Effetto reddito e sostituzione; domanda aggregata

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1 Esercitazione 3 del 9 marzo 2017 Dott.ssa Sabrina Pedrini Effetto reddito e sostituzione; domanda aggregata Domande a risposta multipla 1) Per effetto di sostituzione si intende: (a) La variazione totale della quantità domandata di un bene a seguito della variazione del suo prezzo. (b) La variazione del prezzo di un bene in seguito alla variazione del prezzo di un bene sostituto. (c) La variazione della quantità domandata di un bene in seguito alla variazione del prezzo di un bene sostituto. (d) La variazione della quantità domandata di un bene in seguito alla variazione del suo prezzo, a parità di potere d acquisto. (e) Nessuna delle precedenti 2) La curva prezzo-consumo illustra: a. le diverse combinazioni di due beni che massimizzano la soddisfazione del consumatore quando i prezzi dei due beni sono mantenuti costanti e il reddito aumenta. b. le diverse combinazioni di due beni che il consumatore sceglie per massimizzare la soddisfazione quando il prezzo di un vaia cambia e il reddito e il prezzo dell altro bene sono mantenuti costanti. c. le diverse combinazioni di due beni che massimizzano la soddisfazione del consumatore quando i prezzi dei due beni variano nel tempo e il reddito è mantenuto costante. d. le diverse combinazioni di due beni che massimizzano la soddisfazione del consumatore quando il prezzo di un bene è mantenuto costante e il prezzo dell altro e il reddito aumentano. 3) La curva di domanda di mercato è: a. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; si sposterà a destra al crescere del numero di consumatori. b. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; è funzione di reddito, gusti e mode e non è influenzata dal numero di consumatori. c. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; si sposterà a sinistra al crescere del numero di consumatori. d. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; quando gusti e mode si allontanano da un bene, il numero di consumatori del mercato scende e la curva di domanda di mercato si sposta a destra. 4) Se nel mercato di un bene ci sono 30 consumatori, ciascuno con domanda individuale q = (p/3) (20/3) allora la curva di domanda di mercato p = f(q) è data da: a. q = 3p 60; b. q= 10p 200; c. q = 15p + 20; d. Nessuna delle precedenti Esercizio 4 (beni sostituti) Emiliano è sempre disposto a cedere due pancakes per un gelato in più (e dunque il suo saggio marginale di sostituzione dei pancakes per una gelato è costante e pari a 2). Il prezzo di una pancake è 8, il prezzo di un gelato è 3 ed il reddito settimanale di Emiliano è 40. Determinare il paniere ottimale di Emiliano.

2 Svolgimento Il saggio marginale di sostituzione di Emiliano fra pancake e gelato è costante: i due beni sono, perciò, perfetti sostituti: la funzione di utilità sarà lineare e la mappa di curve di indifferenza sarà costituita da rette inclinate negativamente. [Teoria: In generale, si ipotizzi che la generica funzione di utilità lineare di Emiliano sia del tipo U(x g, x p ) =ax g + bx p con a e b costanti positive. La generica curva di indifferenza di livello û sarà dunque pari a x g = û/b ax p /b che è l espressione di una retta. La mappa di indifferenza è dunque composta da rette negativamente inclinate, con pendenza -a/b. Dato che il SMS non è altro che il valore assoluto (ossia il controvalore positivo) della pendenza della curva di indifferenza, e dato che dall espressione della generica curva di indifferenza si evince facilmente che la sua pendenza (il suo coefficiente angolare) è pari a -2, i dati dell esercizio indicano che SMS p,g= (a/b) = 2, da cui si può ipotizzare che a=2 e b=1. Questo ci permette di ottenere la seguente possibile funzione di utilità per Emiliano. U(x g, x p ) =2x g + x p tra tutte le diverse curve di indifferenza appartenenti alla mappa descritta, Emiliano sceglierà quella più elevata possibile, dato il suo reddito] Il vincolo di bilancio di Emiliano è Ed è tracciato in rosso nel grafico che segue. Come si può notare da tale grafico, il paniere ottimale non può essere un punto di tangenza fra vincolo di bilancio e mappa di indifferenza: il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza, infatti, sono rette con inclinazione differente e, quindi, mai tangenti fra loro. Il vincolo di bilancio interseca diverse curve di indifferenza, ma la più alta (cioè quella ad utilità maggiore) viene raggiunta quando Emiliano consuma solo gelato: in questo caso tutto il reddito di Emiliano sarà allocato sull acquisto del gelato e si avrà

3 In corrispondenza di questo punto di consumo, l utilità di Emiliano sarà U(13,3 ; 0) =2(13,3) + 0 = 26,6. In generale per i beni perfetti sostituti sia le curve di indifferenza, sia il vincolo di bilancio del consumatore sono rette inclinate negativamente. Sono, quindi, possibili tre differenti casi: 1. il vincolo di bilancio ha pendenza maggiore della mappa di indifferenza. In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra il vincolo di bilancio e l asse verticale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare solamente il bene 2 (asse verticale) 2. il vincolo di bilancio ha pendenza minore della mappa di indifferenza In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra il vincolo di bilancio e l asse orizzontale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare solamente il bene 1 (asse orizzontale). 3. il vincolo di bilancio è parallelo alla mappa di indifferenza

4 In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore coincide con il vincolo di bilancio: in altri termini, tutti i panieri sul vincolo di bilancio avranno la stessa utilità e saranno ottimi per il consumatore. Nel nostro caso, partendo da VDB ed esprimendo il vincolo in funzione del bene che si trova sull'asse verticale otteniamo: La pendenza del vincolo di bilancio è, quindi, pari a -3/8, mentre quella della mappa di indifferenza è pari a -1/2: si tratta, quindi, del caso in cui la pendenza del vincolo di bilancio è minore di quella della mappa di indifferenza. Come già visto il punto di ottimo del consumatore corrisponde, perciò, al punto di intersezione del vincolo di bilancio con l asse orizzontale: Da cui il punto di ottimo: Esercizio 2 (beni complementari) Un consumatore ha una funzione di utilità data da U(x,y)=min(2x;3y) ed un reddito R=40. I prezzi dei due beni sono px=2 e py=5. 1) Si rappresentino graficamente il vincolo di bilancio e la mappa di curve di indifferenza. In particolare si consideri la curva di indifferenza di livello 12. 2) Si calcoli la scelta ottimale del consumatore. 3) Si supponga che il prezzo del bene y aumenti fino a py =7. Si calcoli e si rappresenti nel grafico precedente la nuova scelta ottimale del consumatore. Svolgimento 1) Il vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/py= 8 e intercetta orizzontale R/px= 20 e pendenza in valore assoluto px/py= 2/5. Le curve in indifferenza sono a forma di L con cuspidi lungo il raggio di equazione y=(2/3)x. Si tratta di beni perfetti complementi. La curva di livello 12 presenta una cuspide per x=12/2=6 e y=12/3=4.

5 2) La scelta ottima del consumatore si trova intersecando il raggio lungo il quale giacciono le cuspidi delle curve di indifferenza ed il vincolo di bilancio. Occorre quindi risolvere il sistema formato da y=2/3x e 2x+5y=40 da cui x=15/2 e y=5. La curva di indifferenza raggiunta ha livello 15. 3) Il nuovo vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/py'=20/7. Ora il sistema da risolvere è formato da y=2/3x e 2x+7y=40 da cui x=6 e y=4. La curva di indifferenza raggiunta ha livello 12. Esercizio 3 Un consumatore ha la seguente funzione di utilità U(x;y)=x+2y con prezzi p x =2 e p y =3 per i due beni. 1) Si calcoli e si rappresenti la curva di indifferenza di livello 20. 2) Si determini il reddito necessario e la conseguente scelta ottimale per raggiungere questo livello di utilità. Svolgimento 1) La curva di indifferenza di livello 20 è data dalla retta di equazione 20 = x+2y ovvero y= 10 (1/2)x. Ha intercetta verticale 10, intercetta orizzontale 20 e pendenza -1/2. 2) Si tratta di beni perfetti sostituti quindi la scelta ottimale dipende dalla pendenza relativa di vincolo di bilancio e curva di indifferenza. Il rapporto dei prezzi è 2/3 per cui il vincolo risulta più inclinato della curva di indifferenza (il cui SMS è ½). Il consumatore acquisterà quindi solo il bene sull asse verticale, ossia y. In particolare, la quantità di bene y sull asse verticale che consente di raggiungere il livello di utilità 20 è proprio l intercetta verticale della curva di indifferenza di livello 20 trovata nel punto 1), ossia y*=10, mentre x*=0. Per acquistare un tale paniere è necessario un reddito pari a R=p y y*= 30. Esercizio 4 Il consumatore ha una funzione di utilità data da Il prezzo del bene è, il prezzo di è e il reddito a disposizione. 3) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di indifferenza di livello 6. 4) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore ( ). 5) Supponendo che il prezzo del bene x aumenti e sia ora pari a 12, si determini nuovamente la scelta ottima del consumatore. 6) Si scomponga l effetto totale della variazione di prezzo del bene x in effetto di reddito e di sostituzione utilizzando il metodo della variazione compensativa. 7) Si calcoli la variazione compensativa del reddito necessaria per la scomposizione del punto 4). Svolgimento Punto 1 La curva in questione ha equazione implicita 6=x 1/2 y 1/3 ed esplicita y=6 3 /x 3/2. Passa per i punti (4,

6 27), (9,8), (36,1). Punto 2 Per calcolare la scelta ottimale del consumatore è necessario innanzitutto scrivere l equazione del vincolo di bilancio: 20=(4/3)x+y Il SMS=(3y)/(2x) e p x /p y =4/3 Mettendo a sistema la condizione di ottimo con il vincolo di bilancio si ottengono le grandezze x* e y* che caratterizzano la scelta ottima. (3y)/(2x)=4/3 20=(4/3)x+y (x*; y*)=(9;8) Sostituendo le quantità ottimali di x e y nella funzione di utilità possiamo verificare che il paniere ottimale giace proprio sulla curva di indifferenza di livello 6 (U=6). Graficamente: Punto 3 Dato il nuovo prezzo del bene x il nuovo vincolo di bilancio sarà: 20=12x+y il nuovo rapporto tra i prezzi: p x /p y =12 e la condizione di tangenza sarà ora: (3y)/(2x)=4/3 da cui il sistema (3y)/(2x)=12 20=12x+y che ci permette di ottenere la nuova scelta ottima, che segue all'aumento del prezo del bene x: (x**;y**)=(1;8) Alla nuova scelta del paniere corrisponde un livello di utilità U=2.

7 Punto 4 L'effetto totale su x è dato dalla differenza tra la quantità di x di equilibrio con la nuova coppia di prezzi e la quantità di x di equilibrio con la vecchia coppia di prezzi: Effetto Totale su x: x* 1 -x* 0 = 1-9= -8 Per trovare l'effetto di sostituzione è invece necessario capire in che modo il consumatore può continuare a consumare ottenendo lo stesso (U=6) livello di utilità ma ai nuovi prezzi (p x =12). Questo vuole dire rispettare il nuovo vincolo di bilancio, che vede un nuovo rapporto tra i prezzi e un diverso livello di reddito, necessario a raggiungere i vecchi livelli di utilità. Per farlo disponiamo solo di alcune informazioni: sappiamo che il nuovo punto (nuovo vincolo, vecchia curva di indifferenza) sarà un punto in cui il consumatore effettua la scelta ottima (SMS=px'/py) in corrispondenza del vecchio livello di utilità. La condizione di ottimo, con i prezzi nuovi (ossia y=8x), viene messa in relazione con il livello di utilità U=6 che si vuole raggiungere: L effetto di sostituzione è dunque dato dalla differenza tra questo valore di x e quello dell equilibrio originario. Entrambi caratterizzano panieri di consumo che si collocano sulla stessa curva di indifferenza, ma la cui composizione è diversa, cambiata dall'aumento del prezzo del bene: Mentre l effetto reddito, dato dalla differenza tra panieri che si trovano su vincoli che hanno la stessa pendenza ma su curve di indifferenza diverse, sarà pari a: L'effetto totale (x 1 -x 0 ), quindi, è dato dalla combinazione di questi due effetti, reddito (x 1 -x 2 ) e sostituzione (x 2 -x 0 ). Graficamente:

8 R 2 -R=54 Punto 5 Per calcolare la variazione compensativa è necessario calcolare la differenza tra il reddito che occorrerebbe al consumatore per raggiungere il punto e quello originario, ovvero quello che gli è sufficiente a raggiungere con i vecchi prezzi e con i nuovi prezzi. Dobbiamo quindi scrivere il vincolo di bilancio con i nuovi prezzi e sostituirvi i valori del paniere lasciando come unica incognita il reddito R: la differenza tra questo reddito e quello originario è la variazione compensativa, che corrisponde all'ammontare di denaro del quale l'individuo avrebbe bisogno per essere compensato per gli effetti avversi della variazione del prezzo e continuare a godere dello stesso livello di utlità (che in questo caso è l approssimazione da noi usata per il livello del potere di acquisto).

9 Esercizio 5 (domanda di mercato) Un mercato è costituito da due soli consumatori. Il consumatore 1 ha funzione di domanda individuale pari a ed il consumatore 2 ha funzione di domanda pari a 1) Rappresentare graficamente le due funzioni di domanda individuali; 2) Calcolate e rappresentate sul grafico la funzione di domanda di mercato; 3) Supponete che la funzione di offerta del mercato sia ; calcolate l equilibrio del mercato e la quantità acquistata rispettivamente dal consumatore 1 e 2. Svolgimento Punto 1 Per trovare la domanda aggregata è sempre bene ricavare le singole domande in funzione del prezzo, quindi: Punto 2 Adesso possiamo trovare la domanda di mercato come somma delle singole domande per ogni livello di prezzo: La condizione è necessaria perché la domanda individuale del consumatore 2 sia positiva. Solo in quel caso la domanda di mercato è somma di entrambe le curve individuali. La condizione assicura che la domanda individuale del consumatore 1 sia positiva. Nel caso quindi in cui valga la domanda di mercato coincide con quella del consumatore 1.

10 p p = 12 p = 12 2 Q D p = 8 p = 12 2 q 1 D p = 8 2 q 2 D p = 10 Q D q = 4 q = 6 Q D = 10 q Punto 3 Per individuare l equilibrio di mercato è necessario scrivere o ; Se si ipotizza che in equilibrio p*<8, dobbiamo quindi utilizzare la prima uguaglianza, la quale determina un equilibrio con un prezzo (e una quantità pari a ). In questo caso, quindi l ioptesi di partenza p<8 è confermata. Nel caso ipotizzassimo un prezzo di equilibrio, dovremmo utilizzare la seconda uguaglianza, la quale però produce un prezzo e una quantità di equilibrio pari a e, ossia in particolare un prezzo che contraddice l ipotesi di partenza. La coppia prezzo-quantità di equilibrio è dunque la prima delle due. Sostituendo nelle due domande individuali il prezzo di equilibrio si ottengono i valori e.

11 p p = 12 p = 12 2 Q D p = Q S p = 8 p * = 5 p = 10 Q D q 2 D* = 1, 5 q 1 D* = 3, 5 Q * = 5 q