Derivate. Rette per uno e per due punti. Rette per uno e per due punti

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1 Introduzione Rette per uno e per due punti Rette per uno e per due punti Rette secanti e tangenti Derivata d una funzione in un punto successive Derivabilità a destra e a sinistra Rette per uno e per due punti Consideriamo la seguente equazione: essa rappresenta una retta, perché lineare, e s annulla per la soluzione (x 0, y 0 ), dunque passa per il punto P 0 = (x 0, y 0 ). Al variare di m, l equazione descrive tutte le rette per P 0, salvo quella d equazione x = x 0. ia P 1 = (x 1, y 1 ) allora, perché una retta passi per P 0 e P 1 dev essere: Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 1 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 2 Rette per uno e per due punti Rette secanti e tangenti Rette secanti e tangenti quindi l equazione della retta per P0 e P1 è ovvero ia data una curva c e suoi punti A, B,B',B" c. i chiama retta secante la curva c una qualunque retta r tale che r. Fissando A, si consideri l insieme r A delle rette passanti per A. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 3 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 4

2 Rette secanti e tangenti Rette secanti e tangenti i può costruire la funzione t : c r A che associa ad ogni punto B c la retta secante che passa per A e B, r(ab) r A. i consideri ora il sistema d intorni di A sulla curva c e la topologia nell insieme di rette. i chiama retta tangente alla curva in A, se esiste, la retta Data una funzione y = f(x), la retta secante il grafico y = f(x) nei punti (x 0,f(x 0 )), (x 1,f(x 1 )) ha equazione Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 5 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 6 Rette secanti e tangenti Derivata d una funzione in un punto La tangente nel punto (x 0, f(x 0 )) alla curva y = f(x), se esiste, è quindi il avente equazione Derivata d'una funzione in un punto Data una funzione y = f(x) definita in un intervallo (a,b), si consideri il punto interno x 0 ed un valore h = Δx, tale che x 0 + h (a,b). i chiama incremento della funzione la variazione Δy = Δf = f(x 0 + Δx) - f(x 0 ) e rapporto incrementale il valore. Il coefficiente angolare indica la pendenza della tangente nel punto. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 7 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 8

3 Derivata d una funzione in un punto Derivata d una funzione in un punto Altre espressioni: i chiama derivata di y = f(x) rispetto ad x nel punto x 0 il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale e la f(x) si dice derivabile nel punto x 0. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 9 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 10 Derivata d una funzione in un punto Derivata d una funzione in un punto Nel caso in cui la funzione rappresenta una posizione spaziale rispetto al tempo, la sua derivata indica la velocità di spostamento nell istante di tempo corrispondente. Esempi: L autovelox misura il rapporto fra la distanza fra due fotocellule ed il tempo che l automobile impiega per passare da una all altra. Nel diagramma orario dei treni, la pendenza rappresenta la velocità che il treno deve tenere in una certa tratta. Data una funzione y = f(x), si definisce funzione derivata di f, la funzione ossia, se f : x f(x) si pone la funzione derivata come Altre notazioni: f '(x) = D(f(x)) = f x (x) Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 11 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 12

4 successive successive successive Data una funzione y = f(x) derivabile, se la y' = f'(x) è a sua volta derivabile, la sua derivata si chiama derivata seconda della y e s indica y" = f"(x); se y" è a sua volta derivabile, la sua derivata si chiama derivata terza, e così via. Come notazione è equivalente scrivere Una funzione si dice di classe,, se è continua insieme alle sue derivate fino all ordine k. indica poi con C la classe delle funzioni continue infinitamente derivabili. Risulta naturalmente che le classi sono una dentro l altra:... Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 13 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 14 Derivabilità a destra e a sinistra Derivabilità a destra e a sinistra Esempio Derivabilità a destra e a sinistra La funzione modulo nello zero ha derivata sinistra = -1 e derivata destra = 1. Analogamente alla continuità, ha senso considerare la derivabilità d una funzione a destra ed a sinistra d un punto d accumulazione x 0. e tali derivate esistono, si parlerà di derivata destra in x 0, derivata sinistra in x 0, e di derivata in x 0 quando esistono entrambe e coincidono. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 15 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 16

5 Teorema e una funzione y = f(x) è derivabile in un punto, essa è continua in quel punto. Dimostrazione: Poiché esiste finito allora dunque, cioè la f(x) è continua in x 0. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 17 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 18 Nota: non è vero il viceversa; infatti la funzione f(x) = x, non è derivabile nel punto x 0 = 0, mentre è continua nello stesso punto: infatti le derivate sinistra e destra valgono rispettivamente -1 ed 1. Esempio: 1) f(x) è continua. Infatti, f(1) = 2 e Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 19 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 20

6 2) y' s = 2 La «derivazione in x 0» è un operatore da F x0 Associare ad una funzione la sua derivata f f ' è un morfismo fra funzioni, intese come spazio vettoriale reale. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 21 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 22 Derivazione della combinazione lineare a coefficienti costanti e f 1 (x),..., f n (x) sono funzioni derivabili e c 1,..., c n costanti, la funzione Dimostrazione: Per definizione la derivata è il limite, per Δx 0, del rapporto incrementale; in questo caso tale rapporto è è derivabile e si ha: e f(x) = k allora f '(x) = 0. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 23 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 24

7 Derivazione del prodotto Dimostrazione: i ha infatti che e f 1 (x) e f 2 (x) sono funzioni derivabili, la funzione è derivabile e si ha: ma se s aggiunge e si toglie, al numeratore, s ottiene Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 25 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 26 mettendo in evidenza nella prima differenza e nella seconda si ha espressione che, per Δx 0, tende a Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 27 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 28

8 Derivazione di funzioni composta e inversa Nota: Il risultato precedente può essere immediatamente generalizzato dicendo che la derivata del prodotto di n funzioni ha la seguente forma: ia y = f(x) definita nell'intervallo A e sia x = ϕ(t) una funzione reale della variabile reale t definita nell'intervallo B. La funzione ϕ(t) sia tale che, quando t varia in B, ϕ(t) varia in A. Può allora considerarsi la funzione composta: e ϕ è derivabile nel punto t di B ed f lo è nel punto x = ϕ(t) di A, allora F è derivabile nel punto t e si ha: Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 29 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 30 Dimostrazione: ia y = F(t) = f(ϕ(t)) = (f ϕ)(t). Allora x = ϕ(t) y = f(x) x 0 = ϕ(t 0 ) y 0 = f(x 0 ) y 0 = F(t 0 ) Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 31 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 32

9 ia y = f(x) una funzione monotona crescente, o monotona decrescente nell'intervallo A di estremi a e b. La f(x) sia continua in (a,b). Posto,, per ogni y interno e f(x) è derivabile nel punto x di (a,b) ed è ivi f '(x) 0, la ϕ(y) è derivabile nel punto y = f(x) e si ha: all'intervallo (α,β) resta univocamente determinato un x di (a,b) tale che f(x) = y. Resta quindi definita una funzione x = ϕ(y), detta funzione inversa della y = f(x) e che è continua. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 33 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 34 Dimostrazione: Dal momento che risulta: di funzioni elementari D x (k) = 0 Infatti, se y = k, D x (x) = 1 Infatti, se y = x, allora D x (kx) = k Infatti, se y = kx, D x (kx) = D x (k).x + k.d x (x) = 0 + k. 1 = k Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 35 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 36

10 Derivazione della potenza i vede subito che D x (x 2 ) = D x (x.x) = 1.x + x.1 = 2x. Derivazione dell inversa: Per induzione, si suppone che e dunque Infatti: Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 37 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 38 Derivazione del quoziente iano f(x) e g(x) funzioni derivabili. ia inoltre in x, g(x) 0. La funzione è derivabile e si ha: Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 39 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 40

11 Dimostrazione: Derivazione d esponenziale e logaritmo ia a un qualunque numero positivo, allora Infatti, il rapporto incrementale tende, per, a egue immediatamente che Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 41 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 42 e a > 0, a 1, si ha per x 0 Da x = a y, y = log a x, D y x = a y log e a, dunque egue, in particolare, che D x y = 1 / a y log e a = log a e / x Inoltre poichè D(e x ) = e x, D(logx) = 1 / x si ricava che D(x a ) = D(e a logx ) = e a logx. a / x = a. x a - 1 valida per qualunque a. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 43 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 44

12 Derivazione delle funzioni trigonometriche i ha per ogni x Infatti, Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 45 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 46 b) Usando Dsenx già nota: c) i ha per ogni x Il risultato discende dal fatto che, infatti, per la regola di derivazione del quoziente, si ha: Esercizio: dimostrarlo direttamente, usando il rapporto incrementale di cos x. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 47 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 48

13 d)i ha per x < 1 Analogamente per la cotangente, si ha: e) i ha per ogni x: Per la dimostrazione, si sfrutta il fatto che si tratta delle funzioni inverse di seno, coseno e tangente. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 49 Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 50 Esempio: Infatti è l inversa di, dunque,. Allora, risulta che ma cos y in funzione di x = sin y vale. Lezione 29.wpd 08/01/2011 XXIX - 51