Esercitazione 4. Dott.ssa Sabrina Pedrini

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1 Esercitazione 4 Dott.ssa Sabrina Pedrini Esercizio 1 Le funzioni seguenti sono caratterizzate da rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti? Che cosa accade al prodotto marginale di ciascun fattore quando la quantità del fattore aumenta e quella dell altro fattore rimane costante? a) q= 3L + 2K b) q= (2L + 2K) 1/2 c) q = 3LK 2 d) q = L 1/2 K 1/2 Svolgimento a) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è 2 e K è 2, allora q è 10. Se L è 4 e K è 4 allora q è 20. In generale, aumentando l uso dei fattore in proporzione t, F(tL,tK)= 3tL+2tK=tF(L,K)=tQ, il che conferma rendimenti di scala costanti (quando le quantità dei fattori raddoppiano, raddoppia anche la produzione). Per questa funzione di produzione, il prodotto marginale di ciascun fattore è costante. Quando L aumenta di 1, q aumenta di 3. Quando K aumenta di 1, q aumenta di 2. b) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala decrescenti. Per esempio, se L è 2 e K è 2 allora q è 2,8. Se L è 4 e K è 4 allora q è 4. Quando i fattori produttivi raddoppiano, la produzione aumenta ma non tanto da raddoppiare. In generale, F(tL,tK)= (2tL + 2tK) 1/2 =(t(2l + 2K)) 1/2 = t 1/2 (2L + 2K) 1/2 <tq Il prodotto marginale di ciascun fattore è decrescente. Per calcolarlo si possono scegliere diversi valori di L (mantenendo K fisso a un determinato livello), trovare i corrispondenti valori di q e osservare coma varia il prodotto marginale. Per esempio, se L = 4 e K = 4 allora q = 4. Se L = 5 e K = 4 allora q = 4,24. Se L = 6 e K = 4 allora q = 4,47. Il prodotto marginale del lavoro scende da 0,24 to 0,23. Perciò, P L diminuisce al crescere di L, con K costante a 4 unità. c) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala crescenti. Per esempio, se L è 2 e K è 2, allora q è 24. Se L è 4 e K è 4 allora q è 192. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa più che doppia. In generale, per una funzione Cobb-Douglas il tipo di rendimenti è dato dalla somma degli esponenti. Nel nostro caso 1+2>1, per cui i rendimenti di scala sono crescenti. Per ogni dato valore di K, quando L viene incrementato di 1 unità, q aumenta di 3K 2 unità, un numero costante. Per calcolarlo potete fissare un valore di L, scegliere un valore di partenza per K e trovare q. Successivamente, incrementate K di 1 unità e trovate il nuovo valore di q. Utilizzando sempre esempi numerici, si può invece stabilire come la produttività marginale del capitale sia crescente. d) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è 2 e K è 2 allora q è 2. Se L è 4 e K è 4 allora q è 4. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa esattamente doppia.

2 In generale, per una funzione Cobb-Douglas il tipo di rendimenti è dato dalla somma degli esponenti. Nel nostro caso1/2 +1/2= 1, per cui i rendimenti di scala sono costanti. Per calcolare il prodotto marginale del capitale, potete fissare un valore di L, scegliere un valore di partenza per K e trovare q. Poniamo per esempio L = 4. Se K è 4 allora q è 4, se K è 5 allora q è 4,47 e se K è 6 allora q è 4,90. Il prodotto marginale della quinta unità di K è 4,47 4 = 0,47 e il prodotto marginale della sesta unità di K è 4,90 4,47 = 0,43. Il prodotto marginale del capitale è quindi decrescente. Potete procedere allo stesso modo per il lavoro. Esercizio 2 Nel breve periodo i costi di un impresa presentano la seguente funzione: CT = 122 q q Si determinino le seguenti espressioni dei costi: 1) costo fisso; 2) costo fisso medio; 3) costo variabile; 4) costo variabile medio; 5) costo totale medio; e se ne calcoli il valore per q = 5. Svolgimento 1) costo fisso CF (q) = 70 CF (5) = 70 2) costo fisso medio CFM (q) = CF/q = 70/q CFM (5) = 14 3) costo variabile CV (q) = 122 q q CV (5) = ) costo variabile medio CVM (q) = CV/q = 122 q + 23 CVM (5) = 633 5) costo totale medio CTM (q) = CT/q = 122 q + 23 q + 7/q = CFM + CVM CTM (5) = 647 Esercizio 3 Si consideri un impresa con la seguente funzione di produzione: q(k,l)=2k 1/2 L 1/2

3 dove i costi dei fattori di produzione sono rispettivamente w=2 per il lavoro e r=1 per il capitale. 1)Determinare le funzioni di costo totale e medio di breve periodo, supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K=3; 2)Determinare le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo. Svolgimento 1)Partendo dalla funzione di produzione, sostituendo con i valori forniti nel testo, otteniamo la domanda di lavoro, fattore di produzione variabile nel breve periodo: q=2µ3 1/2 L 1/2 Isolando L otteniamo L=q 2 /12 Per quanto riguarda la funzione di costo totale CT=wL+rK andiamo a sostituire il valore ottenuto in modo da poterla esprimere in funzione del livello di output q: CT=2(q 2 /12)+3= q 2 /6+3 Il costo medio si ottiene dividendo il costo totale per la quantità di output prodotta: CMe=CT/q=q/6+3/q 2) Per determinare il livello di costo totale di lungo periodo dobbiamo ricordare che entrambi i fattori di produzione risultano in questo caso variabili in funzione del livello di output prodotto. Per determinare queste grandezze risolviamo il sistema che mette in relazione la condizione di tangenza (SMST=w/r) con la funzione di produzione (dove Q è lasciato in forma parametrica, ossia q=2k 1/2 L 1/2 ). La funzione è Cobb-Douglas, per cui SMST= =, per cui la prima equazione richiede =, ossia K=2L. Sostituendo nella seconda equazione questa condizione otteniamo: q=2(2l) 1/2 L 1/2 =2 2, per cui la domanda condizionata del fattore lavoro risulta: L d =q/(2 2). La domanda del fattore capitale risuta quindi =. Per quanto riguarda il costo totale di lungo periodo, è sufficiente sostituire i valori appena trovati all interno della generica funzione di costo: CT=wL+rK= 2[q/(2 2).]+[ ]= 2q Per la Funzione di costo medio di lungo periodo: CMe=CT/q= 2

4 Svolgimento

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6 Esercizio 5

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8 2) Per determinare la domanda di lavoro, dato K=81, procediamo andando a sostituire all interno della funzione di produzione: Q=L 1/2 81 1/2 Q=9L 1/2 risolvendo per L L 1/2 =Q/9 da cui L=Q 2 /81

9 Domande a risposta multipla 1) Il costo opportunità di un attività di un impresa è uguale a: a) l importo che l impresa avrebbe potuto guadagnare affittando sul mercato l attività. b) zero se l attività non ha impiego alternativo e perciò non può essere affittata sul mercato. c) le spese di deprezzamento dell attività. d) a e b. 2) La differenza tra costi medi totali e costi medi variabili è uguale a: a) Costi medi fissi b) Costi fissi c) Costi marginali d) Costi totali e) Nessuna delle risposte indicate è corretta 3) Se produco 40 unità di prodotto ho un costo totale pari a 80 euro, se ne produco 50 il costo totale è 110 euro. Quindi, nell intervallo produttivo considerato, ho a) Economie di scala b) Diseconomie di scala c) Rendimenti costanti di scala d) Prodotto marginale decrescente e) Nessuna delle risposte indicate è corretta 4) Una funzione di produzione di breve periodo: a) illustra il massimo livello di produzione ottenibile in un determinato periodo di tempo variando le combinazioni di tutti i fattori produttivi utilizzati. b) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto aumentando la quantità di fattori produttivi, tenendone costante almeno uno. c) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto variando le quantità di tutti i fattori produttivi utilizzati nel processo di produzione. d) è una funzione di produzione in cui i fattori produttivi sono utilizzati in proporzioni fissate. 5) Se due lavoratori producono ciascuno una media di 300 unità, e quando si assume un terzo lavoratore il livello di produzione cresce a 810 unità, a) il prodotto medio del lavoro è negativo. b) il prodotto medio del lavoro è 270. c) il prodotto medio del lavoro è decrescente.

10 d) sono vere entrambe le risposte b e c.