Esercizi proposti 1 (capitoli 4 e 5 del testo)

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1 Esercizi proposti 1 (capitoli 4 e 5 del testo) 1. [4.8] Rappresentare graficamente la funzione f(x) = ax 3 + b al variare di a, b R.. [4.9] Si stima che la popolazione mondiale, attualmente di circa 6 miliardi di individui, aumenti dell 1.7% all anno. Supponendo che il tasso di crescita rimanga invariato nel tempo, calcolare entro quanti anni la popolazione raddoppierà o quadruplicherà. ln ln 4 [Risposta: raddoppia in 41 anni, quadruplica in ln(1.017) ln(1.017) risultato non dipende dalla numerosità della popolazione iniziale.] 8 anni; il 3. [4.4, 4.5 ] La società A noleggia auto per 40 e al giorno e 0,15 e a Km, mentre la società B noleggia con tariffa di 50 e al giorno e 0,10 e a Km. a) Per ciascuna società descrivere una funzione di costo del noleggio dell auto per giorno in dipendenza dei Km percorsi; b) Rappresentare graficamente le funzioni; c) Quale società è la più conveniente? [Risposta: a) y A = x; y B = x; c) per x [0, 00] conviene A, per x [00, + ) conviene B] 4. [4.4, 4.5 ] Le vendite dei CD di una casa discografica sono diminuite dal Erano 938, milioni nel 1999 e 745,9 milioni nel 003. a) Trova una funzione lineare che descriva le vendite di CD in funzione del tempo dal 1999; b) Interpreta la pendenza del grafico della funzione; c) Dai una previsione delle vendite nel 010. [a) y = (x 1999) b) decremento medio annuo di vendita; c) y(010) = ] 1

2 5. [4.9, 4.10] La popolazione del Kenya era 19,5 milioni nel 1984 e 3 milioni nel 004. Supponiamo che cresca esponenzialmente. Trovare una relazione che esprima la popolazione del Kenya in funzione del tempo. [Risposta: P (t) = 19.5a t, dove è a = , 51%] 6. [4.4, 4.5 ] In un azienda si sostengono costi di produzione in dipendenza dalla quantità q di bene prodotto pari a C(q) = q e si vende il prodotto al prezzo p = 15. Scrivere la funzione di ricavo R(q) e rappresentare graficamente C(q) ed R(q). Scrivere la funzione di profitto Π(q) e disegnarne il grafico. Calcolare il punto q di intersezione tra tale grafico e l asse delle ascisse: cosa rappresenta? [Risposta: q = 3000, è la soglia di bene prodotto oltre la quale si realizza un profitto positivo.] 7. [4.4, 4.5, 4.6 ] Supponete che la quantità venduta di un bene sia legata al prezzo di vendita secondo la relazione q(p) = p + 150, e che i costi dell azienda produttrice siano C(q) = 7q Determinate il ricavo ed il profitto dell azienda al variare del prezzo e rappresentateli nel piano cartesiano. [Risposta: R(q) = p q(p) = p + 150p; Π(p) = p + 04p 430.] 8. [4.4, 4.5 ] Un bene viene offerto sul mercato nella quantità S = 3p 50 e richiesto in quantità D = 100 p. a) Stabilire prezzo e quantità di equilibrio. b) Se ora si suppone che il consumatore paghi una tassa di 5e per ogni unità di prodotto, qual è il nuovo equilibrio di mercato? c) Calcolare il ricavo totale all equilibrio, prima e dopo l imposizione della tassa. d) Qual è l incasso relativo alle tasse? [Risposta: a) p = 30, q = 40; b) p 1 = 8, q 1 = 34; c) R = p q = 100; R 1 = p 1q 1 = 95; d) T = 170] 9. [5.6] Determinare il dominio delle seguenti funzioni: a) f(x) = x 10 x + 9; b) f(x) = log 3 (x3 6x) log 13 x 1 ; c) f(x) = log 5 (x 1) x [Risposta: a) D = (, 0] [log 9, + ); b) D = ( 6, ) (, 1 ) ( 6, + ) c) D = [, 1 ) ( 1, ] (, + )]

3 10. [4.3, 4.9] Tracciare il grafico della funzione ( 1 f(x) = ) x 11. [4.3, 5.3] Considerare la funzione f definita dala formula f(x) = 3x+6 x a) Trovare il dominio di f; b) Mostrare che il numero 5 appartiene all insieme immagine di f invertendo la relazione f(x) = 5 c) Mostrare che il numero 3 non appartiene all insieme immagine di f. [Risposta: D f = R {}] 1. [4.3, 4.4] La spesa C di una famiglia in beni di consumo, è collegata al reddito Y della famiglia stessa nel seguente modo: quando il reddito è di 1000, la spesa per beni di consumo è 900 e quando il reddito viene incremetato di 100, la spesa per beni di consumo aumenta di 80. Esprimere la spesa in funzione del reddito, supponendo la relazione lineare. [Risposta: C = 0.8Y ] 13. [4.3, 4.4] Nel 1989 circa diplomati delle scuole superiori statunitensi erano intenzionati a laurearsi in informatica. Questa cifra è scesa a circa 3000 nel 1994 ed è risalita a nel a) Modellate questo numero I(t) come funzione definita a tratti del tempo t negli anni trascorsi dal b) Utilizzate il modello per stimare il numero di diplomati intenzionati a laurearsi in informatica nel 199. { 1400t , 0 t 5 [Risposta: a) I(t) = ; b) 5800.] 7400t 14000, 5 < t 10 3

4 14. [4.4, 4.5, 4.6 ; Esercizio 8 p.119 con testo riformulato] Se un impresa di spedizioni di cocco vende Q tonnellate di cocco in Inghilterra, il prezzo che può applicare è dato da P 1 = α 1 1 Q. D altra parte, se acquista Q tonnellate di cocco in Ghana, il prezzo 3 che deve pagare è dato da P 1 = α + 1 Q. Inoltre, costa γ alla tonnellata spedire 6 cocco dall unico fornitore ghanese ai clienti in Inghilterra (il suo unico mercato di sbocco). I numeri α 1, α, γ sono tutti positivi. a) Esprimere il profitto Π dello spedizioniere di cocco come funzione di Q, il numero di tonnellate spedite. b) Assumendo che α 1 α γ > 0, trovare le quantità spedite di cocco Q che massimizzano il profitto. Cosa succede se α 1 α γ 0? c) Si supponga che il Governo ghanese imponga una tassa sull esportazione del cocco di t alla tonellata. Determinare la nuova espressione del profitto Π t dello spedizionere e la nuova quantità Q t spedita che lo massimizza. d) Fissato Q = Q t, calcolare il ricavo T del governo ghanese derivante dalla tassa sull esportazione come funzione di t e indicare come può essere ottenuto il ricavo massimo dall imposizione della tassa. [Risposta: a) Π(Q) = 1 Q + (α 1 α γ) Q; b) Q = α 1 α γ; c) Π t (Q) = 1 Q + (α 1 α γ t) Q; Q t = α 1 α γ t; d) T = t + (α 1 α γ) t, t = α 1 α γ ] 15. [5.1] Date f(x) = 3x x e g(x) = x 3, determina f g e g f. [Risposta: f g(x) = 3 (x 3) (x 3); g f(x) = (3x x) 3] 16. [5.3] Calcolare le inverse (e relativi domini) delle seguenti funzioni: a) f(x) = (x 3 1) 1 3 b) f(x) = ln( + e x 3 ) [Risposta: a) f 1 (x) = 3 x 3 + 1, D f 1 = Imf = R ; b) f 1 (x) = ln(e x ) + 3, D f 1 = Imf = (ln, + )] 17. [4.9, 4.10] L evoluzione di una popolazione in quattro diverse città viene rappresentata dalle seguenti funzioni: P 1 (t) = 60 e 0.07t, P (t) = 10 e 0.0t, P 3 (t) = 100 e 0.03t, P 4 (t) = 90 e 0.15t a) Qual è la città più popolata inizialmente? b) In quali città la popolazione decresce? 4

5 c) La popolazione cresce più velocemente per ogni valore di t, in una di tali città. Quale? [Risposta: a) la seconda; b) nella seconda; c) nella quarta] 18. [4.4, 4.5, 5.3] Sia f la funzione definita da { 5 x se 0 x 3, f(x) = 9 x se 3 < x.5 Dire se la funzione è invertibile sulla sua immagine e, in caso di risposta affermativa, determinare l inversa. { [Risposta: f 1 : [ 16, 0[ [, 5] [0, 5], f 1 5 x se x 5, (x) = ] 9 x se 16 x < 0 5