Esercizi di Analisi Matematica 1, utili per la preparazione all esame scritto - Seconda parte SOLUZIONI

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1 Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica, utili per la preparazione all esame scritto - Seconda parte SOLUZIONI Es. Per ognuna delle seguenti figure, dire se la curva nel piano cartesiano è la curva del grafico di una funzione reale a variabile reale e, in caso affermativo, individuare domf, imf, eventuali simmetrie; discutere la continuità, la derivabilità; dire se la funzione ammette asintoti verticali, orizzontali, obliqui; dire in quali intervalli la funzione è crescente/decrescente, convessa/concava; individuare eventuali punti di massimo e minimo relativo e assoluto ed eventuali punti flesso. = f() = g() M f m m a m Figura Figura Svolgimento per la funzione rappresentata in Figura. La curva è il grafico di una funzione. domf = R, imf = [ m,+ ). La funzione non è pari né dispari, è continua in R \ {a}. Il punto = a è punto di infinito (essendo f definita in = a ed essendo f(a) = ). Dove è continua la funzione è anche derivabile. La retta = a è asintoto verticale sinistro. La retta = è asintoto orizzontale sinistro. Non sono evidenti asintoti obliqui. La funzione è decrescente in (, m ] e crescente in [ m,a) (a,+ ). Il punto m è un punto di minimo relativo. La funzione è convessa in ( f,a), è concava in (, f ) (a,+ ). Esiste un punto di flesso: = f. Il punto di minimo relativo è anche punto di minimo assoluto, mentre non esistono punti di massimo relativo o assoluto. = f() = g() a Figura Figura 4

2 Esercizi di Analisi Matematica = f() = g() a m Figura 5 Figura 6 Es. Studiare le seguenti funzioni f : R R: a) f() = b) f() = + + c) f() = d) f() = ( ) ( + ) e) se π f() = sin () se π < se > f) f() = g) f() = log h) f() = log( + ) i) f() = sin sull intervallo [ π,π] j) f() = arctan k) f() = log log + l) f() = 4 e ( +)

3 Esercizi di Analisi Matematica 5 f() = f() = f() =

4 Esercizi di Analisi Matematica 4 5 f() = ( ) ( + ) f() caso e) f() =

5 Esercizi di Analisi Matematica 5 f() = log f() = log( + ) f() = sin

6 Esercizi di Analisi Matematica 6 f() = arctan f() = log log f() = 4 e ( +)

7 Esercizi di Analisi Matematica 7 Es. Calcolare i seguenti limiti di funzione: a) lim + (e/ ) [R. ] b) lim ( + sin ) / log(+ ) c) lim + d) lim e e + ( π arccos 4 ) e log e) lim + sin ( 4 ) f) lim + ( ) [R. e] [R. ] [R. ] [R. + ] [R. + ] g) lim + (e / ( + )) [R. ] Es. 4 Calcolare lo sviluppo di Talor di grado delle seguenti funzioni nel punto a fianco indicato. ( ) ( ) a) f() = sin( ) in = π/ [R. p () = sin π 4 + π cos π ( ) [ ( ) 4 π + cos π 4 ( ) ] π sin π ( ) [ ( ) ( )] 4 π π sin π 4 + π 6 cos π ( 4 π ] ) b) f() = arctan() in = [R. p () = π 4 + ( ) 4 ( ) + ( ) ] c) f() = e ( ) in = [R. p () = + ( ) + ( ) + 6 ( ) ] d) f() = log( + ) in = [R. p () = ] e) f() = + in = [R. p () = + ( + ) ( + ) + ( + ) ] Es. 5 Determinare per quali valori di sono definite, per quali continue, per quali derivabili le funzioni reali f : R R seguenti: a) f() = { + se se > [R. domf = R, f è continua in R \ {}, = è punto di salto. f è derivabile in R \ {,}, = è punto angoloso.] b) ( ) ( ) sin se f() = 8 se = [R. domf = R, f è continua in R \ {}, = è punto di disc. eliminabile. f è derivabile in R \ {}. ]

8 Esercizi di Analisi Matematica 8 c) f() = { log() se e 5 se e < 5 [R. domf = [/,5], f è continua in domf \ {e}, = e è punto di salto. f è derivabile in domf \ {,e}, = è punto angoloso. ] d) ( ) f() = sin log( + ) [R. domf = R \ {, ±}, f è continua sul suo dominio. f è derivabile in domf \ {}, = è punto angoloso. ] Es. 6 Si considerino le funzioni = f() = e e = g() = 4 e λ. Determinare il valore di λ R in modo che i grafici delle due funzioni abbiano in un punto comune la stessa tangente. Determinare anche l ascissa del punto di contatto. [R. λ = log ed il punto di contatto è = log ] Es. 7 Calcolare le derivate prime e seconde delle seguenti funzioni: a) f() = log( ) b) f() = + c) f() = log( + ) d) f()arctan = e) f() = ( ) f) f() = ( ) sin cos g) f() = h) f() = i) f() = e log j) f() = arcsin(cos( + )) k) f() = tan(log( )) l) f() = arctan log( + ) Risposte: a) f () =, f () = ( ) b) f () = +, f () = 4 ( + ) c) f () = +, f () = ( + ) d) f () = +, f () = ( + )

9 Esercizi di Analisi Matematica 9 e) f () = ( ( ) ( ) log + ) [ f () = ( ( ) ( ) log + ) ] + f) f () = 4cos() sin (), f () = + 8cos () sin () g) f + 55/ () = 5/, f / () = 9 8/ [ h) f () = ( )(log + ), f () = ( ) (log + ) + ] i) f () = log e log, f () = + log (log + ) 4 e log j) f () = sign(sin( + )) (dove sign() = + se > e sign() = se < ). f non è derivabile dove sin( + ) =. f () = in R \ { : sin( + ) = }. k) f () = cos (log( )), f () = (4sin(log( )) cos(log( ))) cos (log( )) l) f () = arctan, f () = + Es. 8 Calcolare i seguenti limiti di funzioni utilizzando gli sviluppi di Talor: a) lim e sin ( + )tan e cos e c) lim 6 Risposte: b) lim 5sinh 5( + /6) sin( 5 ) d) lim e sin log( + ) α sinh al variare di α R a) b) 4 c) d) se α =, + se α >, se α < Es. 9 La funzione { f() = sin se e se < quante volte è derivabile in =? A quale spazio funzionale C k (R) appartiene?

10 Esercizi di Analisi Matematica Es. Discutere la continuità della funzione f : R R nel suo dominio. [R. f è derivabile volte in =. f C.] a) 7 / + f() = se, se = o =. [R. = è un punto in cui f è continua. = è un punto di discontinuità eliminabile] b) c) e / se < f() = arctan se e π se =. [R. = è un punto di infinito. = è un punto di salto] e + se e 4 f() = + 4 se = se = 4; [R. = è un punto di discontinuità eliminabile. = 4 è un punto di infinito] d) f() = + sin ( + ) se e + se = se = ; [R. = è un punto di discontinuità eliminabile. = è un punto di infinito] e) cos( ) ( f() = ) + /( ) se ± e se = ± se = ; [R. = ± sono punti di discontinuità eliminabile. = è un punto di infinito]

11 Esercizi di Analisi Matematica f) f() = ( π sin ) arctan( + ) se e + se = 7 se = ; [R. = / è punto di discontinuità di seconda specie. = è un punto in cui f è continua] Es. Discutere la derivabilità della funzione f : R R. ( ) a) f() = b) f() = 4 + π ( ) i) j) c) f() = e (( ) 4) d) f() = log() e) f() = ( 4)arctan( 4) f) f() = log g) f() = ( 4)log ( 4) h) f() = Risposte. f() = f() = e + { e / se se = { log se se = a) domf = R \ {8/7}. domf =domf \ {}. = è punto a tangente verticale. b) domf = R. domf =domf \ {α}, dove α è l unico zero di f. = α è punto angoloso. c) domf = R. domf =domf \ {}. = è punto angoloso. d) domf = R +. domf =domf \ {/}. = / è punto angoloso. e) domf = R. domf =domf. Non esistono punti di non derivabilità. f) domf = R \ {}. domf =domf \ {,4}. = e = 4 sono punti di cuspide. g) domf = (4,+ ). domf =domf. Non esistono punti di non derivabilità. h) domf = R. domf =domf. Non esistono punti di non derivabilità. i) domf = R. domf =domf. Non esistono punti di non derivabilità (si applica il teorema del limite della derivata).

12 Esercizi di Analisi Matematica j) domf = R. domf =domf. Non esistono punti di non derivabilità (si applica il teorema del limite della derivata). Es. Dire per quale valore del parametro α R le seguenti funzioni sono derivabili in R e dire che tipo di non derivabilità si ha altrimenti. a) b) c) f() = f() = { α se log( ) se < { α cos(/) se se = [R. f è derivabile α R] [R. f è derivabile α > /] Svolgimento. Anzi tutto ci si chiede per quali valori di α la funzione è continua in =. Si calcolano lim f() e lim f() e si impone che siano uguali a : + lim f() = lim f() = solo se α >, altrimenti non esistono i limiti (per l oscillazione + di cos(/). A questo punto si calcolano la derivata destra e sinistra in = con la definizione: f () f() f() α cos(/) = lim = lim = lim α cos(/) f + f() f() α cos(/) () = lim = lim = lim + + α cos(/). + I due limiti sono uguali (e uguali a zero) solo se l esponente di è positivo, ovvero α > /. Quindi f è derivabile in = per α > /. N.B. Attenzione che in questo caso il teorema del limite della derivata daùna risposta non esaustiva. Infatti il teorema del limite della derivata dice: Teorema Sia f una funzione definita e continua in I( ) e derivabile in I( ) tranne eventualmente in. Se esiste finito l = lim f (), allora esiste anche la derivata destra f +( ) in e si ha + f +( ) = l = lim + f (). Analogamente, se esiste finito l = lim anche la derivata sinistra f ( ) in e si ha f ( ) = l = lim f (), allora esiste f (). La funzione di questo esercizio è tale che l e l (per = ) esistono solo per α > / e il teorema del limite della derivata fornisce una risposta parziale. Per α (/,/] non esistono l e l, tuttavia esistono finite le derivate destra e sinistra in = calcolate mediante la definizione (ovvero mediante il limite del rapporto incrementale). f() = { π arctan( α ) se se =

13 Esercizi di Analisi Matematica [R. f è continua in R per α >, e derivabile in R per α >. Se < α < il punto = è un punto di tangenza verticale, se α = il punto = è un punto angoloso.] Es. Calcolare i seguenti numeri complessi: a) w = ( ) 5 i [R. i ] b) w = ( i) 9 c) w = 4 ( + i) ( d) w = 6 + i ) ( ) + i [R. 6( i)] [R. i] [R. 8( + i)] e) w = [ f) w = i ( + i) ( + i ] 7 [R. i ] ) [R. ] g) w = h) w = ( ) 45 i ( + ) i + ( + ) i [R. i] [R. 4] + i i) w = 9( i) [R. i 9 ] ( j) w = 4 (5 5i)4 ) + i [R. 5 4 ] k) w = 8( + i) [R. 6( + i)] l) w = ( i i + ) 6 [R. ] Es. 4 Calcolare in C tutte le radici, con la loro molteplicità, dell equazione: a) (z 5z + 6)(z + iz 6) = [R. z =, z =, z,4 = 6i] b) (z iz + )(z 4 + 4i) = [R. z = i, z = i/, z,4 = 4 4i] c) (z 8)(z 8) = [R. z =, z = ( + i), z = ( i), z 4,5,6 = 8]

14 Esercizi di Analisi Matematica 4 d) (z i)(z + 4) = [R. z = + i, z = + i, z = i, z 4,5 = ±i] Es. 5 Calcolare in C le radici n sime (n è specificato di volta in volta) dei seguenti numeri complessi: a) w = 8 i + + i i, con n = [R. z = ( ) 7 + i,z = ( ) 7 + i,z = 7i] b) w = 7( + i), con n = [R. z = ( ) 4 + i, z = ( ) 4 + i, z = 4i] c) w = (z + z), dove z = ( i), con n = 4 [R. z = ( ) + i, z = ( ) + i, z = ( ) i, z = ( )] i d) w = 7 + i + i, con n = 7. [R. z = 7 7e iπ/6, z = 7 7e 9iπ/4, z = 7 7e iπ/4, z = 7 7e 4iπ/4, z 4 = 7 7e 55iπ/4, z 5 = 7 7e 67iπ/4, z 6 = 7 7e 79iπ/4 ] Es. 6 Determinare il luogo geometrico degli z C tali che: ( ) 9 a) z + ( z 7) Re(z 7iz) = [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : + = 8 + = = }, ovvero l unione tra due crf ed una retta.] b) ( z 5) Im ( z 5iz ) = [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : + = 5 = = 5/}, ovvero l unione tra una crf e due rette.] ( c) z + i)( z + iim (z) ) 64 = [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : + 4 = 64 z = i}, ovvero l unione tra una ellisse ed un punto. ] [ ] d) 7 z (z + iz) Im(z) R [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : = + = }, ovvero l unione tra due rette. ] e) ( z i 5) (z i) = [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : + 6 = 6 z = i}, ovvero l unione tra una crf ed un punto. ] f) Re ( 6z z + z z 6z z ) = [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : + = = }, ovvero l unione tra due rette. ] g) Im ( z + 7iz + z ) = [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : = = 7/}, ovvero l unione tra due rette. ] h) ( i z + iz + z + ) R + {} [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : + + = + }, (ovvero una semi circonferenza). ]

15 Esercizi di Analisi Matematica 5 i) i(z + z ) = (z + z) [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme {z C : = }, ovvero la retta immaginaria. ] j) z + z R [R. Siano = Rez e = Imz. Il luogo geometrico è l insieme + i {z C : = }, ovvero una crf. ]