Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva

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1 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva (Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco) Si consideri il sistema a retroazione rappresentato in Figura 1. In un punto generico della catena di azione diretta è presente un blocco non lineare di tipo algebrico, cioè descritto da una caratteristica statica indipendente dalla frequenza del segnale d ingresso, mentre il resto del sistema è composto da blocchi lineari, rappresentati attraverso una funzione di trasferimento. r + e C(s) x non lineare y P(s) H Figura 1: Sistema in retroazione non lineare. Si assuma un riferimento costante pari ad r 1. Per analizzare il comportamento del sistema di Figura 1 in presenza di perturbazioni, bisogna ricavare il corrispondente punto di equilibrio (x 1, y 1 ) sulla caratteristica statica dell elemento non lineare. Tale punto di equilibrio si ricava graficamente come intersezione della caratteristica statica di equazione y = f(x) con la retta di equazione x = K c (r K p H y) dove K c = C(0) ed K p = P (0). Nell ipotesi in cui non vi siano poli nell origine in catena diretta, la costruzione grafica riportata in Figura 2 consente di stabilire come il punto di equilibrio si sposti lungo la caratteristica dell elemento non lineare al variare di r. Se viceversa è presente un polo nell origine in C(s), K c e all equilibrio risulta e = 0. Pertanto la retta ha equazione da cui r = K p H y y = 1 K p H r e la corrispondente costruzione grafica è riportata in Figura 3.

2 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 2 y r 1 /(K p H) y = f(x) y 1 x 1 K c r 1 x 1 1/(Kc K p H) Figura 2: Determinazione grafica del punto di equilibrio: caso sistema di tipo zero. Se infine è presente un polo nell origine in P (s), all equilibrio risulta y = 0 qualunque sia il valore della costante r 1. All equilibrio si ha pertanto x 1 = y 1 = 0. Il comportamento locale del sistema di Figura 1 a piccole perturbazioni rispetto a una data condizione di equilibrio dipende dal particolare punto di equilibrio considerato e quindi dal valore di r 1. Se si linearizza nell intorno del punto di equilibrio, si approssima cioè la curva con la tangente in x 1, y 1, si definisce un guadagno locale del blocco non lineare che dipende da r 1. I poli del sistema linearizzato dipenderanno quindi anch essi da r 1. Pertanto nel caso di un sistema non lineare si deve parlare di stabilità di un dato punto di equilibrio e non di stabiltà di sistema, come avviene invece nel caso dei sistemi lineari. Inoltre si ricorda che nel caso dei sistemi non lineari la stabilità dell equilibrio dipende anche dall ampiezza della perturbazione. Se qualunque punto di equilibrio è asintoticamente stabile allora il sistema non lineare è globalmente asintoticamente stabile. Ai fini dello studio della stabilità dell equilibrio, corrispondente ad un dato valore di r 1, dallo schema di Figura 1 ci si può ricondurre a quello di Figura 4 in cui G(s) = C(s) P (s) H. Si è posto x = x x 1, y = y y 1 e l origine delle coordinate x, y è collocata sulla caratteristica dell elemento non lineare in corrispondenza del punto x 1, y 1. Operando tale cambio di origine nel sistema di Figura 1 e ponendo r = r r 1, nella condizione in esame risulta r = 0, da cui lo schema di Figura 4. Lo studio della stabilità del sistema di Figura 1 quando r è costante o lentamente variabile può essere ricondotto a quello di una famiglia di sistemi

3 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 3 y r 1 /(K p H) y = f(x) x 1 x Figura 3: Determinazione grafica del punto di equilibrio: caso sistema di tipo uno con un polo nell origine in C(s). autonomi (privi di ingresso) come quelli di Figura 4 che differiscono l uno dall altro per il solo fatto che l origine delle coordinate x, y è collocata in un punto diverso della caratteristica dell elemento non lineare che si può ricavare utilizzando la procedura grafica precedentemente illustrata. Nei sistemi non lineari si può osservare l insorgenza di oscillazioni persistenti attorno alla condizione di equilibrio (ciclo limite). Pertanto si pone il problema di studiare la stabilità sia di un punto di equilibrio che di un ciclo limite. x y G(s) non lineare Figura 4: Schema per lo studio dell equilibrio. Tutti i sistemi fisici sono in realtà non lineari e si comportano in modo lineare solo per piccoli segnali. Nei sistemi in retroazione con elevato guadagno d anello si possono avere ampie variazioni e saturazioni dei segnali presenti che possono determinare, per la presenza della retroazione, comportamenti instabili che si manifestano con l innesco di cicli limite.

4 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 4 Il metodo della funzione descrittiva costituisce un utile strumento per verificare se l innesco di oscillazioni autosostenute in un sistema di controllo progettato sotto l ipotesi di linearità è possibile. In pratica tale metodo serve per la ricerca di eventuali soluzioni periodiche dell equazioni differenziali che descrivono il moto in evoluzione libera dei sistemi non lineari in retroazione. Tale metodo è semplice ma non rigoroso e risulta soddisfacente nella maggior parte dei casi. Si consideri il sistema di Figura 5 in cui la caratteristica dell elemento non lineare è simmetrica rispetto all origine. Si supponga che tale sistema sia sede di un oscillazione persistente e che all ingresso del blocco non lineare tale oscillazione sia sinusoidale. All uscita del blocco non lineare si ha un segnale periodico avente lo stesso periodo della sinusoide di ingresso, sviluppabile in serie di Fourier; nello sviluppo manca il termine costante per l ipotesi di simmetria della caratteristica. x(t) non lineare y(t) G(jω) Figura 5: Schema per l applicazione del metodo della Funzione Descrittiva. Esprimendo il segnale di ingresso nella forma x(t) = X sin ω t (1) il segnale d uscita può essere rappresentato da y(t) = (a n cos(nωt) + b n sin(nωt)) n=1 in cui a n = 1 y(t) cos(nωt)dωt b n = 1 y(t) sin(nωt)dωt. Il segnale può anche espresso nella forma y(t) = Y n sin(nωt + φ n ) (2) n=1

5 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 5 dove Y n = a 2 n + b 2 n φ n = tg 1 a n b n. Si definisce funzione descrittiva dell elemento non lineare il numero complesso il cui modulo è uguale al rapporto fra l ampiezza della fondamentale del segnale d uscita e l ampiezza del segnale d ingresso ed il cui argomento è uguale allo sfasamento della fondamentale del segnale d uscita rispetto al segnale d ingresso. Pertanto è possibile sostituire al blocco non lineare un blocco lineare (guadagno) che fornisce solo la risposta della non linearità alla pulsazione fondamentale. Indicando la funzione descrittiva con F (X) si può scrivere F (X) = 1 X (b 1(X) + ȷ a 1 (X)) = 1 X Y 1(X) e φ 1(X). Trascurando le armoniche di ordine superiore al primo nell espressione (2) si ottiene y(t) Y 1 (X) sin(ωt + φ 1 (X)). Entro i limti corrispondenti a tale approssimazione, la funzione descrittiva è analoga alla funzione di risposta armonica, salvo che essa dipende dall ampiezza anzichè dalla pulsazione del segnale d ingresso. L ipotesi di trascurare le armoniche di ordine superiore al primo è basata sulla considerazione che in generale la parte lineare del sistema si comporta come un filtro passa-basso e che le armoniche superiori hanno ampiezza di solito inferiore a quella della fondamentale. Affinchè il sistema di Figura 5 sia sede di un oscillazione persistente, che all ingresso del blocco non lineare si presenta nella forma (1), deve essere soddisfatta la condizione equivalente alle due relazioni F (X) G(ȷ ω) = 1 (3) F (X) G(ȷ ω) = 1 φ 1 (X) + G(ȷ ω) = (2 k + 1) con k intero. La (3) è un equazione in X ed ω che coinvolge funzioni a valori complessi; le sue soluzioni corrispondono alle ampiezze ed alle pulsazioni di possibili cicli limite.

6 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 6 L equazione (3) può essere risolta graficamente; si tracciano i diagrammi cartesiani delle funzioni G(ȷ ω) ed 1/F (X), il primo parametrico in ω ed il secondo in X. Gli eventuali punti di intersezione corrispondono a valori per i quali è soddisfatta la condizione (3), quindi caratterizzanti possibili autoscillazioni. Con riferimento all esempio riportato in Figura 6 vi sono 2 intersezioni fra le curve. Al primo punto di intersezione corrisponde un ciclo limite di ampiezza X 1 e pulsazione ω 1. Al secondo un ciclo limite di ampiezza X 2 e pulsazione ω 2. Im{G(jω)} Im{ 1/F(X)} X 2,ω 2 ω Re{G(jω)} Re{ 1/F(X)} X 1,ω 1 X Figura 6: Diagramma di G(ȷω) e di 1/F (X). Ad un punto di intersezione dei diagammi delle funzioni G(ȷ ω) ed 1/F (X) corrisponde un ciclo limite stabile se percorrendo il diagamma polare di G(ȷ ω) nel verso delle ω crescenti la curva polare di 1/F (X) taglia quella di G(ȷ ω) passando da destra verso sinistra nel verso delle X crescenti. Equivalentemente, se all aumentare di X il punto 1/F (X) tende ad uscire dal dominio la cui frontiera è costituita dal diagramma polare completo di G(ȷ ω). Ovviamente nel caso opposto il ciclo limite è instabile. Nel caso quindi dell esempio di Figura 6 il ciclo limite di ampiezza X 1 e pulsazione ω 1 è instabile. Stabile l altro. L applicazione del metodo della funzione descrittiva equivale pertanto a considerare il sistema in retroazione lineare ma con una costante di guadagno variabile in funzione dell ampiezza delle eventuali oscillazioni sinusoidali.

7 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 7 Nel seguito viene determinata l espressione della funzione descrittiva della saturazione e del relè senza soglia. Saturazione La saturazione è una delle nonlinearità più frequenti, presente soprattutto negli attuatori. Se l ampiezza del segnale d ingresso u(t) eccede i limiti massimi stabiliti dal costruttore in base alle caratteristiche dell impianto, l uscita u sat (t) rimane assestata al limite massimo consentito. Con riferimento ad un segnale d ingresso u(t) = A sin(ω t), la Figura 7 illustra la caratteristica della saturazione e l andamento dei segnali u(t) ed u sat (t). u sat (t) k u sat (t) ka a u(t) α ωt 0 A α /2 u(t) ωt Figura 7: Caratteristica della saturazione; ingresso u(t) ed uscita u sat (t). Dalla Figura 7 risulta che se A a u sat (t) = ka sin(ω t) se A > a u sat (t) = ka α = sin 1 (a/a).

8 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 8 Si deduce quindi immediatamente che se A a allora la Funzione Descrittiva vale k. Poichè la caratteristica della saturazione è simmetrica rispetto all origine (funzione dispari), nello sviluppo in serie di Fourier in cui ( u sat (t) = u 0 + an cos(nωt) + b n sin(nωt) ) (4) n=1 a n = 1 u sat (t) cos(nωt) d(ωt) b n = 1 u sat (t) sin(nωt) d(ωt) sarà nullo il termine costante u 0 ed i coefficienti a n. Riferendosi al primo quarto di periodo del segnale u sat (t), il coefficiente del seno di prima armonica è dato da b 1 = 4 = 4 /2 0 α 0 u sat (t) sin(ωt) d(ωt) ka sin 2 (ωt)d(ωt) + 4 /2 α ka sin(ωt) d(ωt) = 2kA [ ] α ωt sin(ωt) cos(ωt) + 4ka [ ] /2 cos(ωt) 0 α = 2kA ( ) 4ka α sin(α) cos(α) + cos(α) = 2kA ( a α sin(α) cos(α) + 2 A cos(α)) = 2kA ( ) α sin(α) cos(α) + 2 sin(α) cos(α) = 2kA ( ) 2kA( α + sin(α) cos(α) = α + sin(α) 1 sin 2 (α) ) = 2kA ( sin 1 a A + a A 1 a2 A 2 ).

9 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 9 La Funzione Descrittiva è quindi una funzione reale la cui espressione è k ( F (A) = 2k sin 1 a A + a ) 1 a2 A A 2 per A a per A > a Il grafico della funzione normalizzata F (A)/k in funzione di A/a è rappresentato nella Figura F(A)/k A/a Figura 8: Andamento di F (A)/k nel caso della saturazione. Ai fini dello studio della presenza di cicli limite viene anche riportato nella Figura 9 il grafico di 1/F (A) sul piano cartesiano. Im{ 1/F(A)} A 1/k Re{ 1/F(A)} Figura 9: Rappresentazione cartesiana di 1/F (A) nel caso della saturazione.

10 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco 10 Relè senza soglia Nel caso del relè senza soglia, la caratteristica e l andamento dei segnali u(t) ed u sat (t) sono riportati nella Figura 10 u sat (t) k u sat (t) k u(t) ωt k k 0 A u(t) ωt Figura 10: Caratteristica del relè senza soglia; ingresso u(t) ed uscita u sat (t). Poichè anche in questo caso la caratteristica è simmetrica rispetto all origine, nello sviluppo in serie (4) sono nulli il termine costante u 0 ed i coefficienti a n. Il coefficiente b 1 è dato da b 1 = 2 k sin(ωt)d(ωt) = 2k [ ] cos(ωt) 0 = 4k 0 per cui la funzione descrittiva assume la seguente espressione F (A) = 4k A. Il grafico della funzione normalizzata F (A)/k in funzione di A è rappresentato nella Figura 11, mentre in Figura 12 viene riportato il grafico di 1/F (A) sul piano cartesiano.

11 Sistemi non lineari e Funzione Descrittiva. Prof. Giuseppe Fusco F(A)/k A Figura 11: Andamento di F (A)/k nel caso del relè senza soglia. Im{ 1/F(A)} A A = 0 Re{ 1/F(A)} Figura 12: Rappresentazione cartesiana di 1/F (A) nel caso del relè senza soglia.