Esercitazione: funzione di produzione

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1 Un azienda che produce materiali granulari per l edilizia ha la seguente funzione di produzione Q3+ 2-0,8 2 dove Q rappresenta la quantità espressa in tonnellate di materiale prodotto mensilmente e e rispettivamente le quantità di input di capitale e lavoro consumate in un mese per la produzione. Si ipotizzi di impiegare un quantità di capitale 10 e si determinino: 1. l espressione del prodotto medio del lavoro; 2. la quantità di lavoro in corrispondenza della quale il prodotto marginale del lavoro raggiunge un valore nullo; 3. se il problema presentato va considerato come problema di breve o di lungo periodo. a) Se si ha 10 la funzione di produzione diventa: Il prodotto medio del lavoro è dato da: M Q Q3*10*+(10) 2-0,8 2 0, ,8 2-0, , b) Il prodotto marginale del lavoro è dato da: 100 dq ' 0,8 * 2 * ,6 + d 30 onendo l espressione ottenuta pari a zero si ha: 1

2 0-1, ,6 18,75 c) a funzione di produzione Q3+ 2-0,8 2 è una funzione di lungo periodo: infatti, se e sono gli unici fattori della produzione allora tutti i fattori della produzione sono variabili. Tuttavia, se si fissa il valore di ad esempio 10 la funzione di produzione diventa una funzione di breve periodo. Calcolare il prodotto marginale ed il saggio marginale di sostituzione tecnica per i fattori produttivi e che compaiono nelle seguenti funzioni di produzione: 1. Q(,)a+b 2. Q(,)a 3. Q(,)a b c 4. Q(,)(+a)(+b) 5. Q(,)a b +c d 6. Q(,)(a b +c d ) e Q(,) (,) (,) SMST, (,) a+b a b a a a a a a b b1 c a b c ab b-1 c ac b c-1 ab b b c1 ac c (+a)(+b) (+b) (+a) + + b a 2

3 a b +c d ab b-1 cd d-1 b 1 ab d 1 cd (a b +c d ) e e(a b +c d ) e-1 ab b-1 e(a b +c d ) e-1 cd d-1 b 1 ab d 1 cd er ciascuna delle seguenti funzioni di produzione si determini se i rendimenti dei fattori produttivi sono crescenti, decrescenti o costanti: a) Q5+2+15S b) Q3+8 2 dove,, S sono i fattori produttivi. Data una generica funzione di produzione dipendente dai fattori produttivi A, B, C, etc., si hanno rendimenti dei fattori produttivi crescenti se aumentando di un fattore moltiplicativo t>1 tutti gli input la produzione aumenta in modo più che proporzionale. Analogamente, si hanno rendimenti dei fattori produttivi decrescenti se aumentando di un fattore moltiplicativo t>1 tutti gli input si ha un aumento della produzione meno che proporzionale; infine, si hanno rendimenti dei fattori produttivi costanti se all aumentare degli input secondo una costante t>1 anche la produzione aumenta nella stessa proporzione. Detta Q(A,B,C,...) la funzione di produzione dipendente dai fattori produttivi A, B, C,..., in termini analitici si ha: Q(tA,tB,tC,...)>tQ(A,B,C,...) Q(tA,tB,tC,...)tQ(A,B,C,...) Q(tA,tB,tC,...)<tQ(A,B,C,...) rendimenti dei fattori crescenti rendimenti dei fattori costanti rendimenti dei fattori decrescenti 3

4 Applichiamo queste definizioni alle funzioni di produzione assegnate. a) Si ha: Q(,,S)5+2+15S Se si aumentano i tre input produttivi di un fattore moltiplicativo t>1 si ottiene: Q(t,t,tS)5(t)+2(t)+15(tS) 5t+2t+15tS t(5+2+15s) tq(,,s) a funzione di produzione presenta rendimenti dei fattori produttivi costanti. b) Si ha: Q(,)3+8 2 Se si moltiplicano i due input produttivi per una costante t>1 si ottiene: Q(t,t)3(t)(t)+8(t) 2 3t 2 +8t 2 2 t 2 (3+8 2 ) t 2 Q(,)>tQ(,) ertanto la funzione di produzione considerata presenta rendimenti dei fattori produttivi crescenti. Data la funzione di produzione Q10 0,3 0,8 a) Calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica del lavoro per il capitale; b) Verificare se esistono rendimenti dei fattori produttivi costanti, crescenti o decrescenti. a) Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale rappresenta la diminuzione alla quale l impiego di capitale può essere sottoposto quando si impiega 4

5 una unità aggiuntiva di lavoro, in modo da mantenere costante il livello di produzione. ertanto si ha: SMST, < 0 Inoltre si ha: ' ' pertanto si ha: SMST, ' ' Nel caso in esame si ottiene: dq d 0,7 0,8 ' 10 * 0,3 dq d 0,3 0,2 ' 10 * 0, ,8 0,7 0,3 0,2 erciò: 0,8 0,2 ' SMST 3, 0,7 0, 3 ' b) a funzione di produzione presa in considerazione è una funzione Cobb-Douglas Q(,)A a k b con A>0 e a,b [0,1]. er queste funzioni si ha: Q(t,t)A(t) a (t) b At a a t b b At a+b a b t a+b A a b t a+b Q(,) ertanto si ha: 1. Rendimenti dei fattori produttivi crescenti a+b>1 2. Rendimenti dei fattori produttivi costanti a+b1 3. Rendimenti dei fattori produttivi decrescenti a+b<1 5

6 Nel caso in esame la funzione di produzione ha a0,3 e b0,8 e, quindi, presenta rendimenti dei fattori produttivi crescenti. 6