# EFFETTO DEL GUADAGNO A CICLO APERTO SULLA STABILITA #

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1 # EETTO DEL GUADAGNO A CICLO APERTO SULLA STABILITA # Consideriamo il sistema di controllo a controreazione con la seguente. di T. a ciclo aperto: 5 ( = (1 + (1 + (1 ; Il diagramma di Nyquist della (jω) e : Nyquist Diagram 3 (jw) 1 Imaginary Axis (-1,j) O E facile valutare la stabilita col criterio di Nyquist: z = p N Si determina il numero di giri di (jω) intorno al punto (-1,j) per ω (,+ ): N s = ; Essendo p p = ne segue che z p =, cioe il sistema e stabile a ciclo chiuso. p p s 1

2 N.B. La. di T. a ciclo aperto e priva di poli p.r.p. p p =, lo studio della stabilita si sarebbe potuto effettuare sulla sola curva polare con ω. Con riferimento al criterio ridotto di Nyquist posso immediatamente dire infatti che il sistema a ciclo chiuso e stabile dato che percorrendo la (jω), ω (,+ ), il punto (-1,j) viene lasciato a sinistra in corrispondenza del primo (e unico) punto di attraversamento dell asse reale per ω>. Vediamo adesso cosa succede se aumento il valore del guadagno a ciclo aperto: 15 ( = (1 + (1 + (1 ; Tracciamo sulla stessa figura i due diagrammi di Nyquist: Nyquist Diagram Imaginary Axis - =5 = Col nuovo valore del guadagno a ciclo aperto ( =15) il criterio ridotto mi dice che il sistema a ciclo chiuso e instabile. In generale si puo dire che, essendo il modulo di (jω) proporzionale a, all aumentare del guadagno a ciclo aperto il diagramma di Nyquist si ingrandisce mantenendo la stessa forma.

3 N.B.: Un aumento del guadagno a ciclo aperto e equivalente, in termini grafici, ad una riduzione delle scale degli assi cartesiani. L effetto dell aumento del guadagno, partendo da una (jω) gia tracciata sul piano di Nyquist, e quindi ottenuto convenientemente avvicinando il punto (-1,j) all origine. Tenendo presente questa proprieta grafica possiamo dire che il criterio di Nyquist evidenzia come il sistema all esame, che per bassi valori del guadagno a ciclo aperto e stabile, per valori piu elevati diventa instabile. Il passaggio dalla stabilita alla instabilita, all aumentare del guadagno, avviene tramite il passaggio attraverso una condizione detta situazione critica o condizione al limite di stabilita. Tale situazione si verifica quando il diagramma della (jω) passa per il punto (-1,j). 8 Nyquist Diagram 6 Imaginary Axis (-1,j) = In figura e riportata tale situazione per il sistema allo studio, che corrisponde al valore = 1. Tale valore rappresenta il guadagno critico. In una situazione come questa non si riesce (salvo un accorgimento particolare che vedremo fra poco) a valutare il numero di giri previsto dal criterio di Nyquist, ma si possono fare le seguenti osservazioni di validita generale. 3

4 Indichiamo con ±ω c i due valori di ω che corrispondono all attraversamento del punto (-1,j) da parte della curva polare (jω). Si puo scrivere quindi che: (±jω c ) = 1 e cioe (±jω c ) + 1=, che significa che l equazione caratteristica a ciclo chiuso ha per radici la coppia di numeri immaginari puri ±jω c, per cui il sistema e quantomeno al limite di stabilita. Diciamo quantomeno perche in generale (non in questo caso specifico) potrebbe succedere che, oltre alle radici a parte reale nulla, ci siano altre radici a parte reale positiva. Per accertare se esistono altre radici di tale tipo si procede nel seguente modo: si deforma localmente, nell intorno del punto (-1,j), la curva polare in modo da lasciare tale punto alla sinistra; si applica al diagramma di (jω) cosi modificato il criterio di Nyquist, valutando il numero di giri come previsto (grazie alla modifica effettuata ora e possibile valutare N s e quindi z p ); se si trova z p =, vuol dire che non esistono altre radici a p.r.p., e quindi il sistema e effettivamente al limite di stabilita ; in caso contrario il sistema e instabile. Segnaliamo che la determinazione del valore critico c del guadagno a ciclo aperto, oltre che tramite l algoritmo di Routh, puo essere effettuata sfruttando la caratterizzazione grafica nel piano di Nyquist della situazione critica appena discussa. Essendo infatti: (jω) = Re(ω) + jim(ω) e dato che la situazione critica corrisponde al passaggio del diagramma di Nyquist per (-1,j) in corrispondenza di ω=±ω c, basta trovare tali valori della pulsazione critica risolvendo l equazione Im(ω) = e imporre quindi: Re(±ω c ) = 1, per ricavare c. Ricordiamo che la prima delle due equazioni precedenti, nel caso considerato di assenza di poli nell origine in (jω), avra anche la soluzione ω=, (cui corrisponde Re()= ), oltre alla soluzione ω=±ω c. Applichiamo tale procedura tornando allo studio del sistema di cui sopra, nel quale lasciamo il guadagno in forma parametrica: ( = (1 + (1 + (1

5 Si tratta in primo luogo di razionalizzare (jω) per arrivare alla forma: (jω) = Re(ω) + jim(ω) jω) = (1 + = jω)(1 + jω)(1 + 3 jω) (1 jω)(1 jω)(1 3 jω) (1 + ω )(1 + ω )(1 + 9ω ) ( ; 3 (1 11ω ) (6ω 6ω ) jω) = + j ; (1 + ω )(1 + ω )(1 + 9ω ) (1 + ω )(1 + ω )(1 + 9ω ) ( Im(ω) = ; 6ω 3 6ω = ; ω = ; ω = 1; ω c = ±1. C (1 11) 1 * 5 *1 1 C Re() = ; Re(±ω c ) = 1; = = 1; c = 1. Questo valore del guadagno a ciclo aperto e infatti quello utilizzato per ottenere dal PC in ambiente MATLAB il diagramma di Nyquist della figura precedente, caratteristico appunto della situazione critica. acendo ricorso, in questa situazione, all accorgimento di modificare localmente, intorno al punto (-1,j), il diagramma di (jω), si verifica che N s =, che significa che non esistono radici dell equazione caratteristica a ciclo chiuso a p.r.p. e quindi il sistema e effettivamente al limite di stabilita. Ricorrendo al luogo delle radici della: ( = (1 + (1 + (1 ; si puo confermare l analisi della stabilita appena discussa. 5

6 Root Locus p1.5 Imag Axis p p x G = -.61; x D = -.1; D =.5; C = 1.66; C = 6 C = 1; p 1, = ±j ; p 3 =