Teoria dell offerta. Offerta di beni ed equilibrio di mercato La produzione Minimizzazione dei costi

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1 Teoria dell offerta Offerta di beni ed equilibrio di mercato La produzione Minimizzazione dei costi 1

2 Il problema della minimizzazione dei costi a partire dalla massimizzazione dei profitti Abbiamo visto che un impresa che produce n output (y1, yn) impiegando m input (z1,,zm) ha la seguente funzione di profitto π= Σi pi*yi- Σj wj*zj Dove (p1, pn) sono i prezzi dei beni prodotti e (w1,,wm) i prezzi dei fattori di produzione. 2

3 Il problema della minimizzazione dei costi Un impresa che massimizza i profitti sceglie a) da un lato, come abbiamo visto, le quantità ottime di fattori produttivi tali da rendere la quantità prodotta di output y= f(z1,z2), ossia il massimo della produzione possibile. b) dall altro sceglie l output ottimo y, ossia quello che rende massima la differenza tra ricavi e costi di produzione Analizziamo il problema a) 3

4 A) Produzione a costo minimo Supponiamo di disporre di due fattori produttivi con prezzi w 1 e w 2. Il modo più economico per produrre un dato livello di output è la soluzione del seguente problema: min z1,z2 w1z1+w2z2 con f(z 1, z 2 ) = y La soluzione del problema è la cosiddetta funzione di costo minimo C=C(w1,w2,y) 4

5 Curva di costo di lungo e di breve periodo La Curva di Costo di lungo periodo rappresenta il Costo Minimo sostenuto per produrre una data quantità di output, variando l impiego di tutti i fattori produttivi La Curva di Costo di breve periodo rappresenta il Costo Minimo sostenuto per produrre una data quantità di output, variando l impiego dei soli fattori variabili 5

6 Curva di costo di lungo periodo (LTC : Long-run Total Cost) Nel lungo periodo, dal momento che gli input produttivi sono variabili, i costi di Lungo Periodo LTC dipendono esclusivamente dalla quantità di output che si intende produrre e dai prezzi degli input produttivi. Date x1=x1(w1,w2,y) e x2=x2(w1,w2,y) le funzioni di domanda dei due input produttivi, la funzione di costo LTC(y) può anche essere espressa nel seguente modo LTC(y) = w1* x1(w1,w2,y) +w2* x2(w1,w2,y) 6

7 Curva di costo di lungo periodo (LTC : Long-run Total Cost) In figura si illustra un possibile andamento della curva di costo LTC=LTC(y), definito sulla base del sentiero di espansione LTC(y) C iii C ii C i y i y ii y iii y 7

8 Curva di costo di breve periodo (STC : Short-run Total Cost) Nel breve periodo, alcuni input produttivi sono fissi, oppure, nel caso più generale, l impresa non può usarne oltre certe quantità predefinite. In generale il problema di minimizzazione sarà soggetto, quindi, ad un vincolo del tipo z 2 <=z 2 f La presenza di un input fisso può generare o meno un costo fisso effettivamente sopportato dall impresa, in funzione del tipo di costo opportunità che l impresa fronteggia. Prendiamo a riferimento due casi: 8

9 Curva di costo di breve periodo (STC : Short-run Total Cost) Caso 1: Supponiamo che l impresa non abbia la possibilità di usare più della quantità z 2f del bene z 2, ma che paghi solo ciò che usa, ossia un prezzo di mercato p2 fino al massimo disponibile. In questo caso il costo opportunità marginale di z2 è w2 per z 2 <=z 2 f e infinito per z 2 >z 2 f I costi totali di breve periodo sono, in questo caso, pari a w1z1+w2z2 (analogamente a quelli di lungo) ma solo per tutti i valori di z2 che soddisfano il vincolo z 2 <=z 2f. 9

10 Curva di costo di breve periodo (STC : Short-run Total Cost) Caso 2: Supponiamo che l impresa non possa usare più della quantità z 2f del bene z 2 e che, inoltre, ha contrattato un pagamento p2 z 2f sia che usi tutta la quantità acquistata o meno. In questo caso l esistenza di un input fisso determina la presenza di un costo fisso. Lo STC dell impresa è pari a w1z1+w2 z 2f dove w1z1 è il costo totale variabile, e w2 z 2f è il costo totale fisso. Dal momento che variazioni di z1 al di sotto del valore massimo non comportano variazione nei costi, il costo opportunità marginale di z2 è pari a 0 per z 2 <=z 2f, infinito per z 2 > z 2f. 10

11 Caso 1: Curva di costo di breve periodo (in relazione a quella di lungo) LTC(y) curva di lungo periodo STC(y) coincide, nel primo tratto, con LTC(y), poi assume valori maggiori C iv C ivl C iii C ii C i y i y ii y iii y iv y 11

12 Caso 2: Curva di costo di breve periodo (in relazione a quella di lungo) LTC(y) curva di lungo periodo STC(y) curva di Breve Periodo. y i y ii y iii y iv y 12

13 Curva di costo medio e marginale di lungo periodo (LAC : Long-run Average Cost) (LMC : Long-run Marginal Cost) A partire dalla funzione di costo LTC=LTC(y), si definiscono, rispettivamente il costo medio e il costo marginale di produzione come: LAC=LAC(y) => LTC(y)/y LMC=LMC(y) => LTC(y)/ y LAC rappresenta il costo sostenuto per unità di output LMC rappresenta il tasso a cui il costo totale di lungo periodo cresce all aumentare dell output Graficamente le due curve di costo possono essere costruite a partire dalla LTC come illustrato in figura. 13

14 LTC(y) Costruzione di LAC e LMC C iii C ii C i y i y ii y iii y LMC(y) LAC(y) y 14

15 Economie e diseconomie di scala La curva LMC taglia la LAC nel punto di minimo Il rapporto LMC/LAC misura la reattività dei costi a variazioni di output, ossia l elasticità dei costi rispetto all output. LMC/LAC = ( LTC(y)/ y) / (LTC/y) = ( LTC(y)/ LTC) / ( y /y) La curva di costo esibisce diseconomie di scala se vale LMC>LAC economie di scala se vale LMC<LAC 15

16 Economie e diseconomie di scala Economie di scala Diseconomie di scala LMC(y) LAC(y) Quale relazione esiste tra rendimenti di scala della funzione di produzione e curva di costo? Possiamo formalizzarla come segue: Rendimenti di scala crescenti => economie di scala Rendimenti di scala decrescenti => diseconomie di scala y 16

17 Costi di breve periodo come somma di costi fissi e variabili Nel breve periodo i Costi totali sono dati dalla somma di costi variabili con y e costi fissi STC (y) = Cv(y) + F La curva di costo medio di breve periodo si definisce come SAC (y) = Cv(y)/y + F/y ossia come la somma tra costi medi variabili e costi medi fissi. F/y Cv(y)/y SAC 17

18 Produzione a costo minimo: rappresentazione grafica del problema di ottimizzazione z2 Scelta ottima (z1*, z2*) Rette di isocosto a inclinazione -w1/w2 Isoquanto f(z1,z2)=y In condizioni di regolarità, il costo minimo si ottiene in corrispondenza del punto di tangenza tra l isoquanto di produzione e la retta isocosto. In questo punto vale w1/w2 = MP1/MP2 z1 18

19 Interpretazione della condizione di ottimalità Riscriviamo l espressione w1/w2 = MP1/MP2 nel seguente modo w1/mp1 = w2/mp2 MP1 è è il prodotto marginale di z1, ossia il tasso a cui aumenta y all aumentare di z1. Quindi, 1/MP1 è il tasso a cui z1 deve crescere per aumentare y. Di conseguenza w1/mp1 rappresenta il costo sostenuto per aumentare l output di una unità mediante l aumento dell input z1. Il rapporto w2/mp2 ha una interpretazione analoga. 19

20 Interpretazione della condizione di tangenza La relazione w1/mp1 = w2/mp2 ha la seguente interpretazione: All ottimo l impresa è indifferente tra accrescere la produzione aumentando uno o l altro fattore produttivo, che equivale a dire che quando gli input sono scelti in modo ottimale, l effetto sui costi totali è lo stesso, qualunque sia l input modificato per accrescere l output di una unità. 20

21 Soluzioni di frontiera Analogamente a quanto visto per la domanda di un consumatore la soluzione di tangenza può 1) non esistere, o 2) essere priva di significato (si pensi agli isoquanti dei beni complementari). Quando non esiste la soluzione di tangenza? Supponiamo che valga sempre w1/mp1 < w2/mp2 L impresa all ottimo sarà ancora indifferente tra accrescere la produzione aumentando uno o l altro fattore produttivo? 21

22 Soluzioni di frontiera Isoquanto f(z1,z2)=y z2 Scelta ottima (z1*;0) Rette di isocosto a inclinazione -w1/w2 Se vale per ogni (z1,z2), w1/w2 < MP1/MP2, allora w1/mp1 < w2/mp2 z1 costo sostenuto per aumentare l output di una unità mediante l aumento dell input z1 < costo sostenuto per aumentare l output di una unità mediante l aumento dell input z2 22

23 Relazione tra i rendimenti di Scala della funzione di produzione e Curva di Costo minimo Riprendiamo il concetto di rendimenti di scala della funzione di produzione di un impresa Supponiamo che l impresa possa variare tutti i suoi fattori di produzione e, in particolare, che dati z1 e z2, l impresa possa moltiplicare la quantità impiegata per un fattore t. La Produzione presenta (z1,z2)=> (tz1,tz2) rendimenti di scala costanti se f (tz1,tz2) = t* f(z1,z2) rendimenti di scala crescenti se f(tz1,tz2) > t* f(z1,z2) rendimenti di scala decrescenti se f(tz1,tz2) < t* f(z1,z2) 23

24 Esempio: Minimizzazione dei costi di un impresa con più impianti Molte imprese dispongono di più di un impianto in grado di produrre un prodotto y, ciascuno caratterizzato da una determinata funzione di costo Ci=Ci(yi) (yi è la quota di y prodotta da ciascun macchinario) Come definire quanto far produrre a ciascun impianto? min y1,y2 C1y1+C2y2 con y 1 + y 2 = y 24

25 Minimizzazione dei costi con più impianti Graficamente la soluzione ottima può essere rappresentata come in figura MC1 MC2 y=y1* y1* y1*+y2* Per valori y tali che MC1<MC2 la y=y1* Per valori y superiori la soluzione ottima si ha in corrispondenza di MC1=MC2 25

26 Minimizzazione dei costi con più impianti Risolvendo il problema di ottimizzazione, rispetto alla variabile y1 ottenuta dal vincolo, dc1/dy1+dc2/dy2 * dy2/dy1 = MC1-MC2, si hanno le seguenti possibili soluzioni ottime: min y1,y2 C1y1+C2y2 con y 1 + y 2 = y a) dc/dy1=0 : MC1=MC2 entrambi gli impianti sono utilizzati b) dc/dy1<0 : MC1<MC2 y1=y, y2=0 uso solo il primo b) dc/dy1>0 : MC1>MC2 y1=0, y2=y uso solo il secondo 26

27 Relazione tra rendimenti di Scala della funzione di produzione e Curva di Costo minimo 1) Nel caso di rendimenti di scala costanti f (tz1,tz2) = t* f(z1,z2) la funzione di costo è lineare rispetto all output prodotto. Infatti, per produrre una quantità data di output (ad esempio una unità), il costo di produzione sarà pari a C(w1,w2,1). Se la produzione è tale che f (tz1,tz2) = t* f(z1,z2), è facile vedere che per produrre una quantità t di output, il Costo Minimo sarà pari a C(w1,w2,t)=C(w1,w2,1)*t Infatti, il modo ottimo per produrre la quantità t di output consiste nel moltiplicare per t i fattori produttivi 27

28 Relazione tra rendimenti di Scala della funzione di produzione e Curva di Costo minimo 2) Nel caso di rendimenti di scala decrescenti f (tz1,tz2) < t* f(z1,z2) la funzione di costo aumenta più che proporzionalmente rispetto all output prodotto Infatti, se l impresa, ad esempio, raddoppia gli input produttivi, la quantità prodotta sarà meno che doppia. Quindi, se l impresa volesse raddoppiare la produzione, per farlo dovrà più che raddoppiare gli input produttivi, e quindi il relativo costo. In generale sarà C(w1,w2,t)> C(w1,w2,1)*t 28

29 Relazione tra rendimenti di Scala della funzione di produzione e Curva di Costo minimo 3) Nel caso di rendimenti di scala crescenti f (tz1,tz2) > t* f(z1,z2) la funzione di costo aumenta meno che proporzionalmente rispetto all output prodotto Vale, infatti, un ragionamento analogo al precedente. Se l impresa volesse raddoppiare la produzione, potrà farlo aumentando meno del doppio gli input produttivi, e quindi il relativo costo. In generale sarà C(w1,w2,t) < C(w1,w2,1)*t 29