Esercizio 10.1 Pagina 1 di 2 ESERCIZIO 10.1

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Albano Grossi
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1 Esercizio 10.1 Pagina 1 di ESERCIZIO 10.1 (Modello di Baumol). Un manager di un impresa oligopolistica massimizza i RT sotto il vincolo di garantire alla proprietà un profitto Π G = 500 euro. La funzione del prezzo di domanda è: p = 100 y La funzione del costo è: c(y) = 0 y 1) Qual è la scelta del manager? ) Come cambia questa scelta se Π G = 800 euro? 3) Cosa succede quando Π G = euro? 1) RT(y) = 100y y RT (y) = 100 4y = 0 e RT (y) = -4 < 0 ; per cui y* = 5 Inoltre Π(y) = 80y y ; e quindi Π(5) = 750. Poiché Π(5) = 750 > Π G = 500, la scelta y* = 5 soddisfa il vincolo. ) Studio la funzione del profitto: Π(0) = Π(40) = 0. Π (y) = 80 4y. Essa ha un massimo per y = 0 ed è decrescente per y > 0. Osservo che ora Π(5) = 750 < Π G = 800. Il manager può fare aumentare il profitto riducendo la produzione, al di sotto di 5, fino al punto desiderato. Questo è dato dalla soluzione dell equazione: Π(y) = 80y y = 800. Si trovano due radici reali e coincidenti uguali a 0. y** = 0 è la quantità che massimizza il ricavo fornendo un profitto Π(0) = 800 = Π G. Per pura coincidenza questa quantità è anche quella per cui il profitto è massimo. Quest osservazione ci porta alla risposta 3. 3) Poiché il profitto massimo è Π(0) = 800, non c è modo per il manager di garantire alla proprietà un Π G = Cosa potrebbe fare il manager? Potremmo pensare che egli non abbia in realtà minimizzato i costi. In tal caso egli potrebbe diminuire i costi in modo da fare emergere il profitto da garantire alla proprietà. Nel nostro caso ridurre i costi vuol dire ridurre il costo medio, c. Scriviamo quindi: Π(y,c) = (100 c)y y. Per avere soluzioni positive al problema della massimizzazione del profitto, dobbiamo assumere: c < 100. Con quest avvertenza, il profitto

2 Esercizio 10.1 Pagina di massimo è ottenuto quando si produce y = (100 c)/4; il corrispondente profitto massimo è dato da: Π = Π((100-c)/4) = (100-c) /8 (A) La (A) ci da immediatamente la funzione del profitto massimo (come varia questa grandezza al variare di c): Π = Π( c) = (100-c) /8 (B) Grazie alla (B) possiamo trovare il valore del costo medio che, se realizzato dal manager, gli consente di garantire alla proprietà un profitto Π G = 1.000Basta risolvere l equazione: Π( c) = (100-c) /8 = 1.000; si trova: c 10,5. Controlliamo il risultato, calcolando: Π(10,5) = (100-10,5) /8 = (89,5) / NOTA BENE. Per chiarire il significato dell esercizio è utile rivedere la figura 10.1.

3 ESERCIZIO 10. (Effetto delle imposte nel modello di Baumol) Siano la funzione del prezzo di domanda: p = 100 y; e la funzione dei costi: c(y) = 0y. Il profitto da garantire alla proprietà è di 750 euro. Proprietà e manager hanno convenuto che un tale profitto va inteso al netto delle imposte. Determinare la scelta del manager: 1) quando non c è alcun tipo d imposta sul profitto; ) quando viene introdotta un imposta proporzionale, con aliquota τ = 0,05. 1) RT è massimo per y* = 5. Il corrispondente profitto è Π(5) = 750, esattamente uguale a quanto necessario per soddisfare la proprietà. ) La funzione del profitto al netto dell imposta, Π N, è data da: Π N (y) = 0,95 Π(y) = 76y 1,9y Per y* = 5, abbiamo Π N (5) = 71,5 < 750. Osservo che il profitto è massimo per y = 0, con Π = Π(0) = 760. Il manager ridurrà la produzione da y* = 5 verso y = 0, fino al punto in cui il profitto sarà salito da Π N (5) = 71,5 a 750. Tale punto è determinato risolvendo l equazione in y: Π N (y) = 750 ; ovvero 76y 1,9y = 750. Quest equazione ha due soluzioni reali e distinte : y 1 3 e y 18. Poiché RT(y) è una funzione crescente per y < 5, il manager che desidera il più alto ricavo possibile, sceglierà il primo di questi due valori. Avremo cioè: y** = y 1 3.

4 ESERCIZIO 10.3 (Modello di Yarrow I) Il valore di mercato, V, di una società, dipende dalle sue dimensioni, secondo la seguente funzione: V(y) = 800y y. La funzione d utilità del manager è U(y) = y. Il manager sa che il costo del controllo per la proprietà è euro. 1) Quale y sceglierà il manager? ) Come cambia la risposta se si considerano gli effetti di un imposta sul reddito dell impresa, con aliquota τ ( con 0 < τ < 1)? 1) Trovo il livello di y che massimizza il valore dell impresa, come vorrebbe la proprietà. La condizione necessaria del primo ordine è V (y) = 800 y = 0, la cui soluzione è y = 400. Poiché V (y) = - < 0, la soluzione trovata è un punto di massimo, che indico con y = 400. Il corrispondente valore è V = V(400) = Il problema del manager in generale è Max y U(y) s.v. V - V(y) = C. Nel nostro caso diventa Max y y s.v (800y y ) = La soluzione è banale, in quanto è data dalle maggiore delle due radici reali (se esistono) dell equazione del vincolo. Riscriviamola in forma canonica: y 800y = ± Da cui: y = (*) Le due soluzioni reali sono: y 1 = 600 e y = 00. Il manager sceglierà il livello produttivo maggiore; per cui: y* = 600 e U* =

5 ) La considerazione dell imposta porta a scrivere il valore dell impresa al netto della stessa, come VN = (1-τ) (800y y ). Il livello di y che massimizza questo valore è ancora y = 400 ed il corrispondente valore massimo è : VN = (1-τ) Il problema del manager è ora Otteniamo ora : Max y y s.v. (1-τ) (1-τ) (800y y ) = y 800y + ( τ = ± τ y = (**) Per ogni valore ammesso di τ, il valore della radice quadrata nella (**) è maggiore di quello nella (*), e sarà tanto maggiore quanto più elevato è il valore dell aliquota. Indichiamo con y** = y(τ) la radice maggiore della (**). Avremo quindi y(τ) > y* e la differenza aumenterà al tendere dell aliquota τ verso 1.

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