Esercizio 6: Funzione di produzione e funzione di costo

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizio 6: Funzione di produzione e funzione di costo"

Ugo Ferrante
4 anni fa
Visualizzazioni

1 Microeconomia S Esercizi svolti in aula il dalla dr.ssa Barbara Daviero Testi tratti dall eserciziario preparato dal prof.giovanni Zanetti. 1 Esercizio 6: Funzione di produzione e funzione di costo Data la seguente funzione di produzione: (i) (ii) Q = K,5 L,5 Indicare la natura dei rendimenti di scala. Se il prezzo del lavoro è pari a e il prezzo del capitale è pari a, si indichi la combinazione ottima di lavoro e capitale. (iii) Utilizzando i risultati del punto precedente, si indichi il costo totale come funzione della quantità ottima Q e si verifichi la natura dei rendimenti di scala. 1

2 Soluzione Esercizio 6: Funzione di produzione e funzione di costo (i) Moltiplicando K e L per una costante t: Q = (tk),5 (tl),5 = t (,5+,5) K,5 L,5 = t K,5 L,5 = tq Rendimenti di scala costanti (ii) P L = P K = Costo totale = L + K Condizione di ottimo = Eguaglianza tra saggio marginale di sostituzione tecnica e inclinazione isocosto (rapporto tra i prezzi) (,5 1),5,5,5 1 L = SMS dk Pr oduttività marginale lavoro,5l K L K L,K = = == = (,5 1),5,5,5 dl Pr oduttività m arginale capitale,5k L K L K 1 Condizione di ottimo = K PL = = 1 L P Combinazione ottima = K = L K K L 3 Segue soluzione Esercizio 6 Funzione di produzione e funzione di costo (iii) CT = K + L ma K = L CT = K (o, equivalentemente, CT = L) Q = K,5 L,5 ma K = L Q = K (o, equivalentemente, CT = L) Q CT = K = = Q CT = Q Siccome il costo medio è pari a ed è Costante, i rendimenti di scala sono costanti 4

3 Segue soluzione Esercizio 6 Funzione di produzione e funzione di costo Siccome il costo medio è pari a ed è Costante, i rendimenti di scala sono costanti CT Costo totale 1 Q 5 Esercizio 7: Funzione di produzione e funzione di costo Dalla funzione di produzione alla funzione di costo Un impresa adopera fattori variabili (S e L) dai quali dipende la quantità prodotta (Y) secondo la funzione di produzione: Y = S 1/5 L 3/ I loro prezzi sono: P S = e P L = 3; oltre ai costi variabili ciascuna unità deve sostenere costi fissi per. 1) Si determini la funzione di costo dell impresa 6 3

4 Soluzione Esercizio 7 Funzione di produzione e funzione di costo Il saggio marginale di sostituzione tecnica (pari al rapporto tra le produttività marginali dei fattori) deve essere pari al rapporto tra i prezzi dei fattori (condizione di ottimo per l impresa): S L ds PM L 3 S = = = dl PM S 1 L 5 S L 5 ds PL 3 = = dl P S 3 S 3 = S = L L 7 Segue: Soluzione Esercizio 7 Funzione di produzione e funzione di costo Possiamo dunque sostituire L ad S nell espressione che fornisce il costo variabile dell impresa (isocosto): CTV = P S *S + P L *L = S + 3L = 5L Ma se operiamo la stessa sostituzione nella funzione di produzione possiamo ottenere L in funzione di Y: Y = L 1/5 L 3/ = L 1/ L = Y 4

5 Segue: Soluzione Esercizio 7 Funzione di produzione e funzione di costo Sostituendo L in CTV otteniamo: CTV = 5Y Aggiungendo i costi fissi otteniamo infine la funzione di costo totale dell impresa: CT = 5Y + 9 Segue: Soluzione Esercizio 7 Funzione di produzione e funzione di costo ) Si illustri in un grafico l andamento l del costo medio, del costo medio fisso, del costo medio variabile e del costo marginale Costo medio totale: CT = 5Y + Y Y Costo marginale: dct = Y dy Costo medio variabile: CTV 5Y = = 5Y Y Y Costo medio fisso: CF = Y Y 5

6 Segue: Soluzione Esercizio 7 Funzione di produzione e funzione di costo Costi CM CMeT CMeV CMeF,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Q uantità 11 Esercizio 1 L impresa WWW (vedi esercitazione ) opera in un mercato perfettamente concorrenziale sostenendo i seguenti costi: Q.tà CF CV CT C CMV 5 19, , 19 1,4 3, 6,7 CMF 3 15,3 11,5 9, 7,7 6,6 5, 5,1 CMT ,7 7,5 6 6,7 9,5 31, CF= costi fissi CV= c. variabili CT= c. totali C = c. marginale CM*= c. medi ** 1 6

7 Esercizio 1a a) Se il prezzo è pari a calcolare: ricavo totale (RT), ricavo marginale (R ) e profitto. Prezzo Q.tà CT RT (P Q) C R (P) Profitto (R C ) Profitto (RT - CT) Esercizio 1b b) In base ai dati precedenti, rispondere ai seguenti quesiti: i. Qual è la quantità di prodotto che massimizza il profitto? La quantità in corrispondenza della quale il ricavo marginale è uguale al costo marginale (R =C ); quindi Q =. ii. A quanto ammonta il profitto (perdita) corrispondente? Profitto = Ricavi CV CF In corrispondenza di Q =, Profitto = 19 - =

8 Segue Esercizio 1b Costi e Profitto C P= R CMT CMV Quantità 15 Segue Esercizio 1b iii. Qual è la rendita del produttore? Rendita del produttore = Ricavi CV ovvero Rendita = Profitto + CF = = 1 iv. L impresa dovrebbe continuare a produrre nel lungo periodo? Essendo il profitto positivo, la risposta è si! 16

9 NOTA Segue Esercizio 1b La rendita (o surplus) del produttore può essere pensata - sia come la differenza tra ricavi e costi variabili ( P Q - Q CMV ), - sia come la somma, estesa a tutte le unità prodotte, delle differenze tra prezzo e costo marginale: si veda la colonna Profitto (R C ) : = 1 (Come rappresentato nei due grafici seguenti) 17 Segue Esercizio 1b Costi e Surplus del produttore C P = R CMT CMV Quantità 1 9

10 Costi e 7 Segue Esercizio 1b 6 5 Surplus del produttore C P= R CMT CMV Quantità 19 Esercizio 3 Si consideri un mercato in cui vi siano individui con funzione di domanda p = - q d d e produttori con funzione di costo pari a CT= + q + 1/ q s s. a. Si individui l equilibrio di mercato. b. Si calcolino i profitti dei produttori e si indichi che cosa succederebbe in un mercato perfettamente concorrenziale nel lungo periodo: quale sarà il prezzo; quali le quantità prodotte; quali i profitti?

11 Esercizio 3a a) Per trovare l equilibrio occorre ricavare le funzioni di domanda e offerta aggregata e individuare il loro punto di incontro. F.ne domanda inversa) F.ne domanda diretta) Aggregando per individui) p d = q d q d = p d Q d = q d = p d La funzione di offerta coincide con il tratto crescente della funzione di C che sta al di sopra della funzione di CVM. Costo marginale = CT/ Q C = + 1/ q s Prezzo di offerta) p = + 1/ q s s Quantità offerta) q = p s s - 1 Segue Esercizio 3 Aggregando per imprese: Q = p s s - L equilibrio di mercato è la combinazione prezzo quantità per cui Q = Q s d ; p - = - p p = 4 Q = q = ; q s d = 4 11

12 Esercizio 3b b) Ogni produttore consegue un profitto pari a: RT = 4 () = 16 CT = + () + 1/ ( ) = 1 Profitti = Presumibilmente entreranno altre imprese nel mercato attratte dalle prospettive di profitto. L equilibrio di lungo periodo è quello per cui il Costo marginale coincide con il Costo medio. C = CM : + 1/ q = (( + q q + 1/ q )/q + 1/ q = /q + + 1/ q 1 / q = /q q = q = Ogni impresa produrrà quindi una quantità pari a. 3 Segue Esercizio 3b Poiché il prezzo è pari al costo marginale, p = 3. 3 La quantità complessiva sul mercato sarà pari a: Q = - 3 = 5 Vi saranno quindi 5 imprese sul mercato; il profitto sarà pari a RT CT, quindi: RT = 3 = 6 CT = + + 1/ = 6 Profitto = RT CT = 4 1

13 Segue Esercizio 3b Graficamente: P Domanda aggregata P Offerta impresa Offerta aggregata P = 4 Domanda individuale 4 Q Q 5 Segue Esercizio 3b Con l entrata di nuove imprese nel mercato, l offerta aggregata diventa più piatta e il prezzo di equilibrio scende da 4 a 3; la quantità scambiata è pari a 5: P Domanda aggregata Offerta aggregata (prima dell entrata) 4 3 Offerta aggregata (dopo l entrata) 5 Q 6 13

14 Esercizio 1 Se il prezzo è pari a 4 la quantità domandata è pari a. Se il prezzo è pari a la quantità domandata è pari a. La funzione di costo totale è la seguente: CT = 5+4 q. q Si ricavi la funzione di domanda, nell ipotesi che essa sia lineare Si indichi la soluzione ottima nel caso di un monopolio. Si indichi la soluzione nel caso di concorrenza perfetta. Si calcolino il surplus del consumatore e il surplus del produttore nei due casi. 7 Soluzione Esercizio 1 La funzione di domanda inversa risulta essere: P = 16,6 q. q La condizione che massimizza il profitto per un monopolista è l uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale: R =16 1,q=C =4. La quantità che massimizza il profitto risulta essere q= e il prezzo corrispondente P=. In un mercato di concorrenza perfetta, l uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale si riduce all uguaglianza tra prezzo e costo marginale: P = 16 -,6q = C C = 4. 4 La quantità di equilibrio è pari a q= e il prezzo è pari a P =

15 Segue Soluzione Esercizio 1 P 16 4 q Il surplus del consumatore in concorrenza perfetta è pari a (*1)/ = mentre il surplus del produttore è pari a zero. Il surplus del produttore in monopolio è pari a 6*=6 mentre il surplus del consumatore è pari a (*6)/=. Quindi la perdita secca di monopolio è pari a (*6)/=. 9 15

Documenti analoghi

Microeconomia - Problem set 5 - soluzione

Microeconomia - Problem set 5 - soluzione (Prof. Paolo Giordani - TA: Pierluigi Murro) 9 Maggio 015 Esercizio 1. Si consideri un impresa che opera in un contesto di concorrenza perfetta nel breve periodo,