ESERCITAZIONE 7 CORREZIONE ESONERO 16/04 MINIMIZZAZIONE DEI COSTI DI BREVE PERIODO CON COSTI IRRECUPERABILI MINIMIZZAZIONE DEI COSTI DI LUNGO PERIODO

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1 ESERCITAZIONE 7 CORREZIONE ESONERO 16/04 MINIMIZZAZIONE DEI COSTI DI BREVE PERIODO CON COSTI IRRECUPERABILI MINIMIZZAZIONE DEI COSTI DI LUNGO PERIODO 1 CORREZIONE ESONERO 16/ Teoria a) L isoquanto è decrescente perché le produttività marginali di lavoro e capitale sono decrescenti; b) Giovanni al prezzo di 10 domanda 8 unità di un bene; se gli venisse offerto di avere 8 unità del bene a 90 accetterebbe sicuramente. 1.2 Risposta alla domanda di teoria a) L affermazione di cui sopra è falsa, dal momento che la decrescenza delle produttività marginali motiva la convessità dell isoquanto; la decrescenza dell isoquanto è motivata dall ipotesi secondo cui l imprenditore, nell intento di minimizzare i costi, considera solo tecniche produttive tecnologicamente efficienti 1. b) La riposta è dipende. In particolare, l affermazione di cui sopra è vera solo se la disponibilità a pagare di Giovanni per le unità inframarginali (cioè per quelle prima dell ottava) è tale da rendergli conveniente acquistare 8 unità a 90. Se la disponibilità a pagare complessiva per 8 unità è inferiore a 90, Giovanni rifiuta l offerta. Dal momento che il problema non fornisce dei dati che consentano di determinare la disponibilità a pagare per le unità inframarginali, non è possibile rispondere né vero né falso. 1.3 Esercizio Dato che U = X X 0.2 2, M = 500, P 1 = 50, P 2 = 100, svolgere i seguenti punti: 1. Determinare il paniere ottimo; 2. Determinare il paniere ottimo a seguito di una variazione di prezzo tale che P 2 = 50; 3. Determinare la funzione di domanda relativa al bene Svolgimento dell esercizio 1. Attraverso l applicazione delle formule relative alle funzioni Cobb-Douglas, si ottiene: X d = = 5 X d = = Attraverso l applicazione delle formule relative alle funzioni Cobb-Douglas e tenendo conto della variazione del prezzo del bene 2, si ottiene: d X = = 5 X d = = 5 3. Partendo dalla formula generale per la determinazione della quantità ottima del bene 2: X 2 = β M α + β P 2 1 Come avranno notato gli studenti più accorti, il quesito era molto simile a quello proposto nell ambito del primo esonero (cfr. ESERCITAZIONE 5 CORREZIONE ESONERO 28/03)

2 Si sostituiscono alle variabili esogene i dati forniti dal problema. Dal momento che si ha a che fare con una funzione di domanda, le variabili esogene sono relative alle preferenze del consumatore (rappresentati dagli esponenti della funzione di utilità) e al reddito monetario (che sarebbe M). Dopo aver effettuato le debite sostituzioni, si ottiene che: X 2 = = P 2 P 2 2 ESERCIZIO TIPO 10 MINIMIZZAZIONE DEI COSTI DI BREVE PERIODO CON COSTI IRRECUPERABILI 2.1 Argomenti teorici da conoscere: Problema di minimizzazione dei costi: Posto che l obiettivo dell imprenditore è quello di massimizzare i profitti (e cioè la differenza tra ricavi totali e costi totali), l imprenditore individua la combinazione di lavoro e capitale che gli consente di ottenere la quantità di prodotto desiderata al minimo costo possibile; nel fare ciò, l imprenditore affronta una problema di minimizzazione vincolata, in cui la funzione obiettivo (e cioè la funzione da minimizzare stabilendo opportunamente l impiego di lavoro e l impiego di capitale) è la funzione che rappresenta il costo associato all impiego di lavoro e capitale, mentre il vincolo è rappresentato dal fatto che, in accordo alla funzione di produzione, la combinazione di lavoro e capitale prescelta deve essere associata alla quantità di prodotto desiderata dall imprenditore. Tutto ciò si può esporre (e comprendere) in termini matematici, geometrici e logici. In termini matematici: min CT = wl + rk s. t. Q 0 = f(l; K) Dove la funzione obiettivo è l isocosto e il vincolo è l isoquanto relativo alla quantità desiderata Q 0. In termini geometrici, questo problema si minimizzazione vincolata consiste nell individuare lungo l isoquanto che corrisponde alla quantità desiderata Q 0 la combinazione di lavoro e capitale che giace sull isocosto più basso possibile. In termini logici, il problema di minimizzazione dei costi si costruisce immaginando che l imprenditore assuma come un dato la quantità da produrre (che costituisce il vincolo) e manovri l impiego di lavoro e capitale al fine di produrre la quantità in questione minimizzando i costi. La combinazione di lavoro e capitale che rappresenta la soluzione di tale problema soddisfa il criterio della efficienza economica, dal momento che consente di raggiungere la quantità di prodotto desiderata al minimo costo possibile. Breve Periodo: il breve periodo è un orizzonte temporale sufficientemente breve affinché uno dei fattori della produzione rappresenti un input fisso, e cioè non possa essere utilizzato al di là di un limite massimo. In particolare, nel Corso di Microeconomia l input fisso di breve periodo è sempre il capitale. In termini matematici si scrive che: K K 0 Dove K indica l impiego di capitale e K 0 indica il limite massimo relativo all impiego di capitale. Questa disuguaglianza costituisce un ulteriore vincolo che l imprenditore deve rispettare nel raggiungere l obiettivo di minimizzare i costi in un orizzonte temporale di breve periodo. Di conseguenza, il problema di minimizzazione vincolata nel breve periodo diventa: min CT = wl + rk s. t. Q 0 = f(l; K) s. t. K K 0

3 Costi Irrecuperabili: I costi irrecuperabili sono associati a un input fisso (il capitale) e devono essere sostenuti indipendentemente dalla quantità prodotta. La definizione di costi irrecuperabili coincide dunque con la definizione di costi fissi. Assumendo un ipotesi semplificatrice, si afferma che i costi fissi sono pari ai costi che si devono sostenere per impiegare il capitale al massimo livello possibile. Questo significa dire che, a prescindere dal livello di K, l imprenditore deve sostenere dei costi fissi per il capitale pari a rk 0, dove r è il costo unitario del capitale e K 0 è il numero massimo di unità di capitale che l imprenditore può impiegare in un orizzonte temporale di breve periodo. Dal momento che l imprenditore, a prescindere dalla quantità prodotta e dall impiego di capitale, paga per il capitale un costo pari rk 0, per produrre una certa quantità con l intento di minimizzare il costo totale l imprenditore cerca di minimizzare l impiego di lavoro, a cui si associa un costo wl che invece dipende dall impego di lavoro e dalla quantità prodotta. Conseguentemente, per ogni quantità, l imprenditore decide impiegare al massimo livello possibile il capitale, minimizzando il costo associata al lavoro, che dipende dall impego di lavoro ed è pertanto l unica componente dei costi totali a poter essere manovrata al fine di minimizzare i costi stessi. Tutto questo porta alla conclusione che, nel breve periodo, in presenza di costi irrecuperabili, il problema di minimizzazione vincolata fronteggiato dall imprenditore diventa: min CT = wl + rk s. t. Q 0 = f(l; K) s. t. K = K Esempio rappresentativo di ESERCIZIO TIPO 10 Dato che Q = L 0.5 K 0.5, w = 30, r = 50, K 0 = 16, ipotizzando che al capitale siano associati dei costi irrecuperabili pari a rk 0, svolgere i seguenti punti: 1. Impostare il problema di minimizzazione dei costi in riferimento al breve periodo e a una quantità Q 0 = 10; 2. Impostare il sistema che rappresenta la soluzione di tale problema; 3. Determinare la tecnica produttiva economicamente efficiente; 4. Determinare la tecnica produttiva economicamente efficiente in riferimento a Q 1 = Svolgimento dell esempio rappresentativo 1. Il primo punto del problema consiste nell impostazione del problema minimizzazione vincolata dei costi in riferimento a un orizzonte temporale di breve periodo e sotto l ipotesi di costi irrecuperabili. Facendo riferimento a quanto si è scritto in precedenza, si ottiene questo: min CT = 30L + 50K s. t. 10 = L 0.5 K 0.5 s. t. K = Il sistema che rappresenta la soluzione di questo problema di minimizzazione vincolata è: K = = L 0.5 K 0.5 Impostare questo sistema infatti significa voler individuare la combinazione di lavoro e capitale che consente di raggiungere la quantità di prodotto 20 nel rispetto del vincolo di breve periodo e dei costi irrecuperabili. 3. Individuare la combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente vuol dire risolvere il sistema in questione. Per farlo, si ricorre al metodo di sostituzione.

4 In questo caso, l applicazione del metodo di sostituzione è molto agevole, dal momento che si conosce il valore assunto da una delle due variabili. In particolare, in accordo alla prima equazione del sistema: K = 16 Stabilito che l impiego di capitale è uguale a 16, si sostituisce tale valore all interno della seconda equazione, ottenendo: 10 = L Sapendo che: Si ottiene che: Da cui: = 4 10 = L L 0.5 = 10 4 = 2.5 A questo punto si elevano entrambi i membri all esponente che consente di rendere l esponente a cui è elevato L pari a 1. Per determinare tale esponente si sfrutta la proprietà delle potenze secondo cui (x n ) m = x n m. Da questo, si evince che, chiamando e L l esponente cui è elevato L e e l esponente da individuare, deve valere la relazione e L e = 1, da cui e = 1 e L, e quindi, dato che e L = 0.5, il nostro esponente è 2 2. Elevando entrambi i membri alla seconda, si ottiene: L = = 6.25 In conclusione, la combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente è: K = 16 L = Applicando la stessa logica esposta in precedenza, si ottiene che il sistema che consente di individuare la combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente è: K = = L 0.5 K 0.5 Sostituendo 16 a K all interno della seconda equazione si ottiene che: 20 = L L = 5 2 L = 25 Dunque la seconda combinazione economicamente efficiente è: K = 16 L = 25 Come è evidente, nonostante si aumentata la quantità prodotta (da 10 a 20), non è cambiato l impiego di capitale: tutto ciò è chiaramente dovuto al vincolo dei costi irrecuperabili. 3 ESERCIZIO TIPO 11 MINIMIZZAZIONE DEI COSTI NEL LUNGO PERIODO 3.1 Argomenti teorici da conoscere Lungo periodo: Il lungo periodo è un orizzonte temporale sufficientemente lungo da far sì che non ci siano input fissi (e quindi, neanche costi fissi). In questa situazione il problema di minimizzazione dei costi ha un unico vincolo, rappresentato dalla quantità che si desidera produrre. 2 Ad alcuni di voi tutto questo procedimento sembrerà ridondante (e lo è). Il caso in esame è molto facile ed è intuitivo stabilire che per eliminare l esponente 0.5 (cha sarebbe una radice quadrata) si debba elevare tutto alla seconda. Dal momento che ci si può trovare di fronte a un esponente più difficile di 0.5 e dal momento che chi scrive riceve in continuazione mail in merito alla risoluzione di esercizi del genere, si è ritenuto opportuno fornire una regola generale su come individuare l esponente che consente di risolvere equazioni di grado diverso dal primo.

5 Dunque, si ha: min CT = wl + rk s. t. Q 0 = f(l; K) La soluzione di tale problema è rappresentata da questo sistema: SMST = w r Q 0 = f(l; K) 3.2 Esempio rappresentativo di ESERCIZIO TIPO 11 Dato che Q = L 0.25 K 0.25, w = 30, r = 30 e si fa riferimento al lungo periodo, svolgere i seguenti punti: 1. Determinare il problema di minimizzazione dei costi in riferimento alla quantità Q 0 = 5; 2. Determinare il sistema che rappresenta la soluzione di questo problema di minimizzazione vincolata; 3. Determinare la combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente e il costo totale alla stessa associato; 4. Determinare la combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente se Q 1 = 10; stabilire il costo totale associato a questa combinazione di lavoro e capitale. 3.3 Svolgimento dell esempio rappresentativo 1. Facendo riferimento a quanto spiegato in precedenza, si ottiene che il problema di minimizzazione dei costi in questo caso è: min CT = 30L + 30K s. t. 5 = L 0.25 K Il sistema che rappresenta la soluzione di tale problema di minimizzazione vincolata è: 30 SMST = 30 5 = L 0.25 K 0.25 Dal momento che la funzione di produzione è una funzione Cobb-Douglas, si conosce che: SMST = α K β L = 0.25 K 0.25 L = K L Dunque il sistema diventa: K L = 1 5 = L 0.25 K Per individuare la combinazione di lavoro e capitale che soddisfa il criterio dell efficienza economica occorre risolvere il sistema precedentemente individuato. Per farlo occorre applicare il metodo di sostituzione. In questo senso, esistono diverse alternative. Chi scrive ritiene che la cosa più semplice sia compiere questi due passaggi: 1. Esprimere K in funzione di L nella prima equazione; 2. Sostituire quel valore all interno della seconda equazione 3. In questo caso abbiamo che moltiplicando per L entrambi i membri della prima equazione si ottiene: K = L 3 Chi vuole può seguire sempre questa strada; in alternativa, è possibile compiere altre scelte, tutte ugualmente corrette.

6 Sostituendo questo valore di K all interno della seconda equazione si ha che: 5 = L 0.25 L 0.25 Sfruttando la proprietà delle potenze secondo cui x n x m = x n+m, si ottiene che: 5 = L Cioè 5 = L 0.5 A questo punto si elevano entrambi i membri dell equazione alla seconda per rimuovere l esponente a cui è elevato L (cioè per renderlo pari a 1) e si ottiene che: L = 25 Una volta ottenuto il valore assunto da L, si sostituisce questo valore all interno della prima equazione in cui si era espresso K come funzione di L; in particolare: K = 25 Dunque la combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente è: K = 25 L = 25 Una volta determinata la combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente, occorre determinare il costo totale alla stessa associato. Si parte dalla formula secondo cui: CT = wl + rk Tenendo in considerazione i valori di lavoro e capitale individuati e i dati forniti dall esercizio, si ottiene: CT = = Per svolgere questo punto si applica la stessa logica del punto precedente e dunque si cerca di individuare i valori di L e K che risolvono il seguente sistema: K L = 1 10 = L 0.25 K 0.25 Come è facile notare, tutto resta uguale, fatta eccezione per il valore della quantità prodotta che passa da 5 a 10. Applicando gli stessi passaggi esposti in precedenza, si arriva all equazione secondo cui: L = 10 2 = 100 Dunque la seconda combinazione di lavoro e capitale economicamente efficiente è: K = 100 L = 100 A questo punto si determina il livello dei costi totali; in particolare: CT = wl + rk = = 6000

7 ESERCIZI 2 ESERCIZIO TIPO 10 Per i seguenti dati, svolgere i passaggi facendo riferimento a un orizzonte temporale di breve periodo e all ipotesi di costi irrecuperabili. 1. Determinare il problema di minimizzazione dei costi; 2. Determinare il sistema che rappresenta la soluzione del problema di minimizzazione vincolata; 3. Determinare la prima combinazione economicamente efficiente; 4. Determinare la seconda combinazione economicamente efficiente. 1) Q = L 0.25 K 0.5 K 0 = 9 Q 0 = 2 Q 1 = 3 w = 20 r = 30 2) Q = LK 0.25 K 0 = 16 Q 0 = 5 Q 1 = 10 w = 2 r = 3 3) Q = L 0.2 K K 0 = 2 Q 0 = 1 Q 1 = 2 w = 4 r = 5 3 ESERCIZIO TIPO 11 Per i seguenti dati, svolgere i passaggi facendo riferimento a un orizzonte temporale di lungo periodo. 1. Determinare il problema di minimizzazione dei costi; 2. Determinare il sistema che rappresenta la soluzione del problema di minimizzazione vincolata; 3. Determinare la prima combinazione economicamente efficiente e il relativo costo totale; 4. Determinare la seconda combinazione economicamente efficiente e il relativo costo totale. 1) Q = L 0.5 K 0.5 Q 0 = 20 Q 1 = 30 w = 2 r = 2 2) Q = L 0.2 K 0.8 Q 0 = 10 Q 1 = 20 w = 1 r = 4 3) Q = L 0.75 K 0.25 Q 0 = 5 Q 1 = 10 w = 3 r = 1

8 SOLUZIONI 2 ESERCIZIO TIPO 10 1) 3. L = K = 9 4. L = 1 K = 9 2) 3. L = 2.5 K = L = 5 K = 16 3) 3. L = 0.03 K = 2 4. L = 1 K = 2 3 ESERCIZIO TIPO 11 1) 3. L = 20 K = 20 CT = L = 30 K = 30 CT = 120 2) 3. L = 10 K = 10 CT = L = 20 K = 20 CT = 100 3) 3. L = 5 K = 5 CT = L = 10 K = 10 CT = 40