Soluzione generale per i rendimenti di scala. Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Infatti

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1 Esercitazione 4 del 16/03/017 Dott.ssa Sabrina Pedrini Esercizio 1 (rendimenti di scala) Le seguenti funzioni sono caratterizzate da rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti? Che cosa accade al prodotto marginale di ciascun fattore quando la quantità di un fattore aumenta e quella dell altro fattore rimane costante? a) q= 3L + K b) q = 3LK c) q = L 1/ K 1/ a) Si noti intanto come questa sia una funzione lineare in L e K. Per questa impresa, quindi, i due fattori sono perfetti sostituti. Gli isoquanti sono lineari e con una pendenza costante pari al negativo del rapporto tra i coefficienti dei due fattori nella funzione, ossia -3/ (e dunque, SMST=3/). Inoltre, questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è e K è, allora q è 10. Se L è 4 e K è 4 allora q è 0. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, raddoppia anche la produzione. Per questa funzione di produzione, il prodotto marginale di ciascun fattore è costante. Dato K, quando L aumenta di 1, q aumenta sempre di 3. Dato L, quando K aumenta di 1, q aumenta sempre di. Soluzione generale per i rendimenti di scala. Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Infatti F(tK,tL)=3tL+tK=t(3L+K)=tF(K,L) b) Se L è e K è, allora q è 4. Se L è 4 e K è 4 allora q è 19. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa più che doppia. Per un dato valore di K, quando L viene incrementato di 1 unità, q aumenta di 3K unità, per cui la produttività marginale del lavoro è costante. Per la produttività marginale del capitale potete fissare un valore di L, scegliere un valore di partenza per K e trovare q. Poniamo per esempio L = 1. Se K è 1 allora q è 3, se K è, fermo restando L, allora q è 1 e se K è 3, sempre fermo restando L, allora q è 7. Il prodotto marginale della seconda unità di K è 1 3 = 9 e il prodotto marginale della terza unità di K è 7-1 = 15>9. Il prodotto marginale del capitale è quindi crescente. Soluzione generale per i rendimenti di scala. Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala crescenti. Infatti F(tK,tL)=3tL(tK) =t 3 3LK =t 3 F(K,L)>tF(K,L) Questo risultato può essere ottenuto anche riconoscendo che questa è una funzione di produzione Cobb-Douglas e che. c) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è e K è allora q è. Se L è 4 e K è 4 allora q è 4. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa esattamente doppia. Per calcolare la produttività marginale del capitale, potete fissare un valore di L, scegliere un valore di partenza per K e trovare q. Poniamo per esempio L = 4. Se K è 4 allora q è 4, se K è 5, fermo restando L, allora q è 4,47 e se K è 6,

2 sempre fermo restando L, allora q è 4,90. Il prodotto marginale della quinta unità di K è 4,47 4 = 0,47 e il prodotto marginale della sesta unità di K è 4,90 4,47 = 0,43. Il prodotto marginale del capitale è quindi decrescente. Si può procedere allo stesso modo per il lavoro, facendo variare di una unità per volta, mantenendo fermo il valore di K. Soluzione generale per i rendimenti di scala. Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Infatti F(tK,tL)=(tL) 1/ (tk) 1/ =t 1/ t 1/ L 1/ K 1/ =t L 1/ K 1/ =tf(k,l) Questo risultato può essere ottenuto anche riconoscendo che questa è una funzione di produzione Cobb-Douglas e che α+β=1. Esercizio (costi) Nel breve periodo i costi di un impresa presentano la seguente funzione: CT = 1 q + 3q Si determinino le seguenti espressioni dei costi in funzione di q 1) costo fisso; ) costo fisso medio; 3) costo variabile totale; 4) costo variabile medio; 5) costo totale medio; e se ne poi calcoli il valore per q = 5. 1) costo fisso CF (q) = 70, costante rispetto a q, e quindi CF (q) = 70 anche per q=5. ) costo fisso medio CFM (q) = CF/q = 70/q. Sostituendo q=5, CFM (5) = 14 3) costo variabile totale CVT (q) = CT-CF= 1 q + 3q + 70 (70)= 1 q + 3q. Sostituendo q=5, CV (5) = ) costo variabile medio CVM (q) = CVT/q = (1 q + 3q )/q=1 q + 3. Sostituendo q=5, CVM (5) = 633 5) costo totale medio CTM (q) = CT/q = (1 q + 3q + 70)/q= 1 q + 3 q + 7/q = CFM + CVM. Sostituendo q=5, CTM (5) = 647

3 Esercizio 3 (combinazione ottimale con fattori di produzione normali) Una impresa ha una funzione di produzione data da I prezzi degli input sono w = 1 e r = 4, 1) Si derivi e si rappresenti graficamente l isoquanto associato al livello di produzione Q = 4. ) Sapendo che il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i fattori vale SMST LK = K/L, si calcoli e si rappresenti la scelta ottima dei fattori quando il livello desiderato di produzione è pari a 4. 3) Quanto vale il costo di produzione in corrispondenza della scelta ottima? Punto 1 Si tratta di eguagliare la funzione di produzione a 4 e risolvere per K in funzione di L ovvero da cui che è una iperbole che passa per i punti (1,4),(,),(4, 1). Punto Per trovare la combinazione ottimale dei fattori si deve risolvere il sistema che nel nostro caso diventa Punto 3 Il costo è dato da ovvero

4 Esercizio 4 (combinazione ottimale con fattori di produzione perfetti sostituti) Un impresa ha una funzione di produzione data da con prezzo del lavoro e prezzo del capitale. 1) Si calcoli e si rappresenti graficamente l isoquanto di livello 0. ) Qual è la combinazione ottimale dei fattori scelta dall impresa per produrre 0 unità di output? 3) Qual è la combinazione ottimale per produrre 50 unità di output? A quale costo? 1) L isoquanto di livello 0 è dato dalla retta di equazione 0=L+K ovvero K= 10-(1/)L. Ha intercetta verticale 10, intercetta orizzontale 0, pendenza1/. ) I beni sono perfetti sostituti e la combinazione ottimale dei fattori dipende dalla pendenza relativa dell isocosto e dell isoquanto. Nel primo caso /3 nel secondo 1/. I costi sono minimizzati scegliendo solo capitale K=10. Il costo sarà pari a: C= wl+rk= 3.10= 30 3) Per ottenere Q=50 recuperiamo la funzione di produzione: otteniamo 50=L+K che esplicitata per K mi da K=5-(1/)L. Rispetto al precedente isoquanto questo è spostato parallelamente e verso l alto. La pendenza rimane la stessa (1/), cambiamo le intercette verticale (5) e orizzontale (50). Il vincolo di costo rimane uguale perché non è cambiato il rapporto tra i prezzi. Ancora avremo una soluzione d angolo con K=5, poiché la pendenza (come prima) dell isocosto è maggiore di quella dell isoquanto e la scelta ottimale si ottiene con la sola scelta del bene che si trova sull asse verticale (K). Avremo quindi una funzione di produzione pari a F(K)= K e una funzione di costo pari a C=rK= 3K= 3(5)=75.

5 Esercizio 5 (funzioni di costo di breve e di lungo periodo) Si consideri un impresa con la seguente funzione di produzione: q(k,l)=k 1/ L 1/ dove i costi dei fattori di produzione sono rispettivamente w= per il lavoro e r=1 per il capitale (e dove SMST= L/K - si ricordino in proposito le proprietà delle funzioni Cobb- Douglas). Determinare: a) la domanda di lavoro nel breve periodo, supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K=3. A quanto ammonta tale domanda se l impresa intende produrre 1 unità di output? b) le funzioni di costo totale e medio di breve periodo, ossia CT(q) e CTM(q), sempre supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K=3. A quanto ammontano tali costi quando q=1? c) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo, ipotizzando che l impresa voglia produrre 1 unità del bene. d) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo per ogni possibile valore di q che l impresa può decidere di voler produrre. e) le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo. A quanto ammontano tali costi quando q=1? I valori trovati sono superiori o inferiori rispetto al breve periodo? a) Partendo dalla funzione di produzione, isoliamo prima il fattore L, andando ad esprimere tutto in sua funzione. Poi sostituiamo i valori forniti nel testo. L espressione che otteniamo è la funzione di domanda di lavoro, che è l unico fattore di produzione variabile di breve periodo (essendo K=3): L 1/ = q/k 1/ da cui L 1/ = q/3 1/. Elevando al quadrato entrambi lati si ottiene appunto la domanda di lavoro: L d = q /3 Quando q=1, tale domanda è pari a L d = 1 /3=48 b) Per quanto riguarda il calcolo delle funzioni di costo di breve periodo, partiamo dalla espressione del costo totale CT=wL+rK e sostituiamo i valori ottenuti nel precedente passaggio per la domanda di lavoro, insieme ai dati iniziali del problema, in modo da poterla esprimere in funzione del livello di output q: CTbp(q)=(q /3)+3= (/3)q +3. Questa funzione presenta una componente variabile CTV= [(/3)q ] e una fissa CTF= 3.

6 Il costo totale medio si ottiene dividendo il costo totale per la quantità di output prodotta: CMTbp(q) =CTbp(q)/q= [(/3)q +3]/q= q/3+(3/q) Quando q=1, CTbp=99 mentre CMTbp=8,5. c) Nel lungo periodo i fattori di produzione possono essere variati. Per determinare le loro grandezze ottimali quando q=1 risolviamo il sistema che mette in relazione la condizione di ottimo nella produzione con la funzione di produzione. In tal modo, procedendo per sostituzione, otterremo i valori di K ed L. La condizione di ottimo non è altro che la tangenza tra l isoquanto q=1 e la più bassa possibile delle curve di isocosto e richiede quindi l uguaglianza tra il SMST (saggio marginale di sostituzione tecnica, il quale indica a quante unità di un fattore produttivo si dovrà rinunciare per ottenere un'unità in più di un altro fattore produttivo, mantenendo costante la quantità di output) e il rapporto tra i prezzi dei fattori. In particolare, il SMST è sempre pari al rapporto tra le produttività marginali del lavoro e del capitale, e per le funzioni Cobb- Douglas (come nel nostro caso) è sempre pari a αk/βl, dove α e β sono gli esponenti rispettivamente di L e di K nella funzione di produzione. In conclusione, la domanda dei fattori quando q=1 si trova risolvendo il seguente sistema di equazioni in variabili, L e K: (1) SMST = 1 q = K L w r 1 1 = 1 K L = K L 1 Dalla prima equazione si ottiene facilmente che K= L. Sostituendo questa espressione nella seconda equazione si ottiene 1=L 1/ (L) 1/, che può essere scritta come 1= L, da cui è facile trovare la domanda di lavoro nel lungo periodo quando q=1, ossia L*=1/ = 8,51. Sostituendo inqine il valore nella prima equazione K= L, la domanda di K nel lungo periodo quando q=1 è K*=.(8,51)=17,0. Come si può facilmente notare, quando anche K può variare, la combinazione ottimale nel lungo periodo può differire significativamente rispetto al breve. In questo caso si passa da (L;K)=(48;3) a (L*;K*)=(8,51; 17,0). d) Se nel punto c) abbiamo individuato le domande di L e K per un dato livello di produzione, ora ci dedichiamo alla ricerca delle vere e proprie funzione di domanda di L e K, ossia della combinazione ottimale (L*,K*) che l impresa intende acquistare per ogni possibile valore di q. A tale scopo, è sufficiente risolvere il sistema (1) lasciando q in forma parametrica (ossia, senza più imporre q=1). La prima equazione del sistema resta identica e da essa si ottiene, come prima, che K=L. Ora, sostituendo tale relazione nella funzione di produzione e risolvendo per L, si ottiene L d (q)= q/, che è appunto al funzione di domanda di lavoro. Sostituendo nella prima equazione, si ottiene poi facilmente la funzione di domanda di capitale, ossia K d (q)= q. e) Le funzioni di domanda dei fattori trovate nel punto d) possono essere sostituite nelle espressioni del costo totale e medio, in analogia con quanto svolto nel punto b) per il breve periodo, trovando così le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo, che ci informano sull andamento di tali costi al variare di q.

7 CTlp(q)=wL d (q)+rk d (q)= (q/ ) + ( )q=(4/ )q Per la funzione di costo medio di lungo periodo: CMlp(q)=CTlp(q)/q=4/. Quando q=1, CTlp(1)=33,84. Come si nota, non sorprendentemente i due valori del costo sono inferiori rispetto al breve periodo. La possibilità di variare anche K rende più ampio lo spettro delle opzioni disponibili nel lungo periodo, consentendo di investire in K in maniera ottimale e riducendo i costi. Esercizio 6 (surplus dei consumatori) Supponete che la curva di domanda di un bene sia data da: q=40-p dove q è la quantità di bene domandate all anno e p il prezzo (in migliaia di euro). 1. Supponete che il prezzo di equilibrio sia di 10. Trovate la quantità domandata, la spesa totale e il surplus del consumatore.. Ora supponete che il governo avvii un programma per limitare l offerta del bene e che a seguito del programma il prezzo salga a 15. Qual è il surplus del consumatore dopo l aumento del prezzo? 3. Qual è la cifra massima che i consumatori sarebbero disposti a pagare per corrompere i legislatori affinché revochino il programma di limitazione dell offerta? Punto 1 Una volta individuata la coppia prezzo-quantità di equilibrio e la relativa spesa, che nel nostro caso sono (10, 0) e 00, calcoliamo i surplus. Per calcolare il surplus dei consumatori, dato che la curva di domanda è lineare basterà calcolare l area del triangolo compreso tra la funzione di domanda e il livello dei prezzi. In questo caso, l area del triangolo rettangolo con b=0, h=(0-10). La formula è dunque: SC= (b.h)/=(0.10)/=100 Punto Nel momento in cui il prezzo viene fissato in corrispondenza di p =15 la quantità scambiata sul mercato sarà q = 10 e, sempre secondo la precedente formula, il surplus sarà pari a 5.

8 Punto 3 La cifra massima che l insieme dei consumatori sarebbe disposto a pagare è pari a 75, ovvero la differenza tra surplus pre-intervento e post-intervento. Domande a risposta multipla 1) Il costo opportunità di un attività di un impresa è uguale a: a) l importo che l impresa avrebbe potuto guadagnare affittando sul mercato l attività. b) zero se l attività non ha impiego alternativo e perciò non può essere affittata sul mercato. c) le spese di deprezzamento dell attività. d) a e b. ) La differenza tra costi medi totali e costi medi variabili è uguale a: a) Costi medi fissi b) Costi fissi c) Costi marginali d) Costi totali e) Nessuna delle risposte indicate è corretta 4) Una funzione di produzione di breve periodo: a) illustra il massimo livello di produzione ottenibile in un determinato periodo di tempo variando le combinazioni di tutti i fattori produttivi utilizzati. b) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto aumentando la quantità di fattori produttivi, tenendone costante almeno uno.

9 c) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto variando le quantità di tutti i fattori produttivi utilizzati nel processo di produzione. d) è una funzione di produzione in cui i fattori produttivi sono utilizzati in proporzioni fissate. 5) Se due lavoratori producono ciascuno una media di 300 unità, e quando si assume un terzo lavoratore il livello di produzione cresce a 810 unità, a) il prodotto medio del lavoro è negativo. b) il prodotto medio del lavoro è 70. c) il prodotto medio del lavoro è decrescente. d) sono vere entrambe le risposte b e c.