Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 2

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1 Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 2 1 Funzioni Definizione di funzione. Dati due insiemi non vuoti A e B si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento x di A uno e un solo elemento y di B. In altri termini, si tratta di un legame di corrispondenza reciproca tra variabili secondo regole determinate: si legge f di x dove: y = variabile dipendente y = f(x) x = variabile indipendente, è un generico elemento dell insieme A. f = legame funzionale f(x) = valore della f in x L insieme f(a) si chiama codominio della f mentre A si dice insieme di definizione o dominio della f stessa. Per indicare che f è una funzione di A in B si usa la scrittura: Se: f : A B y = h(x) allora: a stessi valori di x corrispondono diversi valori di y perchè il legame funzionale è diverso. Funzione biunivoca. Una funzione si dice biunivoca quando ogni elemento di B è funzione di un solo elemento di A, e si scrive: f : A B 1

2 Funzione composta. Siano A, B e C tre insiemi non vuoti; f : A B; g : B C. All elemento x ǫ(appartenente a) A, mediante la f, corrisponde l elemento f(x)ǫb eall elementof(x), mediantelag, corrispondel elementog(f(x)) ǫ C. Si viene in tal modo a definire una funzione di A C che associa all elemento variabile x di A l elemento g(f(x)) di C. Questa funzione si chiama funzione composta mediante f e g considerate nell ordine scritto. Funzione inversa. Sia f una funzione biunivoca di A B. Quindi, ogni elemento di B è associato ad un solo elemento di A e viceversa. Perciò, come esiste f che permette di passare dall elemento x di A all elemento y = f(x) di B, esiste anche una funzione: g : B A che dall elemento y di B fa ritornare all elemento x di A, cioè: g(y) = g(f(x)) = x La funzione g si chiama inversa della f e si indica con il simbolo f 1 In tal caso si dice anche che la f è invertibile. E evidente che una funzione è invertibile se e solo se essa è biunivoca. Esempio: f : y = 2x Questa funzione è biunivoca. La funzione inversa è: x = y 2 Funzioni crescenti e decrescenti. Sidicechef ècrescente inaquando per ogni coppia di elementi x 1 e x 2 di A: da x 1 < x 2 segue: f(x 1 ) < f(x 2 ) cioè al crescere di x cresce anche il valore di f(x). Si dice che f è decrescente in A se: da x 1 < x 2 segue: f(x 1 ) > f(x 2 ) cioè al cresce di x decresce il valore di f(x). La f si dice non decrescente se: non crescente se: da x 1 < x 2 segue: f(x 1 ) f(x 2 ) da x 1 < x 2 segue: f(x 1 ) f(x 2 ) 2

3 Una funzione si dice monotona in A quando essa è ivi o crescente o decrescente o non crescente. Una funzione si dice costante quando per ogni valore di x in A essa assume sempre lo stesso valore. y può essere funzione di più (ad esempio n) variabili indipendenti: y = f(x 1,x 2,...,x n ) Ciascuna variabile indipendente è detta argomento della funzione Esempi di funzioni Il prezzo del biglietto ferroviario (p) è funzione della distanza in chilometri da percorrere (km): p = f(km) Es. p = 2+0,06 km cioè il prezzo è dato da un valore fisso, indipendente dalla distanza (2 euro) più il prodotto tra 6 centesimi di euro e il numero di chilometri. Il prezzo di una corsa in taxi invece dipende dalla distanza e dalla durata (m): p = f(km,m) Es. p = 3+2,5 km+0,3 m Funzione implicita: non c è distinzione formale tra variabile dipendente e variabili indipendenti: F(x,y) = 0 Un esempio di funzione implicita è la spesa complessiva per l acquisto di un bene x da parte di un consumatore: S p x q x = 0 Posso esplicitare questa funzione considerando S come variabile dipendente: S = f(p x,q x ) 3

4 2 Rappresentazione grafica di funzioni La rappresentazione grafica delle funzioni è molto utile in quanto rende più chiare e intuitive le considerazioni ad essere relative. Fissato sul piano un sistema di assi cartesiani ortogonali, sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo (a,b). Attribuendo alla x una valore x 1 compreso in (a,b) si ottiene il corrispondente valore di y, cioè: y 1 = f(x 1 ). Allora, i due numeri (x 1,y 1 ) sono le coordinate di un punto P del piano. In particolare, x 1 è l ascissa del punto P mentre y 1 ne è l ordinata. L insieme di tutti i punti che così si ottengono facendo variare la x nell intervallo (a, b) è un luogo geometrico che chiamiamo grafico o diagramma della funzione f(x). Possiamo anche dire che il diagramma della funzione y = f(x) è quella curva del piano i cui punti, e soltanto questi, hanno per coordinate coppie di numeri che, sostituiti rispettivamente al posto delle variabili x e y rendono il primo membro uguale al secondo. 4

5 3 La retta Il diagramma della funzione y = mx (1) è la retta passante per l origine 0 degli assi cartesiani e per il punto di coordinate P(1,m). Infatti, ponendo x = 0 si ha y = 0, mentre ponendo x = 1 si ha y = m. A seconda del valore di m si ottiene come grafico una oppure un altra delle infinite rette passanti per l origine. L inclinazione della retta rispetto all asse delle ascisse, cioè all asse x, dipende da m che per tale motivo si chiama pendenza, o coefficiente angolare della retta. Il diagramma della funzione y = mx+q (2) è una retta che interseca l asse y nel punto di ordinata q. Questo si può vedere considerando che nella (1) q = 0. Quindi per ogni valore di x l ordinata della(2) si ottiene dall ordinata della(1) aggiungendovi il numero fisso q. In altre parole, se spostiamo i punti della retta (1) parallelamente all asse y in modo che le loro ordinate aumentino di q, otteniamo i punti che formano il diagramma della funzione (2). Ma ciò equivale a far subire alla retta (1) una traslazione, di lunghezza q, nel senso della direzione positiva o negativa dell asse y a seconda che sia positivo o negativo il numero q. Otteniamo così la retta (2) parallela alla retta (1) e che incontra l asse y nel punto di ordinata q. Il numero q si chiama ordinata all origine della retta, e il numero m si continua a chiamare coefficiente angolare della retta. Per avere la retta che rappresenta il diagramma della funzione (2) basta determinare due punti qualsiasi del diagramma e poi, con l aiuto della riga, tracciare la retta passante per questi due punti. La (2) si chiama equazione cartesiana esplicita della retta corrispondente (diciamo r). Ciò siginifica che tutti e soltanto i punti della retta r hanno per coordinate coppie di numeri che, sostituiti rispettivamente al posto della x e della y nella (2) rendono il primo membro della (2) uguale al secondo, cioè soddisfano l equazione (2). In altre parole, se P è un punto che appartiene alla retta r allora le sue coordinate soddisfano la (2); se invece un punto Q non appartiene ad r allora le sue coordinate non soddisfano l equazione (2). 5

6 Osserviamo che ogni equazione del tipo: con b 0 si può scrivere nella forma : ax+by +c = 0 (3) y = a b x c b che, posto m = a b e q = c b è esattamente del tipo (2). Pertanto possiamo dire che ogni equazione di 1 grado in due variabili x e y ha come grafico una retta. Pertanto, se b 0 il coefficiente angolare della retta di equazione (3) è dato da: m = a b Vale anche l inverso di questo risultato, e cioè che ogni retta del piano si può considerare come il grafico di una equazione del tipo (3). Chiameremo allora la (3) equazione cartesiana generale della retta r. 6

7 Consideriamo ora tre casi, quando l equazione (3) è incompleta. 1. Sia c = 0 (e a 0, b 0). L equazione (3) assume la forma: ax+by = 0 che, posto m = a b si può scrivere sotto la forma y = mx. Pertanto, se nell equazione di una retta manca il termine noto, la retta passa per l origine. 2. Sia b = 0 (e a 0). L equazione (3) assume la forma: ax+c = 0 che, posto k = c a si può scrivere sotto la forma x = k. Una tale equazione determina una retta parallela all asse y perchè tutti i punti di tale retta hanno uguale ascissa (x = k) e, di conseguenza, sono equidistanti dall asse y (a destra se k > 0, a sinistra se k < 0); inoltre k è l ascissa del punto di intersezione di tale retta con l asse x. In particolare, se k = 0 la retta coincide con l asse y. Pertanto, l equazione x = 0 rappresenta l asse y. 3. Sia a = 0 (e b 0). L equazione (3) assume la forma: by +c = 0 che, posto h = c b si può scrivere sotto la forma y = h, che rappresenta una retta parallela all asse x (vedi il ragionamento sopra). Il numero h rappresenta il livello di posizione comune a tutti i punti della retta, e nello stesso tempo l ordinata del punto di intersezione di tale retta con l asse y. In particolare, se h = 0 la retta coincide con l asse x. Pertanto l equazione y = 0 rappresenta l asse x. Dai casi 2 e 3 si può concludere che se nell equazione (3) manca una variabile, essa rappresenta una retta parallela all asse corrispondente alla variabile mancante. 7

8 3.1 Significato geometrico del coefficiente angolare m Sulla retta r di equazione: y = mx+q consideriamo due qualsiasi punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ). Si ha allora: y 1 = mx 1 +q 1 e y 2 = mx 2 +q 2 da cui, sottraendo membro a membro, si ha: y 2 y 1 = m(x 2 x 1 ) ossia: m = y 2 y 1 x 2 x 1 (4) Perciò possiamo dire che il coefficiente angolare è il rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti qualsiasi della retta e la differenza delle corrispondenti ascisse. Dalla (4) si ricava che più grande è m in valore assoluto, più grande è l angolo che la retta forma con l asse delle x. Se la retta passa per l origine degli assi, la sua equazione diviene y = mx. Consideriamo ora la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Siccome ogni punto di tale bisettrice è equidistante dagli assi, segue che l equazione di tale bisettrice è: y = x Ragionando analogamente si prova che l equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante è: y = x 8

9 3.2 Equazione delle rette passanti per un punto Per un punto P 1 (x 1,y 1 ) del piano passano infinite rette. L equazione di una qualunque di queste rette è del tipo: y y 1 = m(x x 1 ) (5) dove m è un numero noto. Infatti la (5) è un equazione di primo grado nelle incognite x e y ed è soddisfatta per x = x 1 e y = y 1. Al variare di m nella (5) si ottengono le equazioni delle infinite rette passanti per il punto P 1 (x 1,y 1 ). Esempio: scrivere l equazione della retta passante per il punto P 1 (2,1) e di coefficiente angolare 5. In base alla (5) si ha: y 1 = 5(x 2) 5x+y 11 = Equazione della retta passante per due punti E ora immediato risolvere il seguente problema: determinare l equazione della retta, non parallela ad alcun asse coordinato, passante per i due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) - cioè dobbiamo determinare tra le infinite rette passanti per P 1, quella passante per P 2, che indichiamo con retta P 1 P 2. Abbiamo visto che il coefficiente angolare di tale retta è dato dall equazione (4), che sostituito nella (5) dà: da cui si ottiene: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 (6) che è l equazione cercata. Esempio: scrivere l equazione della retta passante per i punti P 1 (1, 3) e P 2 (2,5). In base alla (6) si ha: 3.4 Rette parallele x = y +3, ossia: 8x y 11 = Date due rette r e s di equazione, rispettivamente: y = mx+q e y = m 1 x+q 1 queste sono parallele se e soltanto se gli angoli che formano con l asse x sono uguali e cioè se risulta: m = m 1 9

10 3.5 Punto di intersezione di due rette Sia date due rette r e s: ax+by +c = 0, a 1 x+b 1 y +c 1 = 0 (7) Ilpuntocomuneadesse,seesiste,ètalechelesuecoordinate(x,y)soddisfino contemporaneamente le equazioni (7); pertanto tale punto si trova risolvendo il sistema formato dalle equazioni (7). 10

11 4 Derivate 4.1 Concetti preliminari Pendenza La pendenza di una strada misura la variazione di altitudine sul livello del mare per unità di spostamento in una data direzione: una pendenza del 15% indica che per ogni km percorso in una certa direzione l altitudine cresce di 150 metri. Per una retta la pendenza è costante ed è data dal coefficiente angolare m che misura la variazione lungo l asse y rispetto ad una variazione unitaria lungo l asse x. In trigonometria la pendenza è misurata dalla tangente dell angolo α formato dalla retta con l asse delle ascisse, o, in modo equivalente, dal rapporto tra il seno e il coseno di tale angolo. Quindi: m = y 2 y 1 x 2 x 1 = senα cosα tgα Per una linea curva, il procedimento è più complesso perchè in questo caso la pendenza cambia in ogni punto della curva (esempio strada). Quindi la misurazione della pendenza deve essere fatta per ogni punto. La pendenza in un punto B è data dalla pendenza della retta tangente alla curva nel punto B stesso. Per una funzione y = f(x) la pendenza fornisce la variazione della variabile dipendente y corrispondente ad una variazione unitaria della variabile indipendente x. L operazione che si compie per calcolare la pendenza della curva in un punto si chiama differenziazione e il risultato è chiamato derivata della funzione. 11

12 4.1.2 Limiti delle funzioni Sia f(x) una funzione definita nell intervallo [a,b], escluso al più il punto c. Cioè la funzione è data in ogni punto dell intervallo ad eccezione di c, potendo f(x) essere o non essere definita per x = c. Non ci interessa cosa succede in c, vogliamo solo sapere come si comporta la funzione nelle vicinanze di c. Sia inoltre ε un numero piccolo a piacere e H un intorno del punto c, cioè un insieme di punti vicini a c. Allora diamo la seguente definizione: Si dice che il numero l è il limite della funzione f(x) per x tendente a c, e si scrive: lim x c f(x) = l quando in corrispondenza ad un numero positivo ε fissato a piacere è possibile trovare un intorno H di c tale che per ogni x H e diverso da c si ha: f(x) l < ε ossia: l ε < f(x) < l+ε cioè i valori corrispondenti della f(x) differiscono da l in valore assoluto meno di ε. 12

13 4.1.3 Funzione continua Una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] si dice continua in un punto c (interno a questo intervallo) se risulta: limf(x) = f(c) x c cioè quando si verificano le seguenti circostanze: 1. esiste il valore della funzione nel punto c; 2. esiste il limite della funzione per x c; 3. il limite coincide con il valore della funzione nel punto c. 13

14 4.2 Definizione di derivata Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo [a,b] e indichiamo con x 0 un punto interno a questo intervallo. Se da x 0 si passa ad un altro punto qualunque x 0 +h dell intervallo[a,b]sidicechesièdatoallavariabilel incremento (positivo o negativo) h. La differenza: f(x 0 +h) f(x 0 ) si chiama incremento della funzione e può avere valore poisitivo negativo o nullo, Il rapporto: f(x 0 +h) f(x 0 ) (8) h si chiama rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x 0 e all incremento h. Questorapporto, unavoltafissatox 0 variaalvariaredih, cioèèunafunzione della variabile h definita per ogni valore di h diverso da zero (purchè x 0 +h non esca dall intervallo [a, b]. Allora si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x 0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale (8) al tendere comunque a zero dell incremento h della variabile indipendente. La derivata può essere indicata in vari modi: f (x 0 ), y d (x 0 ), dx f(x 0), dy dx Pertanto la derivata f (x 0 ) della funzione f(x) è definita dalla relazione: f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h dove supponiamo che il limite del secondo membro esista e sia finito. Significato geometrico della derivata: la derivata di una funzione f(x) in un punto x 0 risulta uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla curva di equazione y = f(x) nel punto di ascissa x Derivate di alcune funzioni elementari dove k è una costante. d senx = cosx dx d cosx = senx dx d dx x = 1 d dx k = 0 14

15 5. d dx log ax = 1 x log ae dove e indica il numero di Neper. 6. In particolare, se la base del logaritmo è e, poichè log e e = 1 si ha: d dx lnx = 1 x 15