= = + Andando a sostituire i valori che ci sono stati forniti dal testo avremo: =1 4

Transcript

1 Esercitazione 6 Dott.ssa Sabrina Pedrini 05/04/2019 Esercizio 1 Una impresa ha una funzione di produzione data da F(L,K)=LK I prezzi degli input sono w = 1 e r = 4. a) Sapendo che il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i fattori è pari a SMSTLK = K/L, si calcoli e si rappresenti la scelta ottima dei fattori quando il livello massimo dei costi che si possono sostenere è pari 8. Quanto produce l impresa con tale combinazione ottimale di fattori produttivi? b) Determinate quale combinazione di fattori sceglierebbe l impresa se non avesse un vincolo di costo ma dovesse produrre 4 unità di output. E possibile rispondere a questa domanda senza calcoli? Perché? Svolgimento a) Per individuare la combinazione ottimale di inputs che rispetta il vincolo di costo dobbiamo risolvere il sistema a due equazioni e due incognite che mette in relazione la condizione di ottimo e la funzione di costo: = = + Andando a sostituire i valori che ci sono stati forniti dal testo avremo: =1 4 8=+4 procedendo per sostituzione troveremo i valori di K e L che rappresentano i paniere ottimale di input: L= 4; K= 1. Da qui è possibile calcolare il valore dell isoquanto di produzione che corrisponde a questa combinazione di fattori, sostituendo i valori trovati all interno della funzione Cobb-Douglas di produzione, ossia Q=1 4=4. b) In realtà non sono necessari calcoli per rispondere a questa domanda: il punto b) non è altro che il problema duale del punto a). Se la combinazione ottimale dei fattori è (1,4) quando non posso spendere in essi più di 8 euro e con tale combinazione produco 4 unità di output, allora la combinazione ottimale per produrre 4 unità di output sarà sempre (1,4) e tale combinazione costerà 8 euro. Si può comunque verificare questo risultato risolvendo il punto b) attraverso la soluzione del seguente sistema di equazioni =1 4 =8

2 Esercizio 2 Considerate il mercato delle magliette nel quale operano, nel breve periodo, n=100 imprese di piccole dimensioni, tutte caratterizzate dalla stessa funzione di costo totale di breve periodo CT= 5q q+125 e costo marginale C =10q La funzione di domanda di mercato è Q D = p. a) derivare la funzione di costo medio variabile e rappresentatela in un grafico insieme alla curva di costo marginale; b) determinare la funzione di offerta per la singola impresa e per il mercato; c) calcolare prezzo e quantità di equilibrio nel mercato nel breve periodo, oltre che l output e il profitto di ciascuna impresa; d) Rappresentate graficamente l equilibrio di mercato e quello della singola impresa. e) Calcolare il surplus del consumatore e del produttore; f) Vi attendete che nel lungo periodo il numero delle imprese aumenti o diminuisca? Calcolare l equilibrio di lungo periodo (prezzo e quantità di equilibrio, quantità prodotta dalla singola impresa, profitti e numero di imprese) nell ipotesi che le curve di costo di lungo periodo siano uguali a quelle di breve periodo. Svolgimento a) Per calcolare la funzione di costo medio variabile ricordiamo che questa è data dal rapporto tra la funzione di costo variabile totale e la quantità di output prodotto. Avremo quindi CMV=CTV/q=(5q q)/q=5q+100. Costo C CMV 100 q b) Per quanto riguarda le funzioni di offerta della singola impresa ricordiamo che la funzione di offerta dell'impresa è descritta da quel tratto di curva dei costi marginali che rimane al di sopra del costo medio variabile (CMV=5q+100). Da un semplice confronto tra tali due funzioni è evidente come C >CMV per ogni q>0, per cui la curva di offerta (inversa) è pari all intera curva di costo marginale, ps= 10q + 100, da cui qs=(p/10)-10. Si noti tuttavia che quando il prezzo di mercato è uguale o inferiore a 100, l impresa deciderà di produrre q=0 nel breve periodo, per cui per completezza la curva di offerta è:

3 qs=(p/10)-10 se p>100; qs=0 se p 100 c) Nel mercato sono presenti 100 imprese identiche, caratterizzate dalla stessa funzione di costo, quindi di offerta. Per ottenere la funzione di offerta di mercato è sufficiente sommare tutte le singole funzioni di offerta. Nel nostro caso, con n=100 avremo QS= 100[(p/10)-10]=10p Per calcolare le grandezze di equilibrio, eguagliamo le funzioni di domanda e offerta di mercato. Da QD=QS otteniamo 10p-1000= p 20p=5000 p*=25 Tale prezzo, sostituito all'interno della funzione di domanda (o di offerta, in equilibro il risultato non cambia), permette di ottenere Q*=1500 come quantità scambiata sul mercato e q*=q*/n=1500/100=15 come quantità prodotta e scambiata da parte della singola impresa. I profitti si ottengono (sempre per la singola impresa) come differenza tra ricavi (dati dal prodotto tra prezzo di mercato e quantità scambiata) e i costi sostenuti dall'impresa: d) Graficamente: Π=RT-CT=pq-CT=250(15)-5(15)2-100(15)-125= =1000 P Costo C =O 400 O P*= P*=di 100 D 100 Q*= Q q*=q*/100=15 q e) Per quanto riguarda il surplus del consumatore, graficamente lo individuiamo come l'area compresa tra la curva di domanda inversa e il livello di prezzo di equilibrio. Nel nostro caso, l'area compresa tra il prezzo di riserva 400, quello di equilibrio 250 e la quantità scambiata sul mercato Si calcola quindi l'area del triangolo rettangolo compresa tra questi vertici [(b h)/2]: SC= [1500( )]/2=(1500µ150)/2= Il surplus del produttore aggregato è pari all area tra il prezzo di equilibrio e la curva di offerta. Nel nostro caso: SP= [1500( )]/2=(1500µ150)/2=112500

4 Matematicamente, SP è anche uguale alla somma dei profitti variabili delle imprese operanti sul mercato in equilibrio. Si noti che il profitto variabile per ciascuna impresa è 1125, per cui la somma di tali profitti per le 100 imprese sul mercato sarà semplicemente 100 varπ= (cvd). f) Il profitto di breve periodo è maggiore di zero. Questo causerà nel lungo l entrata di njuove imprese. Inoltre, l unico prezzo consistente con un equilibrio di lungo periodo sarà il valore del minimo della curva di costo medio totale di lungo periodo (che per ipotesi è pari a quella di breve). In tale punto di minimo il CMT è anche uguale al C, per cui possiamo usare quest ultima condizione per trovarlo: ossia CMT=C, dove CMT=CT/q= 5q /q, 5q /q=10q Questa equazione è facilmente risolvibile per q, che è pari a =5, che sarà la quantità che ciascuna impresa produce nel breve periodo. Il valore del costo medio totale a =5 è: CMT(5)= /5=150. E tale valore non potrà che essere il valore del prezzo di equilibrio di lungo periodo: =150. A tale prezzo, la quantità domandata e quindi scambiata in equilibrio sarà = =2500. Se ogni impresa produce =5, questa signigica che nel luno periodo opereranno n= =!! =500. Nel passaggio dal breve al lungo periodo sono quini entrate 400 imprese. Esercizio 3 Un impresa in concorrenza perfetta opera con altre 49 imprese identiche. La sua funzione di costo di lungo periodo è CT= 20Q-16Q 2 +4Q 3, con una funzione di costo medio pari a CM= 20-16Q+4Q 2 e di costo marginale C = 20-32Q+12Q 2. a) determinare il prezzo di equilibrio di lungo periodo; b) determinare la quantità scambiata sul mercato nel lungo periodo. Svolgimento a) Nel mercato concorrenziale i profitti economici devono essere nulli nel lungo periodo. Ogni impresa produrrà nel punto di minimo della sua curva di costo medio (il prezzo di mercato sarà poi uguale a tale valore minimo). Sarà dunque verificata la condizione per cui C =CM : 20-16Q+4Q 2 = 20-32Q+12Q 2 da cui 8Q(Q-2)=0 che ha come soluzione Qi=2 che è la quantità prodotta dalla singola impresa. Il corrispondente prezzo di equilibrio si ottiene ponendo p=c ovvero sostituendo la quantità appena trovata all interno della funzione di costo marginale: p=20-16(2)+4(4)=4 Per questi valori si può confermare che i profitti di lungo periodo sono nulli: π=rt-ct= 4(2)-[(20µ2)- (16µ4)+(4µ8)]=0 b) La quantità scambiata in equilibrio sarà pari alla quantità offerta in equilibrio da ciascuna impresa per il numero delle imprese Q = 2(50) = 100.

5 Esercizio 4 Si consideri un mercato perfettamente concorrenziale in cui operano due imprese. La prima è caratterizzata da una funzione di costo totale " = ", la seconda dalla funzione =3. Data una domanda di mercato pari a =12 %, si calcolino: & a) Le funzioni di offerta delle singole imprese, verificando che sia rispettata la condizione di non chiusura per la singola impresa (ossia l impresa non chiude perché è in grado di coprire i costi medi variabili con i ricavi) b) La funzione di offerta di mercato c) Quantità e prezzo di equilibrio del mercato d) La quantità prodotta da ciascuna impresa in equilibrio ed i relativi profitti Soluzione a) La funzione di offerta coincide con il tratto della curva di costo marginale che si trova al di sopra della curva di costo medio variabile I costi marginali sono " =2 " =6 E in ottimo ) = ) =2 " " = % ) =6 = % + Verifichiamo che il costo marginale si trovi al di sopra del costo medio variabile (C > CMV), " = -. = ", =3. =3 Pertanto " =2 " >, " = " =6 >, =3 b) L offerta di mercato si ricava come somma delle offerte individuali 0 = " + = ) 2 +) 6 =2 3 ) c) Deve valere = 0 12 ) 3 =2 3 ) 36 ) =2) 3) =36 ) =12 = =8 d) " = % " = " = % + = " + Π " = =36 Π = =12

6 Esercizio 6 Si consideri un industria perfettamente concorrenziale in cui operano 100 imprese identiche caratterizzate dalla curva dei costi totali 3 = La curva di domanda è =138 3). Si determini a) La curva di offerta della singola impresa e dell intero settore nel breve periodo b) L equilibrio di mercato e i profitti delle singole imprese c) La quantità prodotta e il numero di imprese presenti sul mercato nel lungo periodo Soluzione a) Il costo marginale è 3 =5 3 deve valere ) = quindi ) = = 6 7 Verifichiamo che >,, 3 =, 5 3 = 2 3 = =5 3 >, 3 = A livello dell intero mercato, l offerta è data dalla somma delle funzioni delle singole imprese "!! 9 =: 3 3;" =100 3 =100 < ) 5 ==20) b) = ) =20) 23) =138 ) =6 =20 6=120 3 = ) 5 =6 5 =1,2 Π 3 =) 3 3 =6 1,2 < 1,2 +1==7,2 4,6=2,6 nel breve periodo i profitti sono positivi e ciò crea l incentivo per nuove imprese ad entrare nel mercato c) Nel lungo periodo Π=0: la curva di costo marginale interseca la curva di costo medio totale nel suo punto di minimo. 3 = 5 3 = = Nel lungo = 5 3 = = =5 3 +2

7 5 3 =2 3 =A BCDEFBGDCCBFHE 3 = ) = quindi ) =5 3 ) = = 10 Verifichiamo che i profitti siano nulli Π 3 =) 3 3 = 10 J 2 5 K L=2 2=0 = "! In equilibrio = 0 = =128,5 Il numero delle imprese è M = 9 = 128,5 3 A 2 =203 5 Domande a risposta multipla 1) È possibile che un impresa concorrenziale operi in perdita nel breve periodo, pur massimizzando il profitto? a. No, se un impresa realizza una perdita vuol dire che non sta massimizzando il profitto. b. Sì, se P = C'. c. Sì, se CMT < C'. d. Sì, se P < CMT. 2) La curva di offerta individuale di breve periodo di un impresa operante in un mercato concorrenziale: a. È la porzione crescente della sua curva di costo medio totale. b. È la porzione crescente della sua curva di costo marginale. c. È la porzione della curva di costo marginale che giace sopra della curva di costo medio totale. d. È la porzione della curva di costo marginale che giace sopra della curva di costo medio variabile. 3) La curva di offerta di breve periodo dell impresa perfettamente concorrenziale: a. è la curva di costo variabile medio sopra il costo variabile minimo. b. è la porzione della curva di costo marginale che giace sopra la curva di costo totale medio. c. è la porzione della curva di costo marginale che giace sopra la curva di costo variabile medio. d. è la porzione con inclinazione verso l alto della curva di costo marginale.

8 4) Nel lungo periodo, un impresa perfettamente concorrenziale che ottiene profitti economici nulli: a. uscirà dal mercato cercando un uso più redditizio delle proprie risorse. b. ottiene un tasso di rendimento normale sui propri investimenti. c. opera male e dovrebbe uscire dal mercato. d. sono vere entrambe le risposte a e c. Risposte: 1d, 2d, 3c, 4b.