Il luogo delle radici

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1 Il luogo delle radici Andrea Munafò Università di Pisa April 14, 2012

2 Luogo delle radici (Evans 1948) Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l analisi e la sintesi di sistemi di controllo a retroazione. r e y G(s) y m H(s) Dinamica del sistema in ciclo chiuso Y (s) R(s) = G(s) 1+G(s)H(s) posizione nel piano complesso delle radici del polinomio caratteristico 1 + G(s)H(s) = 0 dipende dalla

3 Luogo delle radici Tramite il luogo delle radici si studia la posizione nel piano complesso delle radici di 1 + G(s)H(s) = 0 al variare di un parametro reale K Esprimiamo: G(s)H(s) = K (s z 1)(s z 2 )...(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ) n m Posto: Allora: G 1 (s) = (s z 1)(s z 2 )...(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ) 1 + KG 1 (s) = 0 n m K proporzionale alla costante di guadagno (forma di Bode) K (, )

4 G 1 (s) C allora 1 + KG 1 (s) = 0 possiamo scriverla come: K > 0 G 1 (s) = 1 K G 1 (s) = (2k + 1)π K < 0 G 1 (s) = 1 K G 1 (s) = (2k)π Condizione d angolo disegnare il luogo delle radici (n.s.) Condizione modulo per ogni punto s del luogo consente di trovare il corrispondente valore di guadagno K.

5 Esempio: costruzione per punti G 1 (s) = (s z 1 ) (s p 1 )(s p 2 )(s p 3 )(s p 4 ) s LR G 1 (s) = ϑ ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 = (2k + 1)π se G 1 (s) = (2k + 1)π allora il valore di K per cui s LR: r 1 ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 4 = 1 K

6 Esempio G 1 (s) = 1 (s + 2) p R Poli in ciclo aperto: s = Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) s = Real Axis (seconds 1 )

7 0.4 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) s = Real Axis (seconds 1 ) K > 0 Punto s > 2: (s + 2) = 0 (2k + 1)π Punto s < 2: (s + 2) = π = (2k + 1)π, k = 0 Punto s = 3: G 1 (s) = 1 K (s + 2) s= 3 = K K = 1

8 0.4 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) s = Real Axis (seconds 1 ) K < 0 Punto s > 2: (s + 2) = 0 = (2k)π, k = 0 Punto s < 2: (s + 2) = π (2k)π

9 Proprietà (1) Luogo radici presenta proprietà che agevolano la sua costruzione: P1 Tanti rami quanti sono i poli della f.d.t in anello aperto (KG 1 (s) ha n m) P2 I rami si intersecano sulle radici multiple P3 Ogni ramo parte da un polo di G 1 (s) (K = 0) e termina in uno zero di G 1 (s) o in un punto all infinito { m rami tendono agli zeri della G 1 (s); K n m rami tendono a ; P4 Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all asse Reale. P5 Se K > 0, un punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se K < 0, un punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli

10 Proprietà (2) P6 Radici multiple Una radice multipla di ordine µ corrisponde a un punto a comune a µ rami del luogo delle radici P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro). Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori uguali di π/µ radianti.

11 Proprietà (2) P6 Radici multiple Una radice multipla di ordine µ corrisponde a un punto a comune a µ rami del luogo delle radici P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro). Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori uguali di π/µ radianti. µ = 2 µ = 3

12 Proprietà (3) P8 Punto di distacco (dall asse reale): corrisponde ai punti dove abbiamo radici multiple Eq. caratteristica: f (s) = 1 + KG 1 (s) = 0 f (s) = 0 ha radici multiple se dg1(s) ds = 0 Esempio: df (s) ds = KG 1 (s) = K s(s + 1)(s + 2) = K 1 s 3 + 3s 2 + 2s dg 1 (s) ds = (3s2 + 6s + 2) (s(s + 1)(s + 2)) 2 = 0 (3s 2 + 6s + 2) = 0 s = , s =

13 Proprietà (4) P9 Gli asintoti del luogo delle radici formano una stella con centro nel punto dell asse reale n i=1 σ a = p i m i=1 z i n m Se K > 0 gli asintoti formano con l asse reale gli angoli: ϑ a,n = (2k + 1)π n m (k = 0, 1,..., n m 1) Se K < 0 gli asintoti formano con l asse reale gli angoli: ϑ a,n = (2k)π n m (k = 0, 1,..., n m 1)

14 Proprietà (5) P10 Intersezione con l asse immaginario: limite di stabilità del sistema in retroazione (K critico).

15 Proprietà (5) P10 Intersezione con l asse immaginario: limite di stabilità del sistema in retroazione (K critico). Criterio di Routh Alternativa: s = jw in eq. caratteristica { Re(1 + KG 1 (jw)) = KG 1 (jw) = 0 Im(1 + KG 1 (jw)) = 0 ricavare w e K.

16 Riassumendo Dato un processo descritto da: G 1 (s) = m i=1 (s z i ) n i=1 (s p i ) 1. Tracciare poli {p 1,..., p n } e zeri {z 1,..., z m } sul piano complesso. I rami del luogo partono dai poli e terminano negli zeri (zeri finiti o zeri all infinito) 2. Determinare i tratti dell asse reale che appartengono al luogo (per K > 0 e/o K < 0). 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso 4. Determinare gli asintoti del luogo σ a = n i=1 p i m i=1 z i n m ϑ a,n = (2k+1)π n m 5. Determinare intersezione con asse immaginario 6. Tracciare il luogo delle radici (k = 0, 1,..., n m 1) per K > 0

17 Esempio 1 r e y G(s) y m H(s) G(s) = K s(s+1)(s+2) H(s) = 1 Tracciare il luogo delle radici per K > 0

18 G(s) = K s(s+1)(s+2) 1. Tracciare poli {p 1,..., p n } e zeri {z 1,..., z m } sul piano complesso.

19 G(s) = K s(s+1)(s+2) 1. Tracciare poli {p 1,..., p n } e zeri {z 1,..., z m } sul piano complesso. Poli in ciclo aperto: s = 0, s = 1, s = Im 0 s= 2 s= 1 s= Re

20 G(s) = K s(s+1)(s+2) 2. Determinare i tratti dell asse reale che appartengono al luogo (K > 0).

21 G(s) = K s(s+1)(s+2) 2. Determinare i tratti dell asse reale che appartengono al luogo (K > 0). P5 Se K > 0, un punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Im 0 s= 2 s= 1 s= Re

22 G(s) = K s(s+1)(s+2) 2. Determinare i tratti dell asse reale che appartengono al luogo (K > 0). P5 Se K > 0, un punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Im 0 s= 2 s= 1 s= Re

23 G(s) = K s(s+1)(s+2) 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso

24 G(s) = K s(s+1)(s+2) 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso P8 dg1(s) ds = 0 dg 1 (s) ds = (3s2 + 6s + 2) (s(s + 1)(s + 2)) 2 = 0 (3s 2 + 6s + 2) = 0 s = , s = K s(s + 1)(s + 2) s= = 0 K =

25 G(s) = K s(s+1)(s+2) 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso P8 dg1(s) ds = 0 dg 1 (s) ds = (3s2 + 6s + 2) (s(s + 1)(s + 2)) 2 = 0 (3s 2 + 6s + 2) = 0 s = , s = Im 0 s= 2 s= 1 s=0 K = Re

26 G(s) = K s(s+1)(s+2) 4. Determinare gli asintoti del luogo

27 G(s) = K s(s+1)(s+2) 4. Determinare gli asintoti del luogo σ a = n i=1 p i m i=1 z i n m ϑ a,n = (2k+1)π n m (k = 0, 1,..., n m 1) per K > 0 σ a = = 1 R 3 ϑ a = 60 (k = 0) ϑ a = 180 (k = 1) ϑ a = 300 = 60 (k = 2)

28 G(s) = K s(s+1)(s+2) 4. Determinare gli asintoti del luogo σ a = n i=1 p i m i=1 z i n m ϑ a,n = (2k+1)π n m (k = 0, 1,..., n m 1) per K > Im 0 s= 2 s= 1 s=0 K = Re

29 G(s) = K s(s+1)(s+2) 5. Intersezione con asse immaginario

30 G(s) = K s(s+1)(s+2) 5. Intersezione con asse immaginario K s(s + 1)(s + 2) + 1 = 0 s 3 + 3s 2 + 2s + K = 0 (jw) 3 + 3(jw) 2 + 2(jw) + K = 0 (K 3w 2 ) + j(2w w 3 ) = 0 (K 3w 2 ) = 0 2w w 3 = 0 w = ± 2, K = 6 w = 0, K = 0

31 G(s) = K s(s+1)(s+2) 5. Intersezione con asse immaginario 3 2 K = 6 1 Im 0 s= 2 s= 1 s=0 K = K = Re

32 G(s) = K s(s+1)(s+2) 6. Tracciare il luogo delle radici 5 Root Locus 4 3 Imaginary Axis (seconds 1 ) s= 2 s= 1 K = 6 s=0 K = K = Real Axis (seconds 1 )

33 Esempio 2 r e y G(s) y m H(s) G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 H(s) = 1 Tracciare il luogo delle radici per K > 0

34 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 1. Tracciare poli {p 1,..., p n } e zeri {z 1,..., z m } sul piano complesso.

35 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 1. Tracciare poli {p 1,..., p n } e zeri {z 1,..., z m } sul piano complesso. Poli in ciclo aperto: s = 1 + j 2, s = 1 j s = 1 + j 2 Im 0 s= s = 1 j Re

36 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 2. Determinare i tratti dell asse reale che appartengono al luogo (K > 0).

37 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 2. Determinare i tratti dell asse reale che appartengono al luogo (K > 0). P5 Se K > 0, un punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli s = 1 + j 2 Im 0 s= s = 1 j Re

38 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 2. Determinare i tratti dell asse reale che appartengono al luogo (K > 0). P5 Se K > 0, un punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli s = 1 + j 2 Im 0 s= s = 1 j Re

39 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso

40 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso P8 dg1(s) ds = 0 dg 1 (s) ds = (s2 + 4s + 1) (s 2 + 2s + 3) 2 = 0 (s 2 + 4s + 1) = 0 s = , s = K(s + 2) s 2 + 2s + 3) s= = 0 K =

41 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso P8 dg1(s) ds = 0 dg 1 (s) ds = (s2 + 4s + 1) (s 2 + 2s + 3) 2 = 0 (s 2 + 4s + 1) = 0 s = , s = Im 2 1 K= s= s=-2 s = 1 + j 2 s = 1 j Re

42 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 4. Determinare gli asintoti del luogo

43 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 4. Determinare gli asintoti del luogo σ a = n i=1 p i m i=1 z i n m ϑ a,n = (2k+1)π n m (k = 0, 1,..., n m 1) per K > 0 ϑ a = 180 (k = 0)

44 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 4. Determinare gli asintoti del luogo σ a = n i=1 p i m i=1 z i n m ϑ a,n = (2k+1)π n m (k = 0, 1,..., n m 1) per K > 0 3 Im 2 1 K= s= s=-2 s = 1 + j 2 s = 1 j Re

45 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati Convergenza verso l asse reale o verso asintoti Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante Allora (condizione d angolo): φ 1 1 (θ 1 + θ2) 1 = ±(2k + 1)π o anche: θ 1 = π θ2 1 + φ 1 1 = π θ 2 + φ 1 da cui: θ 1 = π θ 2 + φ 1 = angolo partenza p 1 = θ 1 = 145, angolo partenza p 2 = s θ 1 1 φ 1 1 Im 0 φ 1 θ θ 2 2

46 G(s) = K(s+2) s 2 +2s+3 6. Tracciare il luogo delle radici Root Locus s = 1 + j 2 Imaginary Axis (seconds 1 ) K= s= s=-2 1 s = 1 j Real Axis (seconds 1 )