APPROCCIO PARAMETRICO

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1 1 APPROCCIO PARAMETRICO L approccio precedente è di tipo non parametrico, ovvero prescinde da qualsiasi rappresentazione di una relazione funzionale, e cioè di un legame esprimibile mediante una funzione analitica fra l Output e gli Input. Peraltro, quando si è presa in considerazione la misura dell Intensità di Capitale, implicitamente si è ammessa la sostituibilità fra i diversi Fattori Produttivi. FUNZIONE DI PRODUZIONE Una Funzione di Produzione è una relazione analitica una misura del Prodotto Y e una misura di uno o più Fattori Produttivi X i. Un tipo di funzione ad esempio frequentemente utilizzata per le sue proprietà analitiche ha forma esponenziale. 1) Nel caso di UN SOLO FATTORE PRODUTTIVO, si ha: Y : Prodotto; X : Fattore Produttivo Funzione di produzione Y = a X α Data la funzione di produzione, si può ricavare l espressione analitica della Produttività Media, ovvero del rapporto fra il Livello del Prodotto e quello del Fattore Produttivo: P x = Y/X = a X α 1 della Produttività Marginale, ovvero del rapporto fra la Variazione Assoluta del Prodotto e quella del Fattore Produttivo: Π x = = a Xα 1 e dell Elasticità di Y rispetto ad X, ovvero del rapporto fra la Variazione Relativa del Prodotto e quella del Fattore Produttivo: ε x = α = /

2 2 ottenibile anche come derivata logaritmica: α = In tale forma funzionale l elasticità è costante, e non dipende dal livello di X. La funzione Y = a X α è omogenea di grado α. Se X aumenta di un fattore r, Y aumenta di un fattore r α : α < 1 : rendimenti decrescenti (diseconomie di scala) α = 1 : rendimenti costanti α > 1 : rendimenti crescenti (economie di scala) La Produttività Marginale è minore della Produttività Media se α<1. La Produttività Marginale è maggiore della Produttività Media se α>1. La Funzione Y = a X α è linearizzabile nei logaritmi: ln Y = ln a + α ln X e ciò rende possibile la stima dei parametri a e α mediante regressione con i Minimi Quadrati Ordinari. Nel caso di α = 1 la Funzione di Produzione diventa di tipo lineare (una retta passante per l origine): Y = a X e le Produttività Media e Marginale coincidono e sono costanti: P x = Π x = a

3 3 Possiamo vedere l andamento grafico della Produzione e della Produttività per valori diversi del parametro a (Figg. 6.1 e 6.2), che rappresenta un fattore di dimensione, mantenendo costante il parametro α = 1: Fig. 6.1 Andamento della Produzione Y in funzione del Fattore X, per α = 1 e a = 0,5; a = 1,0; a = 1,5 Y ,50 1 1,5 X Fig. 6.2 Andamento della Produttività Y/X in funzione del Fattore X, per α = 1 e a = 0,5; a = 1,0; a = 1,5 Y/X 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, ,50 1 1,5 X

4 4 Più interessante è osservare l andamento grafico della Produzione e della Produttività Media per valori diversi del parametro α (Figg. 6.3 e 6.4), l elasticità, mantenendo costante il parametro a (ad esempio pari a 1): Fig. 6.3 Andamento della Produzione Y in funzione del Fattore X, per a = 1 e α = 0,7; α = 1,0; α = 1,3 Y ,7 1 1,3 X Fig. 6.4 Andamento della Produttività Y/X in funzione del Fattore X, per a = 1 e α = 0,7; α = 1,0; α = 1,3 Y/X 2,7 2,1 1,5 0,9 0, ,7 1 1,3 X

5 5 2) Il concetto di Funzione di Produzione può essere esteso al caso di DUE FATTORI PRODUTTIVI: Y : Prodotto; X 1 : Primo Fattore Produttivo; X 2 : Secondo Fattore Produttivo; Funzione di produzione Y = a X 1 α X2 β Data la funzione di produzione, si può ricavare l espressione analitica delle Produttività Medie Parziali, ovvero del rapporto fra il Livello del Prodotto e quello di ciascuno dei due Fattori Produttivi: P 1 = Y/X 1 = a X 1 α 1 X2 β P 2 = Y/X 2 = a X 1 α X2 β 1 delle Produttività Marginali Parziali, ovvero del rapporto fra la Variazione Assoluta del Prodotto e quella di ciascuno dei due Fattori Produttivi: Π 1 = = a X α 1 β 1 X2 Π 2 = = a X α β 1 1 X2 e delle Elasticità Parziali di Y rispetto ad X 1 ed X 2, ovvero del rapporto fra la Variazione Relativa del Prodotto e quella di ciascuno dei due Fattori Produttivi: 1 = α = / = β = / 1 2

6 6 Le elasticità sono ottenibili anche come derivate logaritmiche parziali: α = 1 β = 2 La funzione Y = a X 1 α X2 β è omogenea di grado α + β. Se entrambi i fattori X 1 e X 2 aumentano di un fattore r, Y aumenta di un fattore r α+β : α + β < 1 : rendimenti decrescenti (diseconomie di scala) α + β = 1 : rendimenti costanti α + β > 1 : rendimenti crescenti (economie di scala) La Funzione Y = a X 1 α X2 β è linearizzabile nei logaritmi: ln Y = ln a + α ln X 1 + β ln X 2 e ciò rende possibile la stima dei parametri a, α e β mediante regressione con i Minimi Quadrati Ordinari. In un grafico a 2 dimensioni non è possibile rappresentare contemporaneamente la relazione fra il Prodotto Y e i due Fattori X 1 e X 2. È però possibile rappresentare la relazione parziale, sia per la Produzione che per la Produttività, fra il Prodotto Y e uno dei due Fattori Produttivi (Figg. 6.5 e 6.6), ad esempio X 1, a parità di valore dell altro Fattore Produttivo, e per dati valori di α e β (ad esempio, ma il caso è del tutto generale, α = 0,7 e β=0,3).

7 7 Fig. 6.5 Andamento della Produzione Y in funzione del Fattore X 1, per α = 0,7, β = 0,3, e X 2 = 1; X 2 = 10; X 2 = 20 Y X 1 Fig. 6.6 Andamento della Produttività Y/X 1 in funzione del Fattore X 1, per α = 0,7, β = 0,3, e X 2 = 1; X 2 = 10; X 2 = 20 Y/X 1 20,0 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0, X 1

8 8 3) Il concetto di ISOQUANTO di una Funzione di Produzione: Sempre in un grafico a due dimensioni, è in realtà più interessante esaminare la relazione fra i due fattori produttivi X 1 e X 2, a parità di livello del prodotto Y (Fig. 6.7). In sostanza si esamina di quanto deve variare l impiego di una fattore, a parità di prodotto, per compensare una variazione dell altro fattore. 7,0 Fig. 6.7 ISOQUANTO X 1 X 2, per Y = 1; Y = 2; Y = 4 X 2 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1, X 1 Un grafico di tale tipo si definisce ISOQUANTO, e per la forma funzionale adottata la sua espressione è: X 2 = (Y/a) β X 1 (α/β) Altrettanto interessante è osservare l andamento di un Isoquanto per diverse combinazioni dei parametri α e β (Fig. 6.8) che comunque sommano sempre ad uno, in modo da avere rendimenti di scala costanti.

9 9 Fig. 6.8 ISOQUANTO X 1 X 2, per α = 0,55 (β = 0,45) ; α = 0,50 (β = 0,50); α = 0,45 (β = 0,55) X 2 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,40 0,46 0,52 0,58 0,64 0,70 0,76 0,82 0,9 0,55 0,50 0,45 X 1 L inclinazione di un Isoquanto in ogni suo punto è determinata dal TASSO MARGINALE DI SOSTITUZIONE fra i due fattori, ovvero dalla variazione assoluta di un fattore produttivo necessaria per compensare la variazione assoluta dell altro fattore: TMS 2-1 = Il TMS è uguale, con segno cambiato, al rapporto inverso tra le rispettive produttività marginali. Il differenziale totale della funzione di produzione: = è infatti nullo per definizione lungo un isoquanto (l output è costante); risolvendo quindi rispetto a dx 2 /dx 1 si ha: - = = Π 1 / Π 2

10 10 Ricordando le espressioni delle produttività marginali: Π 1 = = a X α 1 β 1 X2 Π 2 = = a X α β 1 1 X2 per la forma funzionale adottata, il tasso marginale di sostituzione diventa: - = a X α 1 β 1 X2 / a X 1 α X2 β 1 = In condizioni di concorrenza perfetta inoltre il rapporto tra le produttività marginali è uguale al rapporto tra i prezzi dei fattori, quindi: - = = 4) Il concetto di ELASTICITÀ di sostituzione Il tasso marginale di sostituzione dipende dalle unità di misura dei fattori. Una misura migliore del grado di sostituibilità tra fattori è fornita dall'elasticità di sostituzione, σ, che è un numero puro, data dalla variazione relativa del rapporto tra l'utilizzo di due fattori produttivi divisa per la variazione relativa del loro tasso marginale di sostituzione: σ = (/) / () = (/) () Assumendo poi l'uguaglianza tra prezzi relativi e tasso marginale di sostituzione dei fattori, σ diventa: σ = (/) / (/) / = (/) (/)

11 11 L elasticità di sostituzione è una misura del grado di curvatura degli isoquanti: maggiore è la convessità degli isoquanti, minore sarà la variazione del rapporto nell'utilizzo degli input che farà seguito ad una variazione del rapporto delle loro produttività marginali. Questo perché il Tasso marginale di sostituzione, uguale al rapporto delle produttività marginali, rappresenta in ogni punto il valore dell'inclinazione dell'isoquanto: minore è la sua curvatura maggiore sarà lo spostamento lungo lo stesso che dovrà aversi per far variare la pendenza. Così, ad esempio, dati due fattori X 1 e X 2, se il costo relativo del primo aumenta, vi sarà una tendenza a sostituirlo con il secondo, nei limiti in cui questo sia possibile. Se valgono le ipotesi di scuola neoclassica, poiché in equilibrio deve aversi l'uguaglianza tra tasso marginale di sostituzione e prezzi relativi, alla variazione dei costi relativi farà seguito un'uguale variazione del TMS: TMS 2-1 = = Lo spostamento lungo l'isoquanto che questo produrrà, e dunque il cambiamento nel rapporto di utilizzo dei due input, sarà maggiore nel caso in cui la tecnologia sia rappresentata dall isoquanto f rispetto a g (Fig. 6.9). Fig. 6.9 Due isoquanti con differenti elasticità di sostituzione Casi estremi sono, da un lato, la tecnologia di tipo Leontief, in cui si ipotizzano coefficienti tecnici fissi ed in cui la funzione di produzione è del tipo: Y = f (Min (a 1 x 1, a 2 x 2 )

12 12 caratterizzata da un'elasticità di sostituzione nulla. All'altro estremo si ha una tecnologia lineare, con TMS costante lungo gli isoquanti, e funzione di produzione del tipo: in cui l'elasticità di sostituzione è infinita. Y = f (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) 5) Funzione di produzione COBB-DOUGLAS Oltre i due casi precedenti, che rappresentano delle situazioni estreme, vengono utilizzate funzioni di produzione CES, caratterizzate da elasticità di sostituzione costante. Caso particolare di questa tipologia è la funzione Cobb-Douglas - in cui l'elasticità di sostituzione è costante e unitaria che ha la forma esponenziale già vista, ed in cui i fattori produttivi X 1 e X 2 sono rappresentati rispettivamente dal lavoro L e dal capitale K: Y = a L α K β Ricordando l espressione del Tasso Marginale di Sostituzione: che può essere scritto come: TMS K-L = = TMS K-L e data l espressione dell elasticità di sostituzione come derivata logaritmica σ = (/) = ( () () = TMSKL TMSKL / TMSKL = = 1 TMSKL TMSKL) = / TMSKL TMSKL