 0) π 2 + [ sgn ( 2 4 ( )( 2) ) ] π 2 = 3 2 π + ( )π 2 = 3 2 π Nota Poli e zeri, asintoticamente, contribuiscono ognuno per π 2. Rotazioni complessive [ arg G(jω)] + 0 = (m n) π 2 (µ ν)π 2 (n z n p )π = ( 2) π 2 (0 0)π 2 (0 2)π = π 2 + 2π = 3 2 in senso antiorario La fase finale è: π = 3 2 π. Scriviamo G(jω) come somma di parte rea- Intersezioni con gli assi le e immaginaria. G(jω) = 4 3, 5ω 2 ( + ω 2 )( + 4ω 2 ) + j4 3, 5 ω 2 ( + ω 2 )( + 4ω 2 )

72 72 Esempi di progetto Annullando le due componenti alternativamente: R{G(jω} = 0 ω = 3, 5 { ( )} I G j 2, 49 3, 5 I{G(jω} = 0 ω = 3, 5 { ( R G j )} 3, 5 = 2 3 Il diagramma polare così ricavato, e quello completo ottenuto per riflessione, sono in figura 5.. (a) Diagramma polare (b) Diagramma di Nyquist Figura 5.: Diagrammi polari [Progetto ] 2. Stabilità per K = Il sistema ha due poli instabili, quindi servono due giri in senso antiorario per avere stabilità. Il diagramma di Nyquist per K =, attorno al punto critico, non compie alcun giro. Avendo fatto due giri in meno del richiesto, il sistema è instabile per K =. Utilizzando il criterio generale di Nyquist: n z = n f + n p + ν 2 = = 2 3. Stabilità condizionata Esprimendo K G(s) in somma di parte reale e immaginaria, si calcola K corrispondente alle intersezioni con gli assi. G(jω) = 4K 3, 5ω 2 ( + ω 2 )( + 4ω 2 ) + j4k 3, 5 ω 2 ( + ω 2 )( + 4ω 2 ) R{G(jω} = 0 ω = 3, 5 { ( )} I G j 2, 49 K 3, 5 I{G(jω} = 0 ω = 3, 5 { ( R G j )} 3, 5 = 2 3 K

73 5.2 Progetto (2) 73 { ( Vogliamo R G j )} 3, 5 < (punto critico): 2 3 K < K > 3 2 In questo modo, i diagrammi di Nyquist relativi a tali K compiono due giri antiorari completi attorno al punto critico. 5.2 Progetto (2) È data la funzione di trasferimento: G(s) = K s, K R Si consideri un sistema G(s) con retroazione unitaria negativa (fig. 3.7).. Determinare i valori di K per cui il sistema è asintoticamente stabile. 2. Calcolare, per questi valori di K, l errore a regime in risposta a un gradino unitario. 3. Calcolare, per questi valori di K, l errore a regime in risposta a una rampa unitaria.. Stabilità condizionata G retroazione (s) = G(s) + G(s) = K s + K Il polo è p = K, che ha parte reale negativa (cioè è asintoticamente stabile) se K >. 2. Errore a regime con gradino Con K > : K p = lim s 0 G(s) = K e p = R 0 + K p = K < 0 3. Errore a regime con rampa Con K > : K v = lim s 0 s G(s) = 0 e v = R 0 K v =

74 74 Esempi di progetto 5.3 Progetto (3) Figura 5.2: Sistema con retroazione variabile [Progetto 3] Si consideri un sistema con retroazione negativa variabile (fig. 5.2), caratterizzato da: K R, G p (s) = (s + 2)(s + 3). Con H(s) =, determinare i valori di K per cui si ha: e r = lim t + e(t) < 0 2. Determinare, per questi valori di K, la massima sovraelongazione percentuale di c(t), quando r(t) è un gradino unitario. 3. Con H(s) = 3, determinare i valori di K per cui si ha: e r = lim t + e(t) < 3 4. Determinare, per questi valori di K, la massima sovraelongazione percentuale di c(t), quando r(t) è un gradino unitario. 5. Con H(s) = 3, utilizzando l errore percentuale riferito all ingresso: e i% (t) = 00 r(t) c(t) r(t) determinare il valore di K per cui si ha e i% = 50%.. Errore a regime condizionato (H(s) = ) G retroazione (s) = G(s) + G(s) H(s) = K s 2 + 5s K I poli hanno parte reale negativa (cioè sono asintoticamente stabili) se 6 + K > 0, cioè se K > 6. Con questi valori di K: K p = lim s 0 G(s) = K 6 e r = e p = R 0 + K p = K Vogliamo e p < 0 : K < K > 60 K > 54

75 5.3 Progetto (3) Massima sovraelongazione, con gradino in ingresso e H(s) = Poiché il polinomio caratteristico è di secondo grado, determiniamo δ e ω n. { ω 2 n = 6 + K ω n = 6 + K ; 5 2δω n = 5 δ = K Con K = 54 prima calcolato si ottiene δ = 5 2 = 0, La massima 60 sovraelongazione percentuale, per K = 54, è: S % = 00 e δ πδ 2 = 00 e π 0,3227 0, = 34, 26% 3. Errore a regime condizionato (H(s) = 3) Il segnale errore riferito all ingresso è e i (t) = r(t) K c c(t). Dai dati forniti: e i (t) = r(t) 3c(t) K c = 3 L errore riferito all ingresso è E(s) = con retroazione equivalente unitaria: G e (s) = E(s) = G(s) K c + G(s) (K c H(s) ) = R(s). Determiniamo la fdt + G e (s) 3K (s + 2)(s + 3) (s + 2)(s + 3) R(s) = + G e (s) s 2 + 5s K s I poli di E(s) hanno parte reale negativa (cioè sono asintoticamente stabili) se 6 + 3K > 0, cioè se K > 2. Con questi valori di K si ha errore a regime: e r = Vogliamo e r 3 : lim e(t) = lim t + s 0 s E(s) = + 3K 2 3 = K K K 6 K 4 4. Massima sovraelongazione, con gradino in ingresso e H(s) = 3 Poiché il polinomio caratteristico è di secondo grado, determiniamo δ e ω n. { ω 2 n = 6 + 3K ω n = 6 + 3K ; 5 2δω n = 5 δ = K Con K = 4 prima calcolato si ottiene δ = 5 2 = 0, La massima 8 sovraelongazione percentuale, per K = 4, è: S % = 00 e δ πδ 2 = 00 e π 0,5893 0, = 0, %

76 76 Esempi di progetto 5. Errore a regime condizionato dell ingresso (H(s) = 3) Il segnale errore riferito all ingresso è e i (t) = r(t) K c c(t). Dai dati forniti: e i (t) = r(t) c(t) K c = L errore a regime riferito all ingresso è e i% = 00 la fdt con retroazione equivalente unitaria: G e (0) = G(0) K c + G(0) (K c H(0) ) = + G e (0). Determiniamo K 6 K + K = 6 (3 ) 6 + 2K Vogliamo e i% = 50%: e i% = K 6 + 3K K 6 + 3K = 50 K = 6 Per tale valore di K il sistema è instabile, quindi non ammette errore a regime. Cerchiamo il massimo errore che si può richiedere, a regime: K ] 2, + [ stabilità asintotica { e i% = K K 2 : ei% K K + : e i% e i%min = = 66% Poiché r(t) e c(t) sono in due scale diverse 2, l errore non può scendere al di sotto del minimo calcolato. Il confronto corretto è fattibile utilizzando e i (t) = r(t) 3c(t): K c = 3 G e (0) = K 2 e i% = 00 Vogliamo e i% = 50%: { 2 K 2 : 2 + K ei% + K + : e i% e i%min = K = 50 K = 2 Per logica il valore che sarà trovato ora deve essere superiore a quello fissato in precedenza, in questo caso 50%. 2 c(t) viene moltiplicato per 3 dal blocco di retroazione, prima di arrivare al sommatore.

77 Elenco delle figure 2. Sistema non puramente dinamico Risposta all impulso di un sistema del I ordine Risposta al gradino di un sistema del I ordine Risposta al gradino di un sistema del II ordine Significato geometrico di δ e ω n Piano di Gauss con coordinate δ e ω n costanti Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine Dominio individuato dai valori massimi assegnati di S e t a Grafici dei modi relativi a poli semplici Grafici dei modi relativi a poli multipli Luogo delle radici Poli dominanti Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K 0) Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K 0) Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero (K 0) Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero (K 0) Sistema in retroazione unitaria Sistema in retroazione non unitaria Retroazione unitaria equivalente Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per una costante Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo nell origine (di molteplicità h) Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo semplice Diagramma di Bode reale (ampiezza) per un polo semplice Diagramma di Bode (fase, quando τ < 0) per un polo semplice Diagramma di Bode (ampiezza) per uno zero semplice Diagrammi di Bode (fase) per uno zero semplice Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per due poli complessi coniugati

78 78 Elenco delle figure 4.0 Diagramma di Bode reale (ampiezza) per due poli complessi coniugati Diagramma di Bode reale (fase) per due poli complessi coniugati Diagramma di Bode (fase, quando < δ < 0) per due poli complessi coniugati Diagramma di Bode (ampiezza) per due zeri complessi coniugati Diagrammi di Bode (fase) per due zeri complessi coniugati Esempio di tracciamento dei diagrammi di Bode (ampiezza e fase) Diagramma polare Diagrammi polari per una costante Diagramma polare per un polo multiplo Diagramma polare per un polo semplice Esempio di diagramma polare per un polo multiplo (h = 2) Diagramma polare per un sistema di tipo Diagramma polare per un sistema di tipo Diagramma polare per un sistema di tipo Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo Influenza di K sulla stabilità Esempio di studio di stabilità condizionata (col diagramma di Nyquist) Esempio di studio di stabilità condizionata (col luogo delle radici) Significato geometrico dei margini di stabilità (diagrammi di Bode) Significato geometrico dei margini di stabilità (diagramma polare) Esempio di analisi coi margini di stabilità (diagramma polare) Esempio di analisi coi margini di stabilità (diagrammi di Bode) Diagrammi polari [Progetto ] Sistema con retroazione variabile [Progetto 3]

79 Elenco delle tabelle. Tabella delle trasformate di Laplace più utilizzate Tabella delle antitrasformate di Laplace più utilizzate Poli di un sistema del II ordine Rapporto tra poli e modi Tabella di Routh Esempio di tabella di Routh con riga nulla Esempio di tabella proseguita Esempio di tabella di Routh parametrica con riga nulla Esempio di tabella proseguita con parametro vincolato Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici Costanti ed errori di un sistema in retroazione negativa unitaria Corrispondenze tra valori effettivi e in db Operazioni notevoli in db