Esercizi di microeconomia

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1 Esercizi di microeconomia La produzione e i costi della produzione Esercizio 1 Dei fattori della produzione dell impresa IronFactory il capitale (K) e il lavoro (L) solo il secondo può variare nel breve periodo. La tabella sottostante riporta il prodotto totale associato alle diverse quantità di lavoro, mantenendo costante la quantità di capitale: quantità di lavoro (L) quantità di capitale (K) prodotto totale (q) ) Calcolare e rappresentare graficamente il prodotto medio (Pm) e il prodotto marginale (P ) del lavoro. 2) Verificare se in questo caso sussiste la legge dei rendimenti marginali decrescenti e a partire da quale valore di L. 1) Si ricorda che il prodotto medio si calcola come: Pm = q/l mentre il prodotto marginale vale: P L = dq/dl ovvero, per rapporti incrementali non infinitesimi: P L = Δq/ΔL Seguono i dati riportati nella tabella e nella figura sottostanti. quantità di lavoro (L) quantità di capitale (K) prodotto totale (q) prodotto medio (Pm) prodotto marginale (P L ) , , , , , , , , , ,1-8 1

2 Prodotto medio Prodotto marginale 2) La legge dei rendimenti marginali decrescenti afferma che, se si varia l ammontare impiegato di un fattore della produzione tenendo costanti tutti gli altri, si arriva ad un punto al di là del quale la produttività marginale del fattore variabile inizia a decrescere. Nell esempio proposto, per K = 10 ciò è vero a partire da L = 3, quando P L = 30. Per valori di L > 3, infatti, i valori del prodotto marginale del lavoro calano. Esercizio 2 L Antica Trattoria del Corso dispone di una sala attrezzata con dei tavoli per gli avventori del ristorante. Nel breve periodo, il prodotto totale è funzione soltanto del numero di camerieri. Completare la seguente tabella: Fattore variabile ( camerieri ) Prodotto totale Prodotto marginale del fattore camerieri Prodotto medio del fattore camerieri In base alle relazioni che sussistono fra prodotto totale, prodotto marginale e prodotto medio rispetto al fattore lavoro, la tabella si completa come segue: Fattore della produzione lavoro ( camerieri ) Prodotto totale Prodotto marginale del fattore camerieri Prodotto medio del fattore camerieri

3 Esercizio 3 La Clockwork Orange produce succhi di frutta impiegando due soli fattori della produzione, il capitale K e il lavoro L, ambedue variabili nel lungo periodo. La tabella sotto riporta l ammontare della produzione della Clockwork Orange associato a diversi valori per K e L. Fattore capitale (K) Fattore lavoro (L) ) Rappresentare graficamente in un diagramma L-K la mappa degli isoquanti per la Clockwork Orange. 2) In base ai dati a disposizione, chiarire se per la combinazione di fattori produttivi avente medesimo ammontare di capitale e lavoro (K = L), l impresa ha rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti. 3) Per L = 2 e K = 3 calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale. 1) La mappa degli isoquanti si ottiene rappresentando su un diagramma cartesiano L-K i punti corrispondenti alle diverse combinazioni dei fattori produttivi e congiungendo i punti aventi medesimo livello di produzione (q). Si noti che le congiungenti possono essere ottenute mediante curve decrescenti, continue e derivabili ( isoquanto continuo ) oppure spezzate ( isoquanto angoloso ), purché si abbia cura di non intersecare gli isoquanti tra loro. Si noti che i dati a disposizione consentono di tracciare isoquanti che non sono equiripartiti: di ciò andrà tenuto conto nel rispondere al quesito 2. 2) L analisi dei rendimenti di scala è limitata alle combinazioni di fattori produttivi aventi medesimo ammontare di capitale e lavoro. L analisi va pertanto limitata al confronto delle posizioni fra i punti posti lungo la retta bisettrice, ossia quella uscente dall origine e avente pendenza unitaria. Fissato un valore Δq: a. i rendimenti di scala sono crescenti se la distanza calcolata (sulla retta suddetta) tra gli isoquanti q e q + Δq aumenta al crescere di q; b. i rendimenti di scala sono decrescenti se tale distanza diminuisce al crescere di q; c. i rendimenti di scala sono infine costanti la distanza non dipende dal valore di q. 3) Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale per una certa combinazione di fattori produttivi esprime l ammontare di aumento (o diminuzione) del fattore capitale necessario per compensare una diminuzione infinitesima (o viceversa un aumento infinitesimo) del fattore lavoro e si calcola come: SMST = dk /dl = P L /P K. Nel caso finito, il valore assunto da SMST nel punto (L 0, K 0 ) è esprimibile come: SMST = P L /P K ΔK /ΔL. dove: P L (L 0, K 0 ) q(l 0 +1, K 0 ) q(l 0, K 0 ) P K (L 0, K 0 ) q(l 0, K 0 +1) q(l 0, K 0 ) Poiché per L = 2 e K = 3 si calcola: P L (2, 3) q(3, 3) q(2, 3) = = 15 P K (2, 3) q(2, 4) q(2, 3) = = 10 segue: SMST(2, 3) = 15/10 = 1,5. 3

4 Esercizio 4 Per ciascuna delle seguenti funzioni di produzione si determini se i rendimenti di scala sono crescenti, costanti o decrescenti: 1) q = LK 2) q = 2 LK 3) q = (LK) 0,5 + L 2 4) q = 2 L 0,3 K 0,6 5) q = 2 L 0,3 K 0,7 6) q = 2 L 0,3 K 0,8 Nota la definizione di rendimenti di scala e assegnata la generica funzione q = f(l, K, ), essa ha: rendimenti di scala crescenti se per ogni c > 1, si ottiene: f(cl, ck, ) > c f(l, K, ) rendimenti di scala costanti se per ogni c > 1, si ottiene: f(cl, ck, ) = c f(l, K, ) rendimenti di scala decrescenti se per ogni c > 1, si ottiene: f(cl, ck, ) < c f(l, K, ) Si osserva dunque quanto segue. 1) Per la prima funzione di produzione si ha: F(cL, ck) = c 2 LK > clk = c F(L, K) cosicché essa ha economie di scala crescenti. 2) Lo stesso vale per la seconda, che differisce dalla prima solo di un fattore 2. 3) Anche la terza funzione di produzione ha economie di scala crescenti. Si ha infatti: F(cL,cK) = (clck) 0,5 + c 2 L 2 = c(lk) 0,5 + c 2 L 2 > c[(lk) 0,5 + L 2 ] = c F(L, K) Anche per le funzioni 4, 5 e 6, si può procedure come già visto. In alternativa si osserva che esse sono del tipo Cobb-Douglas, ossia sono generalizzabili come: q = cl α K β Per tali funzioni si dimostra facilmente che: se α + β > 0, i rendimenti di scala sono crescenti; se α + β = 0, i rendimenti di scala sono costanti; se α + β < 0, i rendimenti di scala sono decrescenti. Pertanto: 4) Per la quarta funzione di produzione, essendo α + β = 0,9 i rendimenti di scala sono decrescenti. 5) Per la quinta funzione di produzione, essendo α + β = 1,0 i rendimenti di scala sono costanti. 6) Per la sesta funzione di produzione, essendo α + β = 0,9 i rendimenti di scala sono decrescenti. Esercizio 5 Nel breve periodo i costi dell impresa manifatturiera Quadrifoglio presentano la seguente funzione: CT = 122 q q Si determinino le seguenti espressioni dei costi: 1) costo fisso; 2) costo fisso medio; 3) costo variabile; 4) costo variabile medio; 5) costo totale medio; 6) costo marginale; e se ne calcoli il valore per q = 5. 4

5 1) costo fisso CF (q) = 70 CF (5) = 70 2) costo fisso medio CFM (q) = CF/q = 70/q CFM (5) = 14 3) costo variabile CV (q) = 122 q q CV (5) = ) costo variabile medio CVM (q) = CV/q = 122 q + 23 CVM (5) = 633 5) costo totale medio CTM (q) = CT/q = 122 q + 23 q + 7/q = CFM + CVM CTM (5) = 647 6) costo marginale C (q) = dct/dq = 244 q + 23 C (5) = 1243 Esercizio 6 La funzione di produzione dell impresa Accademia srl è: q = 10 L 2 K 0,5 L impresa dispone di K = 25 unità di capitale e paga ciascuna di esse r = 20. Noto il costo unitario del personale w = 100, determinare: 1) la funzione rappresentativa delle rette isocosto per l impresa; 2) l ammontare di unità di personale di cui l impresa si deve dotare per essere efficiente; 3) la quantità di output prodotta in condizioni di efficienza; 4) il costo sostenuto. Nel breve periodo, si consideri fisso il capitale impiegato da Accademia srl. Determinare: 5) l ammontare di personale necessario per raddoppiare la produzione; 6) il costo sostenuto dall impresa in tali condizioni; 7) il costo che l impresa sopporterebbe se potesse far variare anche il capitale impiegato, a parità di costi unitari. 1) I costi dell impresa sono regolati dalla funzione: C = wl + rk che può essere scritta anche come: K = C/r (w/r)l. Il fascio improprio di rette ottenuto dall espressione precedente facendo variare il valore di C individua le curve isocosto per l impresa 2) Una combinazione di fattori della produzione è efficiente quando: P L /w = P K /r ossia quando: P L /P K = w/r (1) I prodotti marginali del lavoro e del capitale si ottengono derivando rispettivamente rispetto al lavoro e al capitale la funzione di produzione (assegnata in forma analitica): P L = dq/dl = 20 L K 0,5 P K = dq/dk = 5 L 2 K -0,5 5

6 Poiché: w/r = 100/20 = 5 la condizione (1) implica: 4K/L = 5 L = 0,8 K (2) che per K = 25 dà L = 20. 3) Per K = 25 e L = 20 si ha: q = 10 L 2 K 0,5 = ) I costi sono pari a: C = wl + rk = = = ) Poiché il capitale è fisso, si deve mantenere il valore K = 25, facendo variare la quantità di lavoro impiegata. Dalla funzione di produzione (che nel breve periodo non muta) discende pertanto la condizione: = 10 L ,5 L 2 = 800 L = 28,28. 6) I costi sono pari a: C = wl + rk = , = ) Si supponga ora che i costi unitari dei fattori della produzione restino immutati e che l impresa possa far variare anche il capitale impiegato. In tal caso, l impresa sceglierebbe la combinazione di fattori produttivi efficiente che, come si è detto, è quella per cui è verificata la condizione (1), che per la funzione di produzione assegnata e i valori di r = 20 e w = 100 è equivalente alla condizione (2). Basta sostituire tale espressione nella funzione di produzione e porre q = (che è il doppio del livello di produzione precedentemente calcolato), per ottenere: = 10 (0,8 K) 2 K 0,5 = 6,4 K 2,5 K 2,5 = 6250 K = 32,99 L = 26,39 Sostituendo tali valori nella funzione di costo, si ha: C = wl + rk = , ,99 = 3298,8 Come atteso, tale costo risulta inferiore rispetto a quello computato per il medesimo livello di produzione tenendo fisso al valore K = 25 l ammontare di capitale impiegato. 6