Esercizi: Criterio di Routh

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1 Esercizi: Criterio di Routh Giulio Cazzoli v2.2 (AA ) Polinomi generici 2. Secondo ordine Radici distinte Equazione spuria Equazione pura Terzo ordine, polinomio completo Esempi numerici 6 2. Terzo ordine, coefficienti positivi Terzo ordine, coefficienti positivi Terzo ordine, non completa, un coefficiente negativo Quarto ordine, coefficienti positivi Quinto ordine, coefficienti positivi Quinto ordine, alcuni coefficienti negativi Applicazione allo studio della stabilità 3 3. Studio di stabilità Studio di stabilità relativa

2 Es. Routh Routh e-2 Polinomi generici. Secondo ordine.. Radici distinte Dato il polinomio: as bs + c = 0 Assunti tutti i termini non nulli, compiliamo la tabella di Routh 2 a c b 0 0 c 0 Affinché il polinomio sia Hurwitz stabile, tutti i termini della prima colonna devono avere lo stesso segno, quindi deve essere verificata una delle condizioni: a > 0 a < 0 b > 0 o b < 0 c > 0 c < 0 Funzione di trasferimento con due poli distinti Se il polinomio visto è il denominatore di una funzione di trasferimento razionale, allora: un sistema del secondo ordine è asintoticamente stabile quando tutti i suoi coefficienti hanno lo stesso segno. Il denominatore della funzione di trasferimento può, ovviamente, essere scritto in forma fattorizzata: note le sue radici: G(s) = as bs + c = (s µ) (s ν) (µ, ν) = b b 2 4ac 2a le radici avranno sempre parte reale negativa. Infatti in funzione del discriminante ( = b 2 4ac) si ha: > 0 Radici reali distinte, osservando che ac < 0 < b 2 < b, il numeratore avrà sempre il segno di b, quindi le radici saranno sempre negative = 0 Radici reali coincidenti, in questo caso la radice sarà sempre negativa valendo: µ = ν = b/2a < 0 Radici complesse e coniugate, il discriminante fornisce la parte immaginaria e la parte reale è pari a b/2a Ricordando la forma della antitrasformata per due poli semplici distinti: G(s) = e la stessa specializzata per radici complesse coniugate: G(s) = L = g(t) = ( e νt + e µt) (s µ) (s ν) ν µ L = g(t) = 2Ke R(µ)t cos(i(µ)t + φ) (s µ) (s µ) si osserva come in entrambe, i termini esponenziali siano negativi se le radici sono a parte reale negativa.

3 Es. Routh Routh e-3 Senza togliere generalità considereremo il caso in cui tutti i coefficienti siano positivi, quindi: (a, b, c) > 0 = lim g(t) = 0 t + Se uno dei coefficienti è negativo (in senso generale di segno opposto) almeno una delle radici risulta a parte reale positiva e l antitrasformata conterrà almeno un termine esponenziale positivo, quindi la funzione di trasferimento risulta instabile: (a, b, c) > 0 = lim g(t) = + t +..2 Equazione spuria Un polinomio del secondo grado si dice spurio se manca del termine noto: as bs = 0 Per il lemma di Routh il polinomio non sarà sicuramente Hurwitz stabile, potrebbe essere semplicemente di Hurwitz. Compiliamo la tabella di Routh 2 a 0 b 0 0 La riga 0 è caratterizzata dal primo (e unico) termine nullo, quindi la riscriviamo secondo il metodo ε: 2 a 0 b 0 ε Uno zero nella prima colonna non permette di avere assoluta convergenza, al più semplice, condizione che si ottiene se tutti i termini sono di segno concorde, assunto ε 0 dovrà essere: { a > 0 b > 0 Funzione di trasferimento con due poli distinti di cui uno nell origine Consideriamo il polinomio come denominatore di una funzione di trasferimento razionale, e riscriviamolo in forma fattorizzata: G(s) = as bs = s (s + b/a) evidenziando il polo semplice nell origine. La funzione avrà antitrasformata del tipo: g(t) = a b ( e b a t) quindi a tempo infinito il valore della funzione è limitato se e solo se entrambi i coefficienti hanno lo stesso segno. In tal caso il limite è finito e vale (come sempre consideriamo i termini positivi): (a, b) > 0 = lim t + g(t) = a b..3 Equazione pura Un polinomio del secondo grado si dice puro se manca del termine lineare: as c = 0

4 Es. Routh Routh e-4 Per il lemma di Routh il polinomio non sarà sicuramente Hurwitz stabile, potrebbe essere semplicemente di Hurwitz. Compiliamo la tabella di Routh 2 a c c Sostituiamo la riga con i coefficienti della derivata della equazione ausiliaria ottenuta dalla riga 2: d ( as c ) = 2as ds 2 a c 2a 0 0 c Osserviamo che: il segno tra le prime due righe non cambia, dipendendo dal solo coefficiente a, quindi è garantita la presenza di una radice a parte reale negativa la riga di zeri dice che la restante radice potrà avere, nel caso di permanenza del segno, parte reale negativa o nulla, assicurando la semplice convergenza Per assicurare la convergenza, la permanenza di segno richiede che: { a > 0 o c > 0 { a > 0 c > 0 Nel caso specifico la convergenza sarà semplice, visto che se il segno dei coefficienti è uguale le radici saranno complesse e coniugate a parte reale nulla Funzione di trasferimento con due poli distinti Consideriamo il polinomio come denominatore di una funzione di trasferimento razionale: G(s) = as c otterremo un sistema non asintoticamente convergente, infatti i poli (sotto l assunzione di uguale segno dei coefficienti) sono sicuramente complessi e coniugati e a parte reale nulla: (µ, ν) = ± c a = ±i c a L antitrasformata è un termine puramente sinusoidale (i poli sono simmetrici rispetto alla origine del piano cartesiano e posti sull asse immaginario): g(t) = sin (at) a Pertanto a tempo infinito la funzione non converge ne diverge.

5 Es. Routh Routh e-5.2 Terzo ordine, polinomio completo Studiamo il polinomio: as bs cs + d = 0 Assunti tutti i termini non nulli, intestiamo la tabella di Routh: 3 a c 2 b d T, 0 d 0 La riga ha un solo termine (essendo una riga dispari il numero di elementi cala di uno a destra), che vale: T, = b a c bc bc ad b d = ad = b b Sostituendo e completando la tabella di Routh 3 a c 2 b d (bc ad)/b 0 0 d 0 Affinché il sistema sia stabile devono essere verificate le condizioni: a > 0 b > 0 bc ad b > 0 d > 0 a > 0 b > 0 bc > ad d > 0 Alternativamente: a < 0 b < 0 bc ad b < 0 d < 0 a < 0 b < 0 bc < ad d < 0 Funzione di trasferimento con tre poli Consideriamo il polinomio come denominatore di una funzione di trasferimento razionale: G(s) = as bs cs + d e supponiamo che a > 0 (solitamente si pongono numeratore e denominatore in forma monica, quindi con il coefficiente di ordine maggiore pari a uno) Un sistema del terzo ordine è asintoticamente stabile quando tutti i coefficienti di ordine tre, due e zero sono positivi e il coefficiente di ordine uno oltre ad essere positivo rispetta la relazione c > ad/b.

6 Es. Routh Routh e-6 2 Esempi numerici 2. Terzo ordine, coefficienti positivi Consideriamo il seguente polinomio di terzo grado: s 3s 4s + 2 = 0 Per il risultato ottenuto per il generico polinomio del terzo ordine, il polinomio è Hurwitz stabile; infatti:. Tutti i coefficienti sono positivi 2. 4 = c > a d/b = ( 2)/3 = 2/3 Verfichiamo mediante il criterio di Routh. La tabella di Routh avrà forma: Il termine T, vale: T, 0 T 0, T, = = 0 3 È possibile dividere tutta la riga per 0/3 senza perdere di significato. Il termine T 0,, unico della linea 0, è pari al termine noto: T 0, = = 2 = 2 T 0, = È possibile dividere tutta la riga 0 per 2 senza perdere di significato. Otteniamo dunque: I segni della prima colonna sono tutti uguali, quindi le radici del polinomio sono tutte a parte reale negativa. Le radici del polinomio (calcolate via octave) valgono: s = + i s 2 = i s 3 = 2.2 Terzo ordine, coefficienti positivi Consideriamo il seguente polinomio di terzo ordine: s 2s s + 2 = 0 Il polinomio fallisce il criterio di per la verifica di stabilità secondo Hurwitz, infatti:. Tutti i coefficienti sono positivi 2. = c > a d/b = ( 2)/2 =, falso Probabilmente il polinomio sarà semplicemente di Hurwitz con radici a parte reale nulla. Intestiamo la tabella di Routh

7 Es. Routh Routh e-7 Il termine T, vale: T, 0 2 T, = 2 2 = = 0 Tutta la riga è nulla, quindi ricorriamo alla equazione ausiliaria e alla sua derivata: 2s 2 d + 2 = 0 ds = 4s 4 0 La tabella completata con la riga ausiliaria : con la riga 0: Non essendo presenti variazioni di segno nella prima colonna della tabella: il polinomio non presenta radici positive; Ma la riga nulla in posizione porta a concludere che: una radice è sicuramente a parte reale negativa; due radici hanno parte reale negativa o nulla. Quindi il polinomio è di Hurwitz, ma non Hurwitz stabile. Le radici del polinomio (calcolate via octave) valgono: s = 2 s 2 = +j s 3 = j 2.3 Terzo ordine, non completa, un coefficiente negativo Consideriamo il seguente polinomio di terzo grado: s 3s 2 = 0 Si osservi che: per il Lemma di Routh almeno una radice sarà a parte reale positiva; manca il termine di secondo grado, la sua pozione nella tabella verrà occupata, ovviamente da uno zero. Intestiamo la tabella di Routh: La riga 2 presenta il primo termine nullo, per procedere sostituiamo lo zero con ε Calcoliamo la riga : ε 2 T, T, = ε 3 ( 2) = 3ε + 2 = 2 ε ε ε Completiamo la tabella con il termine noto e studiamo i segni della prima colonna al variare di ε

8 Es. Routh Routh e ε -2 2/ε 0-2 ε 0+ +( ) 0 ε 0 ( ) 0 È presente una variazione di segno. Il polinomio presenterà una radici a parte reale positiva. Nel caso specifico le radici del polinomio (calcolate via octave) valgono: Soluzione alternativa s = i s 2 = i s 3 = i Creiamo la riga ausiliaria mediante moltiplicazione, traslazione e somma. Numero di zeri nella riga: h =, quindi: 2 a Moltiplicazione della riga per ( ) h = 2 b Traslazione a sinistra della riga 2 a di h = spazi 2 Creazione della riga ausiliaria sommando le righe 2 a e a 0 2 ( ) = 2 2 b Completiamo la tabella calcolando la riga e aggiungendo il termine noto: T, = 2 3 ( 2) = = 4 = Ancora una volta è presente una variazione di segno 2.4 Quarto ordine, coefficienti positivi Consideriamo il seguente polinomio di quarto grado: s 4 + s s s + 2 = 0 Intestiamo la tabella di Routh T 2, T 2,2 Completiamo la riga 2, il primo termine vale T 2, = = 0 = 0 il secondo: T 2,2 = 2 0 = 2 = 2 Siccome il primo termine è nullo usiamo il metodo ε:

9 Es. Routh Routh e ε 2 T, Calcoliamo la riga : T, = ε 2 ε La tabella si completa con la riga 0 = ε 2 ε ε 2 2/ε 0 2 Osserviamo i segni della prima colonna considerando ε 0±: ε ( ) 0 + = 2 ε ε ( ) 0 + In entrambi i casi sono presenti due variazioni di segno, quindi il polinomio presenterà due radici a parte reale positiva. Applichiamo il metodo alternativo al metodo ε.. Definiamo una riga ausiliaria 2 a ottenuta moltiplicando la 2 per e spostando gli elementi a sinistra di una posizione. 2. Costruiamo una nuova riga (2 ) sommando elemento per elemento le righe 2 e 2 a. 3. Sostituiamo la 2 alla 2 e continuiamo con la costruzione della tabella di Routh a La tabella di Routh diviene quindi: La tabella presenta due permanenze di segno (tra le righe 4 e 3 e tra la 2 e la ) e due variazioni, quindi sarà caratterizzato da due radici a parte reale negativa e due a parte reale positiva. Le radici del polinomio, calcolate usando octave, valgono: s = i s 2 = i s 3 = i s 4 = i 2.5 Quinto ordine, coefficienti positivi Consideriamo il seguente polinomio di quinto grado: s 5 + 2s 4 + 4s 8s 5s + 0 = 0 Prepariamo la tabella di Routh:

10 Es. Routh Routh e T 3, T 3,2 2 T 2, T 2,2 T, 0 0 Prima di procedere al calcolo dei termini, osserviamo che è possibile semplificare la riga 4 mediante il raccoglimento a fattor comune, divideremo tutti gli elementi per +2. Procediamo al calcolo della riga 3: T 3, T 3,2 T 3, = 4 4 = 4 4 = 0 T 3,2 = 5 5 = 5 5 = 0 La riga 3 è composta esclusivamente da zeri, per procedere ricorro al metodo della equazione ausiliaria. Considerando i coefficienti della riga precedente (4), ottengo l equazione ausiliaria: s 4 + 4s 5 = 0 ne eseguo la derivata d ( s 4 + 4s 5 ) = 4s 8s ds semplifico la derivata raccogliendo +4 Uso i coefficienti per comporre una nuova riga 3, ottenendo: Calcolo della riga 2: Calcolo della riga : T 2, T 2,2 T 2, = 4 2 T 2,2 = T, = 4 2 = 2 T, = = 4 5 = Completiamo la tabella con il termine noto e osserviamo i segni della prima colonna /2 0 0 =

11 Es. Routh Routh e- La riga presenta segno negativo, quindi la tabella vede due variazioni di segno, pertanto il polinomio presenterà due radici a parte reale positiva. Nel caso specifico le radici del polinomio (calcolate via octave) valgono: s = s 2 = i s 3 = i s 4 = i s 5 = i 2.6 Quinto ordine, alcuni coefficienti negativi Consideriamo il seguente polinomio di quinto grado: s 5 + 4s 4 + 4s 3 2s 2 5s 2 = 0 Osservando che il termine noto è negativo e il coefficiente del termine di massimo grado è positivo sappiamo già che almeno una radice sarà a parte reale positiva (Lemma di Routh). Intestiamo la tabella di Routh: Completiamo la riga 3, il primo termine vale il secondo: T 3,2 = T 3, T 3,2 2 T 2, T 2,2 T, 0-2 T 3, = 4 4 ( 2) 4 4 ( 5) ( 2) 4 = = = 8 4 = 8 4 raccoglieremo a fattor comune +8/4 senza modificare il comportamento della riga Completata la riga 3, si calcola la riga 2: T 2, T 2,2 il primo termine vale ( 2) 4 ( ) T 2, = = 4 = 2 il secondo: T 2,2 = ( 2) 4 0 = 2 raccoglieremo a fattor comune +2 Completata la riga 2, si calcola la riga : T, l unico termine vale ( ) ( ) T, = = + = 0 La riga può essere completata ricorrendo sia al metodo ε che alla equazione ausiliaria. Usando il metodo ε ottengo la tabella definitiva:

12 Es. Routh Routh e ε -2 Osserviamo i segni della prima colonna considerando ε 0±: ε ε In entrambi i casi la prima colonna presenta una variazione di segno, quindi il polinomio presenterà una radice a parte reale positiva. Le radici del polinomio (calcolate via octave) valgono: s = 3 s 2 = 3 s 3 = 3 s 4 = 2 s 5 = +

13 Es. Routh Routh e-3 3 Applicazione allo studio della stabilità Il criterio di Routh può essere impiegato per valutare l effetto della variazione di uno (o più) coefficienti sulla posizione delle radici di un polinomio (studio di stabilità). Ad esempio i valori di k per i quali: a n s n + + a s + k = 0 dati i coefficienti a i, risulti Hurwitz stabile. Inoltre è possibile effettuare una valutazione di parametri con un vincolo sul valore massimo delle radici a parte negativa (studio di stabilità relativa). Ad esempio i valori di k per i quali il polinomio sopra riportato risulti Hurwitz stabile e tutte le radici siano minori di un dato valore b < 0. Richiedere che la parte reali dei poli giaccia a sinistra di b è una richiesta analoga alla stabilità, qualora lo zero del piano complesso sia posto in b. 3. Studio di stabilità Dato il polinomio: s 3s 3s + ( + k) si vuole studiare il segno della parte reale delle radici (quindi la stabilità se denominatore di una funzione di trasferimento) al variare di k Prepariamo la tabella di Routh: Procediamo al calcolo della riga : T, = il secondo termine, come si nota facilmente, vale zero: k T, T,2 0 + k 3 3 ( + k) T,2 = 0 = 8 k 3 Possiamo quindi moltiplicare tutta la riga per 3 e otteniamo la tabella completa: k 8 k k Affinché tutte le radici abbiano parte reale positiva, il segno degli elementi della prima colonna deve essere positivo:? 0? { 8 k > 0 + k > 0 { k < 8 k > Affinché il polinomio abbia radici a parte reale negativa, la costante k deve essere < k < 8 k > k < + 0 Per valori di k al di fuori del range il polinomio presenta radici a parte reale positiva. Per k < una radice, per k > 8 due radici

14 Es. Routh Routh e Studio di stabilità relativa Dato il polinomio: s 8s 6s + k = 0 si vuole ricercare il valore di k per il quale le radici non solo siano a parte reale negativa (stabilità), ma anche che restino a sinistra di - : k/ r i, R(r i ) < con r i radici del polinomio p(s) Richiedere che la parte reali dei poli giaccia a sinistra di è una richiesta analoga alla stabilità, qualora lo zero del piano complesso sia posto in Quindi la procedura generalizzata è la seguente:. Traslazione del sistema di riferimento alla coordinata reale richiesta 2. Scrittura del polinomio rispetto al nuovo sistema di riferimento 3. Verifica del segno delle radici in funzione di k La traslazione del sistema di riferiemento equivale ad un cambiamento di variabile: z = s + = s = z sostituendo nel polinomio: Risolvendo (z ) 8(z ) 6(z ) + k = 0 z 3 2z z z 2z + 8z 2 6z z 6 + k = z 5z 3z + k 9 = 0 Prepariamo la tabella di Routh: k 9 T, 0 k 9 Procediamo al calcolo della riga : T, = 5 3 (k 9) = 24 k 5 Possiamo quindi moltiplicare tutta la riga per 5 e otteniamo la tabella completa: k 9 24 k 0 k 9 Affinché tutte le radici abbiano parte reale positiva, il segno degli elementi della prima colonna deve essere positivo:? 0? { 24 k > 0 k 9 > 0 { k < 24 k > 9 Affinché il polinomio abbia radici a parte reale negativa a sinstra di, la costante k deve essere 9 < k < 24

15 Es. Routh Routh e-5 k = k = Per valori di k pari ai limiti il sistema presenta poli con parte reale evenutalmente complessi coniugati.