Decisioni di produzione III

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1 Decisioni di produzione III Costi Nadia Burani Università di Bologna A.A. 208/9 Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 / 40

2 In sintesi Secondo problema decisionale dell impresa: il problema duale La minimizzazione dei costi Le funzioni di domanda condizionata dei fattori La funzione di costo Relazione tra problema diretto e duale Costi di breve e di lungo periodo Costi medi e marginali La geometria dei costi Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 2 / 40

3 La minimizzazione dei costi Il problema di minimizzazione dei costi (PmC) è il problema duale rispetto alla massimizzazione del pro tto (PMP) Il PmC presenta vantaggi rispetto al PMP: è sempre ben de nito indipendentemente dai rendimenti di scala dell impresa. si applica anche all analisi del comportamento di imprese che non operano in mercati dell output concorrenziali (monopolio, oligopolio) Si assume che l impresa possa combinare K fattori x k per produrre un solo output y e che la tecnologia dell impresa sia descritta dalla funzione di produzione f (x). l impresa desidera raggiungere un particolare livello di output y > 0 Si assume che l impresa fronteggi il vettore w 0 di prezzi degli inputs che sono dati. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 3 / 40

4 La minimizzazione dei costi Il problema dell impresa consiste nel trovare la combinazione degli inputs meno costosa per produrre un livello di output pari almeno a y. Analiticamente, l impresa risolve il seguente problema di minimizzazione vincolata min x 0 w x s.v. f (x) y (PmC) La Lagrangiana associata a questo problema è L (x, λ) = w x λ (f (x) y) Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 4 / 40

5 La minimizzazione dei costi La soluzione del PmC x è caratterizzata dalle condizioni di prim ordine (Kuhn-Tucker) per ogni k =,..., K : e L (x, λ) f (x) = w k λ 0, x k x k L (x, λ) x k x k = w k λ f (x) x k x k = 0 L (x, λ) = f (x) λ y 0 L (x, λ) λ = (f (x) λ y) λ = 0 Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 5 / 40

6 La minimizzazione dei costi Se y > 0, allora la regolarità di V (y) assicura che ci sia almeno un input per il quale x k > 0 La monotonicità di V (y) assicura che λ > 0 e quindi il vincolo varrà sempre con eguaglianza f (x) = y. Se V (y) è strettamente convesso allora la soluzione al PmC x è unica Se due fattori k e l sono entrambi utilizzati in quantità positive e quindi x k, x l > 0, allora SMST k,l f (x) x k f (x) x l = w k w l che è la stessa condizione trovata per la massimizzazione del pro tto Nel caso di due soli inputs la condizione precedente descrive la tangenza tra l isoquanto di livello y e la retta di isocosto più bassa possibile compatibile con quell isoquanto. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 6 / 40

7 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori La soluzione al problema di minimizzazione dei costi si chiama funzione di domanda condizionata dei fattori, si denota con x (w, y) e fornisce la quantità di ciascun input che minimizza i costi per produrre y unità di output. La funzione di costo indica il costo minimo in corrispondenza dei prezzi dei fattori w e del livello di produzione y ovvero c (w, y) = w x (w, y) Il PmC è formalmente uguale al problema di minimizzazione della spesa: le funzioni di domanda condizionata dei fattori equivalgono alle domande hicksiane la funzione di costo equivale alla funzione di spesa. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 7 / 40

8 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Il moltiplicatore di Lagrange indica il valore marginale di rilassare il vincolo e quindi è uguale al costo marginale dell output ovvero c (w, y) λ =. y Dimostrazione Si prenda la funzione di costo e la si derivi rispetto all output y c (w, y) y = K k= x k (w, y) w k. y f (x) Dalle condizioni del prim ordine del PmC si ha w k = λ x k. Sostituendo dentro la sommatoria si ottiene K c (w, y) f (x) x = k (w, y) λ y = λ, x k= k y visto che di erenziando entrambi i lati del vincolo rispetto a y si ottiene K k= f (x) x k x k (w,y ) y =. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 8 / 40

9 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Proprietà funzione di costo Sia V (y) regolare negli inputs e monotono e siano w 0 e y > 0. Allora la funzione di costo c (w, y) è continua ed è: omogenea di grado uno in w : c (αw, y) = αc (w, y) per ogni α > 0 2 crescente in y e non decrescente in w : c (w, y 0 ) > c (w, y) per ogni y 0 > y e c (w 0, y) c (w, y) per ogni w 0 w. 3 concava in w : c (αw + ( α) w 0, y) αc (w, y) + ( α) c (w 0, y) per ogni w, w 0 2 R K e ogni α 2 [0, ]. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 9 / 40

10 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Proprietà domande condizionate Se la funzione di costo c (w, y) è derivabile due volte, allora le funzioni di domanda condizionata dei fattori x (w, y) sono:. omogenee di grado zero in w : x (αw, y) = x (w, y) per ogni α > 0 2. non decrescenti in y : x (w, y 0 ) x (w, y) per ogni y 0 > y 3. vale il Lemma di Shephard c (w, y) w k = x k (w, y) Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 0 / 40

11 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Proprietà domande condizionate Se la funzione di costo c (w, y) è derivabile due volte, allora le funzioni di domanda condizionata dei fattori x (w, y) sono tali che: 4. l e etto di prezzo diretto x k (w,y ) w k = 2 c(w,y ) è negativo wk 2 per ogni k 5. gli e etti di prezzo incrociati sono simmetrici per ogni k, l 2 c (w, y) w k w l = x k (w, y) w l = x l (w, y) w k = 2 c (w, y) w l w k 6. la matrice di sostituzione D w x (w, y), i cui termini sono x k (w,y ) w l = 2 c(w,y ) w k w l negativa, ovvero per ogni vettore z 2 R K, è simmetrica e semide nita z D w x (w, y) z 0 Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 / 40

12 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Si consideri il problema di mimizzazione dei costi con una tecnologia descritta dalla funzione di produzione CES f (x, x 2 ) = x + x 2 con 0 6= < e rendimenti di scala costanti. Le condizioni del primo ordine, considerando una soluzione interiore sono L = w λ x x + x 2 x = 0 () L = w 2 λ x 2 x + x 2 x 2 = 0 (2) L λ = x + x 2 y = 0 (3) Dividendo la () per la (2) si ottiene x = x 2 w w 2 Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 2 / 40 (4)

13 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Funzione di produzione CES f (x, x 2 ) = x + x 2. Sostituendo la (4) nella (3) si ottiene y =! w x 2 + x 2 w 2 e risolvendo rispetto a x 2 si trova la domanda condizionata del fattore 2 yw2 x 2 (w, y) = w + w 2! e sostituendo nella (4) si trova la domanda del fattore yw2 x (w, y) = w + w 2 w w 2 yw = w + w 2 Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 3 / 40

14 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Funzione di produzione CES f (x, x 2 ) = x + x 2 con 0 6= <. Inserendo le funzioni di domanda condizionata dei fattori nell espressione dei costi si trova la funzione di costo ovvero c (w, y) = w x (w, y) + w 2 x 2 (w, y) yw c (w, y) = w w + w 2 yw2 + w 2 w + w 2 da cui ( ) c (w, y) = y w + w ( ) 2 ( ) Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 4 / 40

15 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Si consideri il problema di mimizzazione dei costi con una tecnologia descritta dalla funzione di produzione lineare f (x, x 2 ) = ax + bx 2 con a, b > 0 e rendimenti di scala costanti. Le condizioni del primo ordine, considerando la possibilità di una soluzione d angolo sono L x = w λa 0 (5) L x x = (w λa) x = 0 (6) L x 2 = w 2 λb 0 (7) L x 2 x 2 = (w 2 λb) x 2 = 0 (8) L λ = ax + bx 2 y = 0 (9) Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 5 / 40

16 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Funzione di produzione lineare f (x, x 2 ) = ax + bx 2 con a, b > 0. Ci sono tre casi da considerare: (a) Se la soluzione è interiore, x, x 2 > 0, valgono le condizioni (6) e (8) da cui w = λa e w 2 = λb e, prendendo il rapporto w w 2 = a b. In questo caso, qualsiasi combinazione di fattori che soddis il vincolo, ovvero qualsiasi combinazione di fattori sull isoquanto y = ax + bx 2 rappresenta una scelta ottimale. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 6 / 40

17 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Funzione di produzione lineare f (x, x 2 ) = ax + bx 2 con a, b > 0. (b) Si acquista solo l input, x > 0 e x 2 = 0: in questo caso, valgono le condizioni (6) e (7) da cui λ = w a e w a w 2 b quindi la combinazione di fattori ottimale è x 2 = 0 e, dall isoquanto, x = y a. (c) Si acquista solo l input 2, x = 0 e x 2 > 0: in questo caso valgono le condizioni (5) e (8) da cui λ = w 2 b e w a w 2 b quindi la combinazione di fattori ottimale è x = 0 e, dall isoquanto, x 2 = y b. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 7 / 40

18 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Funzione di produzione lineare f (x, x 2 ) = ax + bx 2 con a, b > 0. La funzione di costo è data da: (b) se w w 2 a b allora x = y a e x 2 = 0, e c (w, y) = w y a (c) se w w 2 a b allora x = 0 e x 2 = y b, e Combinando i tre casi c (w, y) = w 2y b c (w, y) = y min n w a ; w o 2 b Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 8 / 40

19 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Esempio Funzione di produzione Cobb-Douglas f (x, x 2 ) = x a x b 2 con a, b > 0. Le funzioni di domanda condizionata dei fattori sono e la funzione di costo è x (w, w 2, y) = y a+b x 2 (w, w 2, y) = y a+b c (w, w 2, y) = (a + b) y a+b aw2 bw bw w a aw 2 b a+b a a+b a w2 b a+b b Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 9 / 40

20 La funzione di costo e i rendimenti di scala Se la funzione di produzione presenta rendimenti di scala costanti allora la funzione di costo è lineare nell output y e 2 c(w,y ) y 2 = 0. Se la funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti allora la funzione di costo è concava nell output y e 2 c(w,y ) y 2 < 0 Se la funzione di produzione presenta rendimenti di scala decrescenti allora la funzione di costo è convessa nell output y e 2 c(w,y ) y 2 > 0 Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 20 / 40

21 La funzione di costo e le domande condizionate dei fattori Se la funzione di produzione presenta rendimenti di scala costanti allora la funzione di costo è lineare nell output y e può essere scritta come c (w, y) = yc (w, ) dove c (w, ) rappresenta il costo di produrre unità di output. Se la funzione di produzione presenta rendimenti di scala costanti allora le funzioni di domanda condizionata dei fattori sono lineari nell output y e possono essere scritte come x (w, y) = yx (w, ) dove x (w, ) rappresenta le domande dei fattori necessari per produrre unità di output. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 2 / 40

22 La relazione tra PMP e PmC Il problema di minimizzazione dei costi è il problema duale rispetto al problema di massimizazione del pro tto. Conoscendo la funzione di costo c (w, y) possiamo riscrivere il problema di massimizzazione del pro tto come max y 0 py c (w, y) La condizione del prim ordine per un ottimo interiore y > 0 è data da p c (w, y) y = 0 ovvero dall ugualglianza di prezzo e costo marginale. Le condizioni del prim ordine di PmC sono identiche a quelle del PMP se e solo se p = λ. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 22 / 40

23 La relazione tra PMP e PmC Esempio Funzione di produzione Cobb-Douglas f (x, x 2 ) = x a x b 2 con a, b > 0. La funzione di costo è c (w, w 2, y) = y a+b w a a w2 b a+b (a + b) b Il pro tto, come funzione dell output soltanto π (y) è dato da π (y) = py c (w, y) = py w y a+b a w2 b a+b (a + b) a b = py y a+b φ (w, w 2 ) (a + b) Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 23 / 40

24 La relazione tra PMP e PmC Esempio Funzione di produzione Cobb-Douglas f (x, x 2 ) = x a x b 2 con a, b > 0. La condizione del prim ordine è data da p y (a+b) a+b φ (w, w 2 ) 0 che vale con eguaglianza se y > 0. Quando (a + b) = 0 (rendimenti di scala costanti), la condizione del prim ordine è indipendente da y. Se p < φ (w, w 2 ) allora y = 0 se p = φ (w, w 2 ) allora qualsiasi livello di output è una soluzione e genera pro tti nulli se p > φ (w, w 2 ) allora il problema non ha soluzione perché si possono ottenere pro tti illimitati aumentando l output. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 24 / 40

25 La relazione tra PMP e PmC Esempio Funzione di produzione Cobb-Douglas f (x, x 2 ) = x ax 2 b con a, b > 0. Quando (a + b) > 0 (rendimenti di scala decrescenti) il problema ha un unica soluzione data da a # b (a+b) y (p, w, w 2 ) = "p a+b aw bw2 che è la funzione di o erta dell output trovata nel PMP. Le funzioni di domanda degli inputs si ricavano sostituendo y (p, w, w 2 ) nelle funzioni di domanda condizionata dei fattori, ovvero x k (p, w, w 2 ) = x k (w, w 2, y (p, w, w 2 )) per k =, 2 La funzione di pro tto si trova come π (p, w, w 2 ) = py (p, w, w 2 ) w x (w, w 2, y (p, w, w 2 )). Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 25 / 40

26 La relazione tra PMP e PmC Esempio Funzione di produzione Cobb-Douglas f (x, x 2 ) = x a x b 2 con a, b > 0. La condizione del prim ordine è data da p y (a+b) a+b φ (w, w 2 ) 0 che vale con eguaglianza se y > 0. Quando (a + b) < 0 (rendimenti di scala crescenti) un livello di output che risolve la condizione del prim ordine sarebbe un minimo dei pro tti. E sempre possibile aumentare i pro tti aumentando l output quindi il problema non ha soluzione. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 26 / 40

27 Costi di breve e di lungo periodo La funzione di costo considerata nora è una funzione di costo di lungo periodo nello scegliere la combinazione di inputs che minimizza il costo, l impresa può liberamente acquistare la quantità di ogni inputs. Nel breve periodo l impresa può essere vincolata ad acquistare soltanto certe quantità di certi inputs si considera la funzione di costo ristretta o di breve periodo Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 27 / 40

28 Costi di breve periodo Funzione di costo di breve periodo Sia f (z) la funzione di produzione dove z = (x, x) è un vettore composto da fattori variabili x e da fattori ssi x; sia w il vettore dei prezzi dei fattori variabili e w il vettore dei prezzi dei fattori ssi. La funzione di costo ristretta o di breve periodo è data da min x0 w x + w x (0) s. v. f (x, x) y Se le domande condizionate dei fattori x BP (w, w, y, x) risolvono (0), allora c BP (w, w, y, x) = w x BP (w, w, y, x) + w x Il termine w x BP (w, w, y, x) è detto costo variabile di breve periodo. Il termine w x è detto costo sso di breve periodo. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 28 / 40

29 Costi medi e costi marginali Si possono de nire altri concetti di costo partendo dai precedenti: costo medio totale di breve periodo c BP (w, w, y, x) y costo medio variabile di breve periodo costo medio sso di breve periodo costo marginale di breve periodo c BP (w, w, y, x) y = w x BP (w, w, y, x) y w x BP (w, w, y, x) y w x y + w x y = [w x BP (w, w, y, x)] y Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 29 / 40

30 Costi di breve periodo Esempio Funzione di produzione CES f (x, x 2 ) = x + x 2 con 0 6= <. Sia x 2 il fattore sso in quantità x 2. Il vincolo del problema di minimizzazione dei costi diventa e risolvendolo per x si ottiene x + x 2 = y x BP (y, x 2 ) = y x 2. La funzione di costo di breve periodo è c BP (w, w 2, y, x 2 ) = w y x 2 + w 2 x 2 Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 30 / 40

31 Costi di breve periodo Esempio Funzione di produzione CES f (x, x 2 ) = x + x 2 con 0 6= <. Il costo medio di breve periodo è c BP (w, w 2, y, x 2 ) y = w y x 2 y + w 2x 2 y Il costo marginale di breve periodo è c BP (w, w 2, y, x 2 ) y = w y x 2 y = w y x 2 y Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 3 / 40

32 Costi di breve e di lungo periodo I fattori ssi entrano come parametri (vincoli addizionali) nel problema di minimizzazione dei costi di breve periodo I costi di lungo periodo non possono mai essere maggiori dei costi di breve periodo perché nel breve periodo l impresa non può scegliere ottimamente tutti i fattori c BP (w, w, y, x) c (w, y) I costi di lungo e di breve periodo coincidono soltanto in corrispondenza di un particolare livello di output y per il quale, dati i prezzi dei fattori, l impresa avrebbe scelto esattamente x unità dei fattori ssi se fosse stato possibile scegliere. le curve di costo di breve e di lungo periodo dovranno essere tangenti tra loro in corrispondenza di y. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 32 / 40

33 Costi di breve e di lungo periodo Sia x (y) la scelta ottimale dei fattori ssi che minimizza i costi di breve periodo di produrre l output y ai dati prezzi dei fattori w e w, allora c BP (w, w, y, x (y)) = c (w, w, y) () La () deve valere per ogni livello di output, quindi derivando entrambi i membri rispetto a y si ottiene c BP (w, w, y, x (y)) y = c BP (w, w, y, x (y)) + y c + BP (w, w, y, x (y)) x k k (y) x k (y) y Essendo x (y) la scelta ottimale che minimizza i costi di breve periodo, devono valere le condizioni di primo ordine per un minimo, ovvero c BP (w,w,y,x(y )) x k = 0 per ogni fattore sso k.quindi (y ) c BP (w, w, y, x (y)) = y c (w, w, y) y Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 33 / 40

34 Costi di breve e di lungo periodo Ne consegue che la pendenza della curva di costo di breve periodo è uguale alla pendenza del costo di lungo periodo in corrispondenza del livello di output per il quale la domanda dei fattori ssi è x (y). Se si ssano i prezzi dei fattori e si considera la funzione di costo come dipendente solo da y, allora, nello spazio (y, c (y)), i costi di breve e di lungo periodo sono tangenti in corrispondenza di un qualche livello di output y. Le curve di costo totale di lungo periodo sono l inviluppo inferiore delle curve di costo di breve periodo. Se le curve di costo totale di breve e di lungo periodo sono tangenti in corrispondenza di y, allora anche le curve del costo medio di breve e di lungo periodo sono tangenti in corrispondenza di y. Le curve di costo medio totale di lungo periodo sono l inviluppo inferiore delle curve di costo medio totale di breve periodo. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 34 / 40

35 Geometria dei costi Nel breve periodo si ritiene che la curva del costo medio sia prima decrescente poi crescente. Il costo medio di breve periodo è dato da c BP (w, w, y, x) y = w x BP (w, w, y, x) + w x y y = CVMe BP + CFMe BP I costi ssi medi decrescono sempre all aumentare dell output. Cosa accade ai costi variabili medi se l output aumenta? Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 35 / 40

36 Geometria dei costi All aumentare dell output, i costi variabili medi possono inizialmente diminuire se vi sono economie di scala. I costi variabili medi possono essere lineari no a che non si raggiunge il livello di capacità produttiva determinato dai fattori ssi: l impiego dei fattori variabili aumenta in modo più o meno lineare no al limite della capacità produttiva Dopo di che, i costi variabili medi crescono all aumentare dell output: bisogna utilizzare una quantità di inputs variabili più che proporzionale per aumentare l output. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 36 / 40

37 Geometria dei costi I costi totali medi di breve periodo hanno un andamento a U: la diminuzione iniziale dei costi medi totali è dovuta ai costi ssi medi l aumento successivo è dovuto ai costi variabili medi. Il livello di output y in corrispondenza del quale il costo medio totale di breve periodo è minimo si chiama scala minima e ciente. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 37 / 40

38 Geometria dei costi Qual è la relazione tra la curva del costo marginale e la curva dei costi medi di breve periodo? Si consideri il costo medio totale di breve periodo c BP (y,x) y e sia y la scala minima e ciente. I costi medi totali di breve periodo sono decrescenti in y alla sinistra di y quindi cbp (y, x) 0 per y y ; y y derivando ovvero c BP (y,x) y y c BP (y, x) y 2 0 per y y c BP (y, x) y c BP (y, x) per y y y il costo marginale è inferiore al costo medio alla sinistra di y. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 38 / 40

39 Geometria dei costi Analogamente i costi medi totali di breve periodo sono crescenti in y alla destra di y quindi cbp (y, x) 0 per y y ; y y derivando ovvero c BP (y,x) y y c BP (y, x) y 2 0 per y y c BP (y, x) y c BP (y, x) per y y y il costo marginale è superiore al costo medio alla destra di y. Il costo marginale coincide con il costo totale medio di breve periodo in y. Le stesse conclusioni valgono per la relazione tra il costo marginale e il costo variabile medio di breve periodo. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 39 / 40

40 Geometria dei costi La curva di costo di lungo periodo è monotona crescente nell output: più si produce e più costa produrre ma il costo totale può aumentare più o meno che proporzionalmente rispetto all output la curva del costo medio può essere crescente o decrescente rispetto all output I costi medi non dovrebbero mai essere crescenti perchè le imprese dovrebbero sempre essere in grado di replicare i processi produttivi. Nel lungo periodo tutti i costi medi dovrebbero essere costanti o decrescenti Se alcuni fattori sono ssi anche nel lungo periodo o se la funzione di produzione mostra elasticità di scala diverse per diversi livelli di produzione, allora la curva del costo medio potrebbe avere un andamento a U come quella di breve periodo. Nadia Burani (Università di Bologna) Decisioni di produzione III A.A. 208/9 40 / 40