ESERCITAZIONE 7 : FUNZIONI

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1 ESERCITAZIONE 7 : FUNZIONI tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: Martedi Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Novembre 2012

2 Corso di recupero Docente: Dott. Mattia Talpo Martedì ore aula E piano terra Polo Fibonacci Giovedì ore aula B piano terra Polo Fibonacci Possibile test prima di Natale per il recupero del debito in Matematica

3 Definizioni ed esempi Siano A e B due insiemi. Si dice corrispondenza da A a B un qualsiasi sottoinsieme R del prodotto cartesiano A B (R A B). Se A = B, una corrispondenza in A A si dice anche relazione in A. Esempi Sia A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}; una corrispondenza da A a B è ad esempio R = {(2, 6), (1, 4), (3, 5)}. S = {(n, m) N Z : n = m 2 } è una corrispondenza da N a Z. T = {(n, m) Z Z : n + m è pari} è una relazione in Z.

4 Definizioni ed esempi Una relazione R in un insieme non vuoto A può essere a) riflessiva: (x, x) R, x A (si può scrivere anche xrx, x A); b) simmetrica: (x, y) R (y, x) R, x, y A (si può scrivere anche xry yrx, x, y A); c) antisimmetrica: (x, y) R (y, x) R x = y (si può scrivere anche xry yrx x = y); d) transitiva: (x, y) R (y, z) R (x, z) R, x, y, z A (si può scrivere anche xry yrz xrz, x, y, z A). Esempio Sia C l insieme delle circonferenze di un piano. In questo insieme si consideri la relazione R: la circonferenza α ha punti in comune con la circonferenza β. Di quali proprietà gode questa relazione? Riflessiva e simmetrica

5 Definizioni ed esempi Esempio Sia P l insieme dei poligoni di un piano. In questo insieme si consideri la relazione R: avere la stessa area. Di quali proprietà gode questa relazione? Riflessiva, simmetrica, transitiva Relazione d equivalenza Esempio Considera la relazione essere minore o uguale di nell insieme dei numeri reali. Di quale proprietà gode? Riflessiva, antisimmetrica, transitiva Relazione d ordine Una relazione d ordine in A è chiamata totale se due qualsiasi elementi sono confrontabili; in caso contrario l ordine è detto parziale. La relazione essere minore o uguale di in R è totale.

6 Definizioni ed esempi Dati due insiemi non vuoti A e B una funzione (o applicazione) f dall insieme A nell insieme B è una qualsiasi legge o corrispondenza che associa a ciascun elemento a dell insieme A uno ed un solo elemento b dell insieme B. A si dice il dominio e B il codominio di f. Per indicare un applicazione di A in B si usa la notazione f : A B La funzione f è quindi una corrispondenza univoca: ad un elemento di un insieme (il dominio) associa un solo elemento dell altro insieme (il codominio).

7 Definizioni ed esempi Se S è un sottoinsieme di A (S A) si dice immagine di S mediante f e si indica con f(s) il sottoinsieme di B costituito dalle immagini mediante f degli elementi di S: f(s) = {b B : a S tale che f(a) = b} L insieme di tutti i valori che assume la funzione f si dice immagine (di A secondo f) e si indica con f(a). Se T è un sottoinsieme di B si dice controimmagine o immagine inversa di T mediante f e si indica con f 1 (T ) il sottoinsieme degli elementi A le cui immagini mediante f appartengono a T : f 1 (T ) = {a A : f(a) T } Il grafico di un applicazione f : A B è un sottoinsieme G del prodotto cartesiano A B definito nel seguente modo: G = {(a, b) A B : b = f(a)}

8 Successioni e progressioni Successioni Una funzione a : N B con dominio l insieme dei numeri naturali è spesso chiamata successione. Esempio: la funzione f : N N data da f(n) = 2 n + 1. Progressioni Sia data la successione di numeri reali a 1, a 2,..., a n,...: è una progressione aritmetica se la differenza fra qualsiasi termine della successione ed il suo precedente è costante: a n a n 1 = d n N n > 1 Il numero d è chiamato ragione della progressione. Se d = 0 si ha una successione costante. Sia data la successione di numeri reali a 1, a 2,..., a n,...: è una progressione geometrica se il rapporto fra qualsiasi termine della successione ed il suo precedente è costante: a n a n 1 = q n N n > 1 Il numero q è chiamato ragione della progressione. Se q = 1 si ha una successione costante.

9 Progressioni aritmetiche Vista la definizione di progressione aritmetica si ha a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = a d a 4 = a 3 + d = a d... e quindi vale a n = a 1 + (n 1) d che rappresenta la relazione che lega il termine n-esimo con il primo termine a 1 e la ragione d. Se volessimo determinare il termine n-esimo a partire dal termine r-esimo (con r < n) dovremmo variare la precedente espressione in questo modo: a n = a r + (n r) d La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è data da S n = a1 + an 2 Se pensi all insieme dei numeri naturali come una progressione aritmetica con ragione d = 1 è facile vedere che la somma dei primi n numeri naturali è n (n + 1)/2. n

10 Progressioni geometriche Vista la definizione di progressione geometrica si ha e quindi vale a 2 = q a 1 a 3 = q a 2 = q 2 a 1 a 4 = q a 3 = q 3 a 1... a n = q n 1 a 1 che rappresenta la relazione che lega il termine n-esimo con il primo termine e la ragione q. Se volessimo determinare il termine n-esimo a partire dal termine r-esimo (con r < n) dovremmo variare la precedente espressione in questo modo: a n = q n r a r La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è data da 1 q n S n = a 1 1 q = q n 1 a1 q 1

11 Esercizio 1 Le misure degli angoli interni di un quadrilatero sono in progressione aritmetica. Se l angolo minore misura 75, quanto misura il maggiore? La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360, quindi, chiamando gli angoli α i con i = 1, 2, 3, 4 e posto α 1 α 2 α 3 α 4, si ha α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = 360 (1) Poiché, per ipotesi, i quattro angoli sono in progressione aritmetica, devono valere le seguenti relazioni α 2 = α 1 + d α 3 = α d α 4 = α d che sostituite in (1) danno α 1 + α 1 + d + α d + α d = d = α 1 L angolo α 1 misura 75 quindi possiamo ricavare la ragione d e i valori degli angoli: d = α 1 6 = = 10 6 α 2 = = 85 α 3 = = 95 α 4 = = 105

12 Esercizio 1 Le misure degli angoli interni di un quadrilatero sono in progressione aritmetica. Se l angolo minore misura 75, quanto misura il maggiore? La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360, quindi, chiamando gli angoli α i con i = 1, 2, 3, 4 e posto α 1 α 2 α 3 α 4, si ha α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = 360 (1) Poiché, per ipotesi, i quattro angoli sono in progressione aritmetica, devono valere le seguenti relazioni α 2 = α 1 + d α 3 = α d α 4 = α d che sostituite in (1) danno α 1 + α 1 + d + α d + α d = d = α 1 L angolo α 1 misura 75 quindi possiamo ricavare la ragione d e i valori degli angoli: d = α 1 6 = = 10 6 α 2 = = 85 α 3 = = 95 α 4 = = 105

13 Esercizio 2 Quattro numeri interi positivi hanno somma 80 e sono in progressione geometrica. La somma dei due numeri più grandi vale 72. Calcola i quattro numeri. Indichiamo con a 1, a 2, a 3 e a 4 i quattro numeri e supponiamo che a 1 a 2 a 3 a 4. Sappiamo che a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 80 e a 3 + a 4 = 72 da cui possiamo facilmente dedurre che a 1 + a 2 = 8. I numeri a i sono in progressione geometrica quindi a 2 = q a 1 a 3 = q 2 a 1 a 4 = q 3 a 1 Combinando a 1 + a 2 = 8 con a 2 = q a 1 si ottiene a 1 + a 2 = a 1 + q a 1 = a 1 (1 + q) = 8 (2) Combinando a 3 + a 4 = 72 con a 3 = q 2 a 1 e a 4 = q 3 a 1 si ottiene Ma da (2) sappiamo che a 1 (1 + q) = 8 quindi a 3 + a 4 = q 2 a 1 + q 3 a 1 = a 1 (1 + q) q 2 = 72 (3) a 1 (1 + q) q 2 = 72 8 q 2 = 72 q 2 = 9 q = ±3 La soluzione q = 3 non è accettabile in quanto i numeri in progressione geometrica sono per ipotesi positivi. La ragione è quindi uguale a 3 e possiamo ricavare il numero più piccolo da (2): a 1 = q = 8 4 = 2 Gli altri numeri sono allora a 2 = 6, a 3 = 18 e a 4 = 54.

14 Esercizio 2 Quattro numeri interi positivi hanno somma 80 e sono in progressione geometrica. La somma dei due numeri più grandi vale 72. Calcola i quattro numeri. Indichiamo con a 1, a 2, a 3 e a 4 i quattro numeri e supponiamo che a 1 a 2 a 3 a 4. Sappiamo che a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 80 e a 3 + a 4 = 72 da cui possiamo facilmente dedurre che a 1 + a 2 = 8. I numeri a i sono in progressione geometrica quindi a 2 = q a 1 a 3 = q 2 a 1 a 4 = q 3 a 1 Combinando a 1 + a 2 = 8 con a 2 = q a 1 si ottiene a 1 + a 2 = a 1 + q a 1 = a 1 (1 + q) = 8 (2) Combinando a 3 + a 4 = 72 con a 3 = q 2 a 1 e a 4 = q 3 a 1 si ottiene Ma da (2) sappiamo che a 1 (1 + q) = 8 quindi a 3 + a 4 = q 2 a 1 + q 3 a 1 = a 1 (1 + q) q 2 = 72 (3) a 1 (1 + q) q 2 = 72 8 q 2 = 72 q 2 = 9 q = ±3 La soluzione q = 3 non è accettabile in quanto i numeri in progressione geometrica sono per ipotesi positivi. La ragione è quindi uguale a 3 e possiamo ricavare il numero più piccolo da (2): a 1 = q = 8 4 = 2 Gli altri numeri sono allora a 2 = 6, a 3 = 18 e a 4 = 54.

15 reali di variabile reale f : R R La variabile indipendente x appartiene ad R ed anche la variabile dipendente y appartiene ad R: y = f(x) Prima cosa da fare: studiare il dominio di esistenza, chiamato anche campo di esistenza o insieme di definizione della funzione, ovvero il più ampio sottoinsieme di R a partire dal quale sono effettuabili le operazioni con cui è costruita la formula che definisce f. Esempio Il dominio della funzione y = 5 x è l insieme degli x reali per cui il radicando è non negativo, 5 x 0, quindi l intervallo illimitato (, 5].

16 Esercizio 3 Trova l insieme di definizione delle seguenti funzioni reali di variabile reale: a) y = 3 x 2 + x 5 b) y = x 1 c) y = 2/x 2 d) y = 3 x x e) y = 2 cos x/ sin x f) y = cos 3 x g) y = 4 log 23 x h) y = e 7 x i) y = (x 2 1)/(x 3 + 1) a) R b) R c) R {0} d) R e) {x R : sin x 0} f) R g) {x R : x > 0} h) R i) {x R : x 1}

17 Esercizio 3 Trova l insieme di definizione delle seguenti funzioni reali di variabile reale: a) y = 3 x 2 + x 5 b) y = x 1 c) y = 2/x 2 d) y = 3 x x e) y = 2 cos x/ sin x f) y = cos 3 x g) y = 4 log 23 x h) y = e 7 x i) y = (x 2 1)/(x 3 + 1) a) R b) R c) R {0} d) R e) {x R : sin x 0} f) R g) {x R : x > 0} h) R i) {x R : x 1}

18 iniettive, surgettive e biunivoche Una funzione f con dominio A e codominio B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, cioè vale x 1, x 2 A x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) Una funzione f con dominio A e codominio B, e tale che f(a) = B, ovvero se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A, si dice surgettiva (o suriettiva). Una funzione f : A B iniettiva e surgettiva è detta biunivoca (o bigettiva, biiettiva). Tramite una tale funzione, ciascun elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio: se y B, esiste un unico x A tale che y = f(x).

19 Esercizio 4 Determina per quale sottoinsieme I R la funzione f : R I data da f(x) = 4 x 2 ha codominio I ed è surgettiva. La funzione f(x) = 4 x 2 è definita per ogni valore reale però non è surgettiva: l equazione f(x) = k non ammette soluzione per ogni k R, infatti, se k > 4, tracciando la retta orizzontale y = k non si ha intersezione con il grafico di f. Non prendendo però come codominio tutto R, ma il sottoinsieme I = (, 4] la funzione è surgettiva.

20 Esercizio 4 Determina per quale sottoinsieme I R la funzione f : R I data da f(x) = 4 x 2 ha codominio I ed è surgettiva. La funzione f(x) = 4 x 2 è definita per ogni valore reale però non è surgettiva: l equazione f(x) = k non ammette soluzione per ogni k R, infatti, se k > 4, tracciando la retta orizzontale y = k non si ha intersezione con il grafico di f. Non prendendo però come codominio tutto R, ma il sottoinsieme I = (, 4] la funzione è surgettiva.

21 Esercizio 5 Determina se le seguenti funzioni sono iniettive, surgettive, biunivoche: a) y = x 2 1 b) y = x c) y = 1/x d) y = 3 x x 2 e) y = sin x/ cos x f) y = 5 sin 2 x g) y = 2 log 10 x h) y = e x i) y = (x 2 1)/(x 2 + 1)

22 Esercizio 6 Date le due funzioni reali di una variabile reale f e g f(x) = x + 2 g(x) = 5 x calcola f g e g f. Iniziamo col calcolare f g. Partendo da un valore x R dobbiamo applicare la funzione g, trovando un valore g(x) R e successivamente applicare a questo valore la funzione f: x g 5 x f 5 x + 2 Otteniamo quindi (f g)(x) = 5 x + 2. Calcolando g f si ha x f x + 2 g 5 (x + 2) = 5 x + 10 e quindi (g f)(x) = 5 x Come vedi le due funzioni ottenute sono distinte, infatti, come detto, la composizione di funzioni è un operazione in generale non commutativa. Sapresti trovare due funzioni la cui composizione è commutativa?

23 Esercizio 6 Date le due funzioni reali di una variabile reale f e g f(x) = x + 2 g(x) = 5 x calcola f g e g f. Iniziamo col calcolare f g. Partendo da un valore x R dobbiamo applicare la funzione g, trovando un valore g(x) R e successivamente applicare a questo valore la funzione f: x g 5 x f 5 x + 2 Otteniamo quindi (f g)(x) = 5 x + 2. Calcolando g f si ha x f x + 2 g 5 (x + 2) = 5 x + 10 e quindi (g f)(x) = 5 x Come vedi le due funzioni ottenute sono distinte, infatti, come detto, la composizione di funzioni è un operazione in generale non commutativa. Sapresti trovare due funzioni la cui composizione è commutativa?

24 Esercizio 7 Date le seguenti coppie di funzioni f e g, determina le funzioni ottenute dalla composizione f g, g f e f f: a) f(x) = 2 x 3 e g(x) = x 1 b) f(x) = x e g(x) = 3 3 x c) f(x) = 3/x e g(x) = 3 x 2 d) f(x) = sin x 2 e g(x) = x 2 + 4

25 Funzione inversa Sia f una funzione biunivoca di A in B: se attraverso la funzione f si passa dall elemento x A all elemento y = f(x) B, esisterà una funzione g di B in A, che dall elemento y B fa tornare all elemento x A, ovvero che equivale a g(y) = x g(f(x)) = x La funzione g si chiama inversa della f e si indica anche con f 1 ; se esiste l inversa si dice che la funzione f è invertibile. Una funzione è invertibile se e solo se essa è biunivoca.

26 Esercizi 8-9 Sia data la funzione f : R {4} R {2} definita da f(x) = 2 x + 7 x 4 Prova che f è biunivoca e calcola la funzione inversa f 1. Sia data la funzione f : N N definita da { x + 1, x pari f(x) = x 1, x dispari Prova che f è biunivoca e calcola la funzione inversa f 1.

27 Definizioni ed esempi Sia f(x) una funzione reale di variabile reale definita nell intervallo [a, b]. Si dice che la f(x) è crescente in [a, b] se per ogni coppia di numeri x 1 e x 2 in [a, b] si ha: x 1 < x 2 f(x 1) < f(x 2) Si dice che la f(x) è decrescente in [a, b] se, per ogni coppia di numeri x 1 e x 2 in [a, b] si ha: x 1 < x 2 f(x 1) > f(x 2) Si dice che la f(x) è non decrescente in [a, b] se, per ogni coppia di numeri x 1 e x 2 in [a, b] si ha: x 1 < x 2 f(x 1) f(x 2) Si dice che la f(x) è non crescente in [a, b] se, per ogni coppia di numeri x 1 e x 2 in [a, b] si ha: x 1 < x 2 f(x 1) f(x 2) Una funzione si dice monotona in [a, b] se essa è crescente nell intervallo [a, b], oppure decrescente, oppure non decrescente, oppure non crescente.

28 Definizioni ed esempi Una funzione y = f(x) si dice periodica di periodo T > 0 se f(x + T ) = f(x) Il più piccolo numero T per il quale vale l uguaglianza precedente si dice periodo (a volte si trova anche la dicitura periodo minimo) della funzione. Una funzione f(x) si dice pari se risulta mentre si dice dispari se risulta f( x) = f(x) f( x) = f(x) Un esempio di funzione pari è la funzione goniometrica y = cos x, mentre una funzione dispari è y = sin x. Tali funzioni sono anche funzioni periodiche con periodo 2 π.

29 Trasformazioni sui grafici delle funzioni Funzione di partenza f(x) (k R 0). a) g(x) = f(x + k), traslazione parallela all asse delle ascisse; b) h(x) = f(x) + k, traslazione parallela all asse delle ordinate; c) s(x) = f(k x), dilatazione/contrazione parallela all asse delle ascisse; d) t(x) = k f(x), dilatazione/contrazione parallela all asse delle ordinate; e) u(x) = f( x ), valore assoluto applicato alla variabile indipendente x; f) v(x) = f(x), valore assoluto applicato al valore della funzione f(x).