Costi di produzione. CT = 100 q q + 70.

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1 Costi di produzione Esercizio Nel breve periodo i costi di un impresa presentano la seguente funzione: CT 00 q + 0q Si determinino le seguenti espressioni dei costi in funzione di q. ) costo fisso; ) costo fisso medio; ) costo variabile totale; ) costo variabile medio; 5) costo totale medio; e se ne poi calcoli il valore per q 5. Svolgimento ) costo fisso CF (q) 70, costante rispetto a q, e quindi CF (q) 70 anche per q5. ) costo fisso medio CFM (q) CF/q 70/q. Sostituendo q5, CFM (5) ) costo variabile totale CVT (q) CT-CF 00q + 0q + 70 (70) 00 q + 0q. Sostituendo q5, CV (5) ) costo variabile medio CVM (q) CVT/q (00q + 0q )/q00 q + 0. Sostituendo q5, CVM (5) ) costo totale medio CTM (q) CT/q (00q + 0q + 70)/q 00q+0+(70/q) CVM + CFM. Sostituendo q5, CTM (5) Esercizio (Errata Corrige) Un impresa ha una funzione di produzione data da F(L,K)L+K con w prezzo del lavoro e r 6 prezzo del capitale. ) Si calcoli l isoquanto di livello 0. ) Qual è la combinazione ottimale dei fattori scelta dall impresa per produrre 0 unità di output? ) Qual è la combinazione ottimale per produrre 60 unità di output? A quale costo? Svolgimento

2 ) L isoquanto di livello 0 è dato dalla retta di equazione 0L+K ovvero K (0-L)/ 0-(/)L. Ha intercetta verticale 0, intercetta orizzontale 0, pendenza/. ) I beni sono perfetti sostituti e la combinazione ottimale dei fattori dipende dalla pendenza relativa dell isocosto e dell isoquanto. Nel primo caso w/r/6/ nel secondo /. I costi sono minimizzati scegliendo solo capitale K0. Il costo sarà pari a: C wl+rk K 0 Isoquanto con pendenza -/ Isocosto con pendenza -/ 0 L ) Per ottenere Q60 recuperiamo la funzione di produzione: otteniamo 60L+K che esplicitata per K mi da K (60-L)/5-(/)L. Rispetto al precedente isoquanto questo è spostato parallelamente e verso l alto. La pendenza rimane la stessa (/), cambiamo le intercette verticale (5) e orizzontale (60). Il vincolo di costo rimane uguale perché non è cambiato il rapporto tra i prezzi. Ancora avremo una soluzione d angolo con K5, poiché la pendenza (come prima) dell isocosto é maggiore di quella dell isoquanto e la scelta ottimale si ottiene con la sola scelta del bene che si trova sull asse verticale (K). Avremo quindi una funzione di produzione pari a F(K) K e una funzione di costo pari a CrK6K 6(5)90. Esercizio Si consideri un impresa con la seguente funzione di produzione: q(k,l)k / L / dove i costi dei fattori di produzione sono rispettivamente w per il lavoro e r per il capitale (e dove SMST L/K). Determinare: a) la domanda di lavoro nel breve periodo, supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K. A quanto ammonta tale domanda se l impresa intende produrre unità di output? b) le funzioni di costo totale e medio di breve periodo, ossia CT(q) e CTM(q), sempre supponendo che l impresa utilizzi una quantità fissa di capitale pari a K. A quanto ammontano tali costi quando q? c) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo, ipotizzando che l impresa voglia produrre unità del bene. d) le domande ottimali di L e K nel lungo periodo per ogni possibile valore di q che l impresa può decidere di voler produrre. e) le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo. A quanto ammontano tali costi quando

3 Svolgimento q? I valori trovati sono superiori o inferiori rispetto al breve periodo? a) Partendo dalla funzione di produzione, isoliamo prima il fattore L, andando ad esprimere la relazione in funzione del fattore di produzione L. Poi sostituiamo i valori forniti nel testo. L espressione che otteniamo rappresenta la funzione di domanda di lavoro, che è l unico fattore di produzione variabile di breve periodo (essendo K): L / q/k / da cui L / (q/) /. Elevando al quadrato entrambi lati dell espressione si ottiene appunto la domanda di lavoro: L d q / Quando q, tale domanda. pari a L d /8 b) Per quanto riguarda il calcolo delle funzioni di costo di breve periodo, partiamo dall espressione del costo totale CTwL+rK e sostituiamo i valori ottenuti nel precedente passaggio per la domanda di lavoro, insieme ai dati iniziali del problema, in modo da poterla esprimere in funzione del livello di output q: CT bp(q)(q /)+ (/)q +. Questa funzione presenta una componente variabile CTV [(/)q ] e una fissa CTF. Il costo totale medio si ottiene dividendo il costo totale per la quantità di output prodotta: CMT bp(q) CT bp(q)/q [(/)q +]/q q/+(/q) Quando q, CT bp99 mentre CMT bp8,5. c) Nel lungo periodo i fattori di produzione possono essere variati. Per determinare le loro grandezze ottimali quando q risolviamo il sistema che mette in relazione la condizione di ottimo nella produzione con la funzione di produzione. In tal modo, procedendo per sostituzione, otterremo i valori di K ed L. La condizione di ottimo non è altro che la posizione di tangenza tra l isoquanto q e la più bassa possibile delle curve di isocosto e richiede quindi l uguaglianza tra il SMST (saggio marginale di sostituzione tecnica, il quale indica a quante unità di un fattore produttivo si dovrà rinunciare per ottenere un'unità in più di un altro fattore produttivo, mantenendo costante la quantità di output) e il rapporto tra i prezzi dei fattori. In particolare, il SMST è sempre pari al rapporto tra le produttività marginali del lavoro e del capitale, e per le funzioni Cobb-Douglas (come nel nostro caso) è sempre pari a αk/βl, dove α e β sono gli esponenti rispettivamente di L e di K nella funzione di produzione. In conclusione, la domanda dei fattori quando q si trova risolvendo il seguente sistema di equazioni in variabili, L e K: SMSTw/r q k /.L / Dalla prima equazione si ottiene facilmente che L K. Sostituendo questa espressione nella seconda equazione si ottiene Lq /K, da cui è facile trovare la domanda di lavoro nel lungo periodo quando q, ossia K*/ 8,5. Sostituendo inine il valore nella prima equazione K L, la domanda di K

4 nel lungo periodo quando q è L*.(8,5)7,0. d) Se nel punto c) abbiamo individuato le domande di L e K per un dato livello di produzione, ora ci dedichiamo alla ricerca delle vere e proprie funzione di domanda di L e K, ossia della combinazione ottimale (L*,K*) che l impresa intende acquistare per ogni possibile valore di q. A tale scopo, è sufficiente risolvere il sistema sopra indicato, che mette in relazione la posizione di ottimo con la funzione di produzione, lasciando q in forma parametrica (ossia, senza più imporre q). La prima equazione del sistema resta identica e da essa si ottiene, come prima, che LK e Kq/. Ora, sostituendo tale relazione nella funzione di produzione e risolvendo per L, si ottiene L d(q) (/ )q, che è appunto al funzione di domanda di lavoro. Sostituendo nella prima equazione, si ottiene poi facilmente la funzione di domanda di capitale, ossia K d(q) q/. e) Le funzioni di domanda dei fattori trovate nel punto d) possono essere sostituite nelle espressioni del costo totale e medio, in analogia con quanto svolto nel punto b) per il breve periodo, trovando così le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo, che ci informano sull andamento di tali costi al variare di q. Per la funzione di costo medio di lungo periodo: CT lp(q)wl(q)+rk(q) (/ q) + (q/ )(5/ )q CM lp(q)ct lp(q)/q5/. Quando q, CT lp(),8. Come si nota, non sorprendentemente i due valori del costo sono inferiori rispetto al breve periodo. La possibilità di variare anche K rende più ampio lo spettro delle opzioni disponibili nel lungo periodo, consentendo di investire in K in maniera ottimale e riducendo i costi. Esercizio Considerate un impresa che utilizzi una tecnologia descritta dalla seguente funzione (, ) ; i prezzi dei fattori lavoro e capitale sono pari rispettivamente a p L e p K ed il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i due fattori è pari a a) Determinate le funzioni di costo totale e medio di breve periodo supponendo che nel breve periodo l impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro b) Calcolate il costo totale e medio di lungo periodo. Soluzione a) Determinate le funzioni di costo totale e medio di breve periodo supponendo che nel breve periodo l impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro Dato che nel breve periodo il fattore lavoro è fisso la funzione di produzione diventa:

5 La domanda di capitale in funzione dell output è: ( ) Il costo totale di breve periodo è quindi: Il costo medio di breve periodo è: b) Calcolate il costo totale e medio di lungo periodo Nel lungo periodo tutti gli input sono variabili, quindi bisogna ricavare la funzione di domanda per entrambi gli input. La condizione di ottimo richiede che il SMST sia uguale al rapporto tra i prezzi dei due inputs.

6 Possiamo quindi calcolare prima il SMST che corrisponde al rapporto tra le produttività marginali: Per poi imporre che il rapporto tra le produttività marginali sia uguale al rapporto tra i prezzi: Cioè, Sostituiamo nella funzione di produzione () da cui si ricava: razionalizzando Sostituiamo nella condizione di ottimo Il costo totale di lungo periodo è quindi: Il costo medio di lungo periodo è:

7 Esercizio 5 Un impresa è caratterizzata dalla seguente funzione di produzione: (, ) 0 Se i prezzi dei fattori di produzione K e L sono rispettivamente w e r 5 e il saggio marginale di sostituzione tecnica è a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo (il fattore lavoro è fisso e pari a 5) b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo Soluzione a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo (il fattore lavoro è fisso e pari a 5) Nel breve periodo l output è solo funzione del capitale K, perché L è fisso: (, ) Il costo totale di breve periodo è: Il costo marginale è: Il costo medio è: b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo Nel lungo periodo tutti i fattori di produzione possono variare; dato che la scelta ottimale dei fattori di produzione è determinata in base alla condizione

8 allora Sostituendo nella funzione di produzione ricaviamo le funzioni di domanda di K e di L: Quindi 5 5 Il costo totale è Il costo marginale è Il costo medio è Esercizio 6 Un impresa è caratterizzata da una funzione di produzione di breve periodo data da 5 5. Calcolare costo marginale e costo medio variabile dell impresa se L 5 e w 0.

9 Soluzione Il costo variabile è dato da Costo variabile medio 700 Costo marginale Calcoliamo la produttività marginale 0 5 Sostituiamo per trovare il costo marginale e poiché L Esercizio 7 Un impresa utilizza una tecnologia descritta dalla funzione di produzione (, ) I prezzi dei fattori lavoro e capitale sono w e r 5. Nel breve periodo il fattore di produzione K è fisso e pari a 7. a) Determinare l equazione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo dell impresa b) Determinare la combinazione ottimale dei fattori in corrispondenza di un output pari a 00, ricordando che il SMST è uguale a K/L. c) Verificare che la stessa combinazione ottimale può essere ottenuta se l impresa decide di spendere per l acquisto dei fattori di produzione una somma di 770 euro (problema duale). d) Determinare le equazioni delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.

10 Soluzione a) Determinare l equazione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo dell impresa Nel breve periodo l output è funzione del solo fattore L (, ) (7) Ricaviamo L in funzione dell output 7 Pertanto, il costo totale è: Le curve di costo medio e marginale di breve periodo sono: () Costo medio () Costo marginale 9 b) Determinare la combinazione ottimale dei fattori in corrispondenza di un output pari a 00

11 La scelta ottimale dell impresa si ottiene mettendo in relazione la condizione di ottimo con il livello di produzione che si vuole raggiungere: () produttività marginali () condizione di ottimo Sostituiamo nella funzione di produzione in corrispondenza della quantità desiderata di output Q ; quindi c) Verificare che la stessa combinazione ottimale può essere ottenuta se l impresa decide di spendere per l acquisto dei fattori di produzione una somma di 770 euro (problema duale) Vale sempre la condizione di ottimo

12 sostituiamo nella curva di isocosto Sostituiamo il valore di nella condizione di ottimo d) Determinare le equazioni delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo Nel lungo periodo entrambi i fattori possono variare; bisogna trovare le funzioni di domanda rispetto all output Q. condizione di ottimo Sostituiamo nella funzione di produzione funzione di domanda di L Quindi la funzione di domanda di K è Vediamo quindi le curve di costo

13 Il costo medio è: 5 5 E il costo marginale è: 5 5 Esercizio 8 La tecnologia di un impresa è caratterizzata dalla seguente funzione di produzione: q x x a) calcolare i rendimenti di scala; b) dati i prezzi dei fattori ω e ω, calcolare la combinazione dei fattori che consente di ottenere un livello di produzione q6 al minimo costo di produzione; c) determinare come cambia la combinazione efficiente dei fattori quando il prezzo del fattore x raddoppia; d) determinare come cambia la combinazione ottimale dei fattori se l impresa vuole raddoppiare la produzione (ai prezzi dei fattori iniziali); e) determinare la domanda di ciascun fattore in funzione dell output; f) determinare la curva dei costi totali di lungo periodo; g) determinare la curva dei costi totali di breve periodo quando la disponibilità fissa del fattore x è pari a. Soluzione a) Per calcolare i rendimenti di scala, moltiplichiamo ciascun fattore produttivo per nella funzione di produzione: 7 f( λx, λx ) λ x λx λ q Quindi questa funzione ha rendimenti di scala crescenti.

14 b) La combinazione ottimale dei fattori che consente di produrre una quantità di output pari a 6 è determinata nel punto di tangenza tra l isoquanto corrispondente alla quantità di 6 e la retta di isocosto più bassa possibile (corrispondente alla spesa per i fattori più bassa possibile). Quindi occorre porre a sistema un equazione che impone la tangenza tra isoquanto e isocosto e un altra equazione che assicura che tale tangenza avvenga in corrispondenza dell isoquanto q 6 : ω SMST, ω 6 x x La prima equazione impone l uguaglianza tra pendenza dell isoquanto (rappresentata dal saggio marginale di sostituzione tecnica) e pendenza dell isocosto (pari al rapporto tra i prezzi di mercato dei fattori). Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i fattori è dato dal rapporto tra produttività marginale del fattore x e rapporto tra produttività marginale del fattore x, ovvero: ' x x P SMST, ' P x x x Il sistema diviene quindi: x x 6 x x x x 6 x Sostituendo dalla prima equazione nella seconda, si ottiene che la combinazione economicamente efficiente dei fattori è: x x* E x* 7 7 c) Se il prezzo del fattore x raddoppia, il sistema da impostare è:

15 x 6 x 6 x x Da cui si ottiene che la nuova combinazione efficiente dei fattori è: x E x * * d) Per determinare la combinazione ottimale dei fattori che consente di ottenere la quantità di produzione pari a ai prezzi dei fattori iniziali, occorre impostare il sistema: che dà soluzione x x x x x* E x* e) Per determinare la domanda dei fattori al variare della quantità di produzione che l impresa desidera ottenere occorre impostare il sistema iniziale senza specificare un determinato livello di produzione ma indicando la quantità prodotta con un generico q, ovvero: x x q x x da cui si ottengono le domande dei fattori in funzione della quantità prodotta: x q x 7 f) Per ricavare la curva dei costi totali di lungo periodo utilizziamo le funzioni di domanda degli input in funzione dell output, e quindi la funzione di costo di lungo periodo per questa impresa è: CT L ω x + x ω q q q

16 A questa funzione di costo totale corrisponde una funzione di costo medio pari a: 7 CM L 7 7 q 7 7 q 7 e una funzione di costo marginale pari a: ' C L q q q 7 Si noti che la funzione di costo medio di lungo periodo è decrescente (infatti la derivata prima del dcm L costo medio rispetto alla quantità prodotta è < 0 7 q ), infatti la funzione di dq 7 produzione presenta rendimenti di scala crescenti. g) Quando la quantità dell input x è fissa e pari a (breve periodo), la funzione di produzione per l impresa è: q x x x x per cui la domanda per il fattore x in funzione del livello di produzione è: x q Quindi, la funzione di costo di breve periodo per l impresa è: q CT B Si noti che questa espressione rappresenta il costo economico per l impresa, mentre in realtà l impresa sostiene anche un costo contabile per il fattore fisso, che non rientra tuttavia nel novero dei costi economici in quanto, poiché il fattore fisso non ha un utilizzo alternativo nel breve periodo, non rappresenta un costo opportunità per l impresa. Esercizio 9 La funzione di produzione di un impresa è data da 6. Il costo di una unità di lavoro è pari a w

17 500 mentre una unità di capitale costa r 000 a) Se nel breve periodo il capitale è fisso e pari a 0, si derivino le funzioni di costo totale di breve periodo, costo fisso, costo medio totale, costo medio fisso, costo medio variabile e costo marginale dell impresa b) In un contesto di lungo periodo, qual è la combinazione ottimale dei fattori K e L che permette di produrre 900 unità di output al minor costo possibile? Qual è la funzione di costo totale di lungo periodo dell impresa? Soluzione a) Se nel breve periodo il capitale è fisso e pari a 0, si derivino le funzioni di costo totale di breve periodo, costo fisso, costo medio totale, costo medio fisso, costo medio variabile e costo marginale dell impresa Nel breve periodo vale + I costi fissi sono: Per conoscere i costi variabili determiniamo la domanda di L rispetto a Q il costo variabile è 500 Quindi Il costo medio totale è Il costo medio fisso è 0000 Il costo medio variabile è Il costo marginale è

18 5 b) In un contesto di lungo periodo, qual è la combinazione ottimale dei fattori K e L che permette di produrre 900 unità di output al minor costo possibile? Qual è la funzione di costo totale di lungo periodo dell impresa? In ottimo vale sostituiamo nella funzione di produzione quindi 7 8,5 Per trovare la funzione di costo totale abbiamo bisogno delle funzioni di domanda di K e L rispetto a Q: 6 Dalla condizione di ottimo sappiamo che 6 Quindi sostituiamo nella condizione di ottimo 6 La funzione di costo totale di lungo periodo è quindi data da:

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