Calcolo differenziale

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1 Calcolo differenziale

2 L operazione di derivata Sia f: AR. Si vuole conoscere l equazione della retta tangente al grafico della funzione in un punto.

3 Retta secante y f(+h) Q Rapporto incrementale y=f() P m f ( h) f ( ) h +h

4 Retta tangente y Coefficiente angolare della retta tangente a f in P f(+h) y=f() P Q lim h0 f ( h) f ( ) h +h

5 Derivata di f in un punto Sia f: A R e sia A. Diciamo che la funzione f ( h) f ( ) f è derivabile in se lim esiste h0 ed è finito. h Il risultato del limite si chiama derivata della funzione f in. La derivata di f in un punto è un numero.

6 Derivata di f in un punto La derivata di f in un punto si può definire f anche ponendo +h = 0 e si ha lim e si rappresenta come 0 ( ) f ( ) 0 0 f ( 0 ) D(f) 0 df d 0

7 Retta tangente al grafico di f in P( 0,y 0 ) Sia f: A R derivabile in 0. 0 y 0 La retta tangente al grafico di f in P ( 0,y 0 ) è y- y 0 = m(- 0 ) y- y 0 = f ( 0 )(- 0 )

8 Derivata di f in un intervallo Sia f: A R se lim h0 f ( h) f ( ) h esiste ed è finito per tutti i punti di IA allora la funzione è derivabile in I. Punti P di f Coefficienti angolari delle rette tangenti a f in P

9 Continuità delle funzioni derivabili Sia f: A R. Se f è derivabile in 0 allora è continua in 0. lim f ( ) ( ) 0 f 0 f f 0 lim ( ) ( ) 0 0? 0 lim f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 lim lim f ( 0 ) 0 0

10 Continuità delle funzioni derivabili Sia f: A R. Se f è derivabile in 0 allora è continua in 0. ATTENZIONE: Non vale il viceversa. Punti angolosi

11 Continuità delle funzioni derivabili Sia f: A R. Se f è derivabile in 0 allora è continua in 0. ATTENZIONE: Non vale il viceversa. Cuspidi

12 Continuità delle funzioni derivabili Sia f: A R. Se f è derivabile in 0 allora è continua in 0. ATTENZIONE: Non vale il viceversa. Flessi a tangente verticale

13 Derivate fondamentali Sia f: R R. k Sia f: R R. f ()=0 f ()=1 Sia f: R R. f ()=n n-1 n

14 Derivate fondamentali Sia f: R R. sin Sia f: R R. cos f ()=cos f ()=-sin

15 Derivate fondamentali Sia f: R R. a f ()= a lna Sia f: R R. log a f ()= 1 loga e

16 Operazioni con le derivate Somma Siano f e g: A R derivabili in A. Allora anche la funzione (f+g)() è derivabile in e D(f+g)=Df+Dg. 3 y ln

17 Operazioni con le derivate Differenza Siano f e g: A R derivabili in A. Allora anche la funzione (f-g)() è derivabile in e D(f-g)=Df-Dg. 3 y sin

18 Operazioni con le derivate Prodotto Siano f e g: A R derivabili in A. Allora anche la funzione (f g)() è derivabile in e D(f g)=f g+f g In particolare D(cf)=cD(f). y (2 1) cos

19 Operazioni con le derivate Divisione Siano f e g: A R derivabili in A g() 0. Allora anche la funzione (f/g)() è derivabile in e f f `( ) g( ) f ( ) g`( ) D g g 2 ( ) y tan

20 Derivata di funzione composta Siano f: A B e g: B C. Sia f derivabile in A e g derivabile in y=f() B, allora g(f()) è derivabile in e Dg( f ( )) g`( f ( )) f `( ) y 3 cos( 2 )

21 Esercizi ln(sin 2 ) cos 2 e 3 ln(2 3 1) cos ln( 2 ) 3 3 2

22 Derivata di funzione inversa Sia f: A B invertibile e derivabile in A e sia f () 0, allora f -1 (y) è derivabile in y=f() e D f 1 ( ( y)) 1 D f ( ( )) f 1 y ( ) y y ln

23 Uso della derivata per lo studio della monotonia di una funzione y h0 f ( h) f ( ) m lim f `( ) h

24 Uso della derivata per lo studio della monotonia di una funzione Sia f: A B derivabile in I A. f è crescente in I A f () 0, I. y

25 Uso della derivata per lo studio della monotonia di una funzione Sia f: A B derivabile in I A. f è decrescente in I A f () 0, I. y

26 Massimi relativi Sia f: A B e aa. Il punto P(a,f(a)) è un punto di massimo relativo per la funzione f se I(a) f(a) f() I(a). y=f(a) y P a

27 Minimi relativi Sia f: A B e aa. Il punto P(a,f(a)) è un punto di minimo relativo per la funzione f se I(a) f(a) f() I(a). y y=f(a) a P

28 Massimi e minimi relativi Se a è interno al dominio allora I(a) deve essere un intorno circolare. Se a è un estremo del dominio allora I(a) sarà un intorno destro o sinistro.

29 Teorema di Fermat Sia f: A B e a A. Condizione necessaria affinché il punto P(a,f(a)) sia un massimo o un minimo relativo è che f (a)=0. I punti del dominio in cui f (a)=0 si chiamano punti critici o stazionari. La condizione f (a)=0 non consente però di discriminare tra i diversi punti stazionari.

30 Significato geometrico dei punti stazionari I punti del dominio in cui f (a)=0 si chiamano punti critici o stazionari. y Nei punti stazionari la curva ha retta tangente orizzontale.

31 Esercizio Dimostrare che il punto di ascissa =3 non è un massimo per la funzione y=.

32 Condizione sufficiente Sia f: A B continua e derivabile in I(a), aa. Condizione sufficiente affinché il punto P(a,f(a)) sia un massimo è che f ()>0 in I - (a) e f ()<0 in I + (a). Sia f: A B continua e derivabile in I(a), aa. Condizione sufficiente affinché il punto P(a,f(a)) sia un minimo è che f ()<0 in I - (a) e f ()>0 in I + (a).

33 Esercizio Determinare i massimi ed i minimi relativi della funzione y=sin nell intervallo [0,2π]. Dimostrare che la funzione y=ln è sempre crescente.

34 Massimi e minimi assoluti Sia f: [a,b] R e siano P 1, P 2,, P n i punti di massimo (minimo) relativo della funzione f. Il massimo (minimo) assoluto della funzione f è il punto di ordinata massima (minima) tra f(a), f(b) e le ordinate dei punti P 1, P 2,, P n.

35 Esercizio Determinare i massimi ed i minimi assoluti della funzione y= nell intervallo [-3/2,2].

36 Flesso Sia f: A R e aa, si dice che il punto P(a, f(a)) è un flesso se in quel punto la curva attraversa la retta tangente. Flesso a tangente verticale Flesso a tangente orizzontale Flesso a tangente obliqua

37 Esercizi y 3 y 2 3 1

38 Derivate successive Sia f: A R, derivabile in I(), con A. Diciamo che la funzione f è derivabile due f `( h) f `( ) volte in se lim esiste ed è h0 h finito. Il risultato del limite si chiama derivata seconda della funzione f in e si indica con f (), D 2 2 f o d f. d 2

39 Significato geometrico della derivata seconda y f `( ) lim h0 f ( h) f ( ) h f ``( ) lim h0 f `( h) f `( ) h La derivata seconda rappresenta il tasso di variazione della curva dall andamento rettilineo.

40 Studio dei punti critici mediante l uso delle derivate successive Sia f: A R, derivabile due volte in a A. Condizione sufficiente affinché P(a, f(a)) sia un punto di massimo (minimo) è che: f (a)=0 f (a)<0 >

41 Concavità di una funzione Sia f: A R e a A. La funzione rivolge la concavità verso l alto in P(a, f(a)) se I(a) il grafico della funzione sta sopra quello della retta tangente I(a). y f() f (a)(-a)+f(a) f(a) a P

42 Concavità di una funzione Sia f: A R e a A. La funzione rivolge la concavità verso il basso in P(a, f(a)) se I(a) il grafico della funzione sta sotto quello della retta tangente I(a). y f(a) P f() f (a)(-a)+f(a) a

43 Studio della concavità di una funzione tramite derivata seconda Sia f: A R e a A. La funzione rivolge la concavità verso l alto (il basso) in P(a, f(a)) se e solo se f (a)>0 (<). y f() f (a)(-a)+f(a) f(a) a P

44 Flesso Sia f: A R e aa, si dice che il punto P(a, f(a)) è un flesso se in quel punto la curva attraversa la retta tangente. Sia f: A R e aa, si dice che il punto P(a, f(a)) è un flesso se in quel punto vi è un cambio di concavità.

45 Esercizi y= y= ln(+1)

46 Teorema di Rolle Sia f: [a,b] R, derivabile in (a,b) e f(a)=f(b). Allora [a,b] f ()=0. y f(a)=f(b) a b

47 Teorema di Lagrange Sia f: [a,b] R, derivabile in (a,b). f ( b) f ( a) Allora (a,b) f '( ). f(b) f(a) y b a a b

48 Applicazione del T. di Lagrange Alcuni autovelo misurano il tempo che impiega un veicolo per coprire lo spazio tra due punti, e ne calcolano la velocità media in quel tratto. Applicando il teorema di Lagrange, è possibile calcolare se si è superato il limite di velocità. s(b) s(a) s a b t v 0 m v ( t ) lim i s( b) s( a) b a t0 s( t) s( t0) t t 0

49 Teorema di de L Hôpital Siano f e g: A R e 0 A punto di accumulazione per A. Sia lim f ( ) lim g( ) Siano f e g derivabili in I( 0 )\{ 0 }. Se g() 0 e f ( ) f '( ) g( ) g '( ) g () 0 in I( 0 )\{ 0 }, allora lim lim. 0 0 Siano f e g derivabili in 0, con derivata continua in 0 e g( 0 ) 0.

50 Esercizi e 1 lim 0 sin 2 2 lim 1 ln 1 lim 0 ln

51 Differenziale Siano f : A R e punto interno ad A. Si dice che f è differenziabile in se esiste cr f(+h)-f()=c h+o(h). La quantità c h è detta differenziale di f in. La funzione f è differenziabile f è derivabile

52 Significato geometrico del differenziale s f(+h)-f()=c h+o(h). f(+h) f() +h t

53 Significato geometrico del differenziale s df=c d df=tanα d f(+d) df df=f () d f() d f `( ) df d +d t

54 Operazioni sul differenziale Siano f e g : A R, differenziabili in, punto interno ad A. Allora: 1. f+g è differenziabile e d(f+g)=df+dg 2. f-g è differenziabile e d(f-g)=df-dg 3. f g è differenziabile e d(f g)=df g+ f dg f df g f dg d g g 4. Se g 0, f/g è differenziabile e 2

55 Sviluppo in serie di Taylor Siano f : A R, differenziabile in, punto interno ad A. f(+h)-f()=f () h+o(h). f(+h)-f()=f () h+c h 2 +o(h 2 ). f()-f( 0 )=f ( 0 )(- 0 )+c (- 0 ) 2 +o[(- 0 ) 2 ]. 1 f f o () i i i ( ) ( 0)( 0) ( 0) i0 i!

56 Sviluppo in serie di Mc Laurin 1 f f o i! () i i i ( ) (0) ( ) i

57 La formula di Eulero e i cos isin i e cos isin 1 f f o i! () i i i ( ) (0) ( ) i0