Esercitazione 4-9 aprile 2018

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1 MICROECONOMIA (F-N) Novelli Giacomo Ricevimento: lunedì, 3-4:30, aula tutor, Strada Maggiore 45 Esercitazione 4-9 aprile 08 ESERCIZI Esercizio Le seguenti funzioni sono caratterizzate da rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti? Che cosa accade al prodotto marginale di ciascun fattore quando la quantità di un fattore aumenta e quella dell altro fattore rimane costante? a) q 3L + K b) q (L + K)/ c) q 3.L.K d) q L/.K/ Svolgimento a) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è e K è, allora q è 0. Se L è 4 e K è 4 allora q è 0. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, raddoppia anche la produzione. Per questa funzione di produzione, il prodotto marginale di ciascun fattore è costante. Quando L aumenta di, q aumenta di 3. Quando K aumenta di, q aumenta di. b) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala decrescenti. Per esempio, se L è e K è allora q è,8. Se L è 4 e K è 4 allora q è 4. Quando i fattori produttivi raddoppiano, la produzione aumenta ma in maniera meno che proporzionale. Il prodotto marginale di ciascun fattore è decrescente. Per calcolarlo si possono scegliere diversi valori di L (mantenendo K fisso a un determinato livello), trovare i corrispondenti valori di q e osservare coma varia il prodotto marginale. Per esempio, se L 4 e K 4 allora q 4. Se L 5 e K 4 allora q 4,4. Se L 6 e K 4 allora q 4,47. Il prodotto marginale del lavoro scende da 0,4 a 0,3. Perciò il prodotto marginale del lavoro diminuisce al crescere di L, con K costante a 4 unità. c) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala crescenti. Per esempio, se L è e K è, allora q è 4. Se L è 4 e K è 4 allora q è 9. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa più che doppia. Per ogni dato valore di K, quando L viene incrementato di unità, q aumenta di 3K unità. d) Questa funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Per esempio, se L è e K è allora q è. Se L è 4 e K è 4 allora q è 4. Quando le quantità dei fattori raddoppiano, la produzione diventa esattamente doppia. Per calcolarlo potete fissare un valore di L, scegliere un valore di partenza per K e trovare q. Poniamo per esempio L 4. Se K è 4 allora q è 4, se K è 5, fermo restando L, allora q è 4,47 e se K è 6, sempre fermo restando L, allora q è 4,90. Il prodotto marginale della quinta unità di K è 4,47 4 0,47 e il prodotto marginale della sesta unità di K è 4,90 4,47 0,43. Il prodotto marginale del capitale è quindi decrescente. Si può procedere allo stesso modo per il lavoro, facendo variare di una unità per volta, mantenendo fermo il valore di K.

2 Esercizio Nel breve periodo i costi di un impresa presentano la seguente funzione: CT q + 3q Si determinino le seguenti espressioni dei costi: ) costo fisso; ) costo fisso medio; 3) costo variabile; 4) costo variabile medio; 5) costo totale medio; e se ne calcoli il valore per q 5. Svolgimento ) costo fisso CF (q) 70 sostituendo CF (5) 70 ) costo fisso medio CFM (q) CF/q 70/q sostituendo CFM (5) 4 3) costo variabile CV (q) CT-CF q + 3q + 70 (70) q + 3q sostituendo CV (5) 365 4) costo variabile medio CVM (q) CV/q ( q + 3q )/q q + 3 sostituendo CVM (5) 633 5) costo totale medio CTM (q) CT/q ( q + 3q + 70)/q q + 3 q + 7/q CFM + CVM sostituendo CTM (5) 647 Esercizio 3 (funzioni di costo di breve e di lungo periodo) Si consideri un impresa con la seguente funzione di produzione: q(k,l)k / L / dove i costi dei fattori di produzione sono rispettivamente w per il lavoro e r per il capitale (e dove SMST L/K - si ricordino in proposito le proprietà delle funzioni Cobb-Douglas). Determinare: a) la domanda di lavoro nel breve periodo, supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K3. A quanto ammonta tale domanda se l impresa intende produrre unità di output? b) le funzioni di costo totale e medio di breve periodo, ossia CT(q) e CTM(q), sempre supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K3. A quanto ammontano tali costi quando q? c) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo, ipotizzando che l impresa voglia produrre unità del bene. d) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo per ogni possibile valore di q che l impresa può decidere di voler produrre. e) le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo. A quanto ammontano tali costi quando q? I valori trovati sono superiori o inferiori rispetto al breve periodo? Svolgimento

3 a) Partendo dalla funzione di produzione, isoliamo prima il fattore L, andando ad esprimere tutto in sua funzione. Poi sostituiamo i valori forniti nel testo. L espressione che otteniamo è la funzione di domanda di lavoro, che è l unico fattore di produzione variabile di breve periodo (essendo K3): L / q/k / da cui L / q/3 /. Elevando al quadrato entrambi lati si ottiene appunto la domanda di lavoro: L d q /3 Quando q, tale domanda è pari a L d /348 b) Per quanto riguarda il calcolo delle funzioni di costo di breve periodo, partiamo dalla espressione del costo totale CTwL+rK e sostituiamo i valori ottenuti nel precedente passaggio per la domanda di lavoro, insieme ai dati iniziali del problema, in modo da poterla esprimere in funzione del livello di output q: CT bp (q)(q /3)+3 (/3)q +3. Questa funzione presenta una componente variabile CTV [(/3)q ] e una fissa CTF 3. Il costo totale medio si ottiene dividendo il costo totale per la quantità di output prodotta: CMT bp (q) CT bp (q)/q [(/3)q +3]/q q/3+(3/q) Quando q, CT bp 99 mentre CMT bp 8,5. c) Nel lungo periodo i fattori di produzione possono essere variati. Per determinare le loro grandezze ottimali quando q risolviamo il sistema che mette in relazione la condizione di ottimo nella produzione con la funzione di produzione. In tal modo, procedendo per sostituzione, otterremo i valori di K ed L. La condizione di ottimo non è altro che la tangenza tra l isoquanto q e la più bassa possibile delle curve di isocosto e richiede quindi l uguaglianza tra il SMST (saggio marginale di sostituzione tecnica, il quale indica a quante unità di un fattore produttivo si dovrà rinunciare per ottenere un'unità in più di un altro fattore produttivo, mantenendo costante la quantità di output) e il rapporto tra i prezzi dei fattori. In particolare, il SMST è sempre pari al rapporto tra le produttività marginali del lavoro e del capitale, e per le funzioni Cobb-Douglas (come nel nostro caso) è sempre pari a αk/βl, dove α e β sono gli esponenti rispettivamente di L e di K nella funzione di produzione. In conclusione, la domanda dei fattori quando q si trova risolvendo il seguente sistema di equazioni in variabili, L e K: () SMST q K L w r K L K L Dalla prima equazione si ottiene facilmente che K L. Sostituendo questa espressione nella seconda equazione si ottiene L / (L) /, che può essere scritta come L, da cui è facile trovare la domanda di lavoro nel lungo periodo quando q, ossia L*/ 8,5. Sostituendo infine il valore nella prima equazione K L, la domanda di K nel lungo periodo quando q è K*(8,5)7,0. Come si può facilmente notare, quando anche K può variare, la combinazione ottimale nel lungo periodo può differire significativamente rispetto al breve. In questo caso si passa da (L,K)(48,3) a (L*,K*)(8,5; 7,0). d) Se nel punto c) abbiamo individuato le domande di L e K per un dato livello di produzione, ora ci dedichiamo alla ricerca delle vere e proprie funzione di domanda condizionali di L e K, ossia della combinazione ottimale (L*,K*) che l impresa intende acquistare per ogni possibile valore di q. A 3

4 tale scopo, è sufficiente risolvere il sistema () lasciando q in forma parametrica (ossia, senza più imporre q). La prima equazione del sistema resta identica e da essa si ottiene, come prima, che KL. Ora, sostituendo tale relazione nella funzione di produzione e risolvendo per L, si ottiene L d (q) q/, che è appunto al funzione di domanda di lavoro. Sostituendo nella prima equazione, si ottiene poi facilmente la funzione di domanda di capitale, ossia K d (q) q. e) Le funzioni di domanda dei fattori trovate nel punto d) possono essere sostituite nelle espressioni del costo totale e medio, in analogia con quanto svolto nel punto b) per il breve periodo, trovando così le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo, che ci informano sull andamento di tali costi al variare di q. Per la funzione di costo medio di lungo periodo: CM lp (q)ct lp (q)/q4/. CT lp (q)wl d (q)+rk d (q) (q/ ) + ( )q(4/ )q Quando q, CT lp ()33,84. Come si nota, non sorprendentemente i due valori del costo sono inferiori rispetto al breve periodo. La possibilità di variare anche K rende più ampio lo spettro delle opzioni disponibili nel lungo periodo, consentendo di investire in K in maniera ottimale e riducendo i costi. Esercizio 4 Data la funzione di produzione Y / / ) calcolare la produttività marginale e media dei fattori produttivi; ) derivare la funzione del generico isoquanto associato alla funzione di produzione e calcolarne il saggio marginale tecnico di sostituzione, ricordando che SMST /. 3) descrivere i rendimenti di scala di tale tecnologia. Soluzione ) La produttività marginale dei fattori indica di quanto varia il livello di produzione in corrispondenza di una variazione nella quantità impiegata del fattore stesso. Un singolo fattore produttivo può avere produttività marginale crescente, costante o decrescente. La produttività marginale si calcola derivando la funzione di produzione rispetto ai singoli fattori produttivi. Si avrà quindi P' Y P' Y La produttività media di un fattore produttivo indica la quantità di output ottenuta per unità di input ed è pari al rapporto tra prodotto totale e quantità impiegata di un singolo fattore produttivo 4

5 Y PM Y PM ) Un isoquanto è una curva che mostra tutte le possibili combinazioni dei fattori produttivi che permettono di ottenere uno stesso livello di prodotto. La funzione del generico isoquanto si ottiene partendo dalla funzione di produzione ed esprimendo un fattore in funzione dell altro. Deriviamo quindi l equazione dell isoquanto rispetto ad Y / / / Y / / Y / con 0 La pendenza dell isoquanto è rappresentata dal saggio marginale tecnico di sostituzione. Tale misura indica il livello di sostituibilità tra i fattori consentito dalla tecnologia a disposizione dell impresa. Ci dice, quindi, in che misura è possibile sostituire un fattore produttivo con un altro per ottenere lo stesso livello di prodotto. Il SMTS si ottiene come rapporto tra le produttività marginali dei fattori: SMTS P', P ' 3) I rendimenti di scala rappresentano la misura con cui l output cresce al crescere dei fattori produttivi impiegati. Un processo produttivo presenta rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti a seconda che l ammontare totale di prodotto cresca rispettivamente in modo proporzionale, più che proporzionale o meno che proporzionale rispetto al maggior impiego di tutti i fattori. In questo caso si avrà Y (k )/ ( k ) / k / / ky DOMANDE TEORICHE. Nella funzione di produzione rappresentata in figura la produttività media è: (a) crescente fino a L e decrescente dopo L (b) decrescente fino a L e crescente dopo L (c) crescente fino a L e decrescente dopo L (d) decrescente fino a L e crescente dopo L (e) sempre crescente 5

6 . La curva del prodotto marginale e quella del prodotto medio: (a) sono sempre parallele (b) non si intersecano mai (c) si intersecano sempre (d) si intersecano quando la produttività media è massima (e) si intersecano quando la produttività marginale è massima 3. Data la funzione di produzione in figura, quale delle seguenti affermazioni è errata? (a) la massima produttività marginale è ottenuta in corrispondenza di L0 (b) la massima produttività media è ottenuta in corrispondenza di L (c) dopo L la produttività marginale diventa pari zero (d) la produttività media è sempre crescente (e) in L la produttività marginale è più bassa che in L 5. La funzione di produzione Q L / K presenta: a. Rendimenti di scala decrescenti. b. Rendimenti di scala costanti. c. Rendimenti di scala crescenti. d. Non è possibile stabilirlo. 6. Perché la funzione di produzione Q L /3 K a abbia rendimenti di scala costanti, quale valore deve assumere il parametro a? Dovrebbe valere 6

7 DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA ) Il costo opportunità di un attività di un impresa è uguale a: a) l importo che l impresa avrebbe potuto guadagnare affittando sul mercato l attività. b) zero se l attività non ha impiego alternativo e perciò non può essere affittata sul mercato. c) le spese di deprezzamento dell attività. d) a e b. ) La differenza tra costi medi totali e costi medi variabili è uguale a: a) Costi medi fissi b) Costi fissi c) Costi marginali d) Costi totali e) Nessuna delle risposte indicate è corretta 3) Se produco 40 unità di prodotto ho un costo totale pari a 80 euro, se ne produco 50 il costo totale è 0 euro. Quindi, nell intervallo produttivo considerato, ho a) Economie di scala b) Diseconomie di scala c) Rendimenti costanti di scala d) Prodotto marginale decrescente e) Nessuna delle risposte indicate è corretta 4) Una funzione di produzione di breve periodo: a) illustra il massimo livello di produzione ottenibile in un determinato periodo di tempo variando le combinazioni di tutti i fattori produttivi utilizzati. b) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto aumentando la quantità di fattori produttivi, tenendone costante almeno uno. c) si focalizza sul livello di produzione aggiuntivo ottenuto variando le quantità di tutti i fattori produttivi utilizzati nel processo di produzione. d) è una funzione di produzione in cui i fattori produttivi sono utilizzati in proporzioni fissate. 5) Se due lavoratori producono ciascuno una media di 300 unità, e quando si assume un terzo lavoratore il livello di produzione cresce a 80 unità, a) il prodotto medio del lavoro è negativo. b) il prodotto medio del lavoro è 70. c) il prodotto medio del lavoro è decrescente. d) sono vere entrambe le risposte b e c. 7