Risposte ad alcuni esercizi dei fogli di lavoro

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1 Risposte ad alcuni esercizi dei fogli di lavoro Foglio di lavoro n. 5 A = {,, }; B = {}; C = {, 7}; D = {}; E = {, }; F = {, +, }. 6 a:a B = {4}, A B = {4}; b: A B = A, A B = {, 7}; c: A B = ; d: A B = R \ {0}; A B = A \ {0} 7 Se A B =. 8 Se A = B. 0 ; { R : > };. 5; 5. Foglio di lavoro n. [ 0, y 0 ] è costituita dai punti della circonferenza di equazione + y = r con r = 0 + y 0 }. [ 0, y 0] è costituita dai punti della parabola di equazione y = y 0 y0 4 Non è una relazione d ordine. 5 No; Sì; No. 7 m! 8 dom f = R, Im f = { y R : y } dom g = R \ { 6 }, Im g = R \ {} dom h = R \ {, }, Im h = {y R : y 0} {y R : y 6} 9 Solo la g. 0 g è iniettiva ma non suriettiva. f u, v = u, u v Foglio di lavoro n. La somma è n+n+ Foglio di lavoro n.4 6 Per esempio ], ], ], [. L elemento separatore è. Non è limitato superiormete. Ammette minimo che è. L inf è 0; è il massimo. 4 A = { R : < }. Foglio di lavoro n.5 4 a: 5; b: ; c: ; d: R; e: > ; f: 0 o 4; g:. 5 π 6 π 7 a: = ; b: = e ; = e ; c: = ;, = + ; d: = e ; = e. 8 a: > log 4; b: e < < 0 o 0 < < e; c: nessun valore di ; d: e < < e 5. 9 a: > 0; b: > 0; c: < < ; d: >. sett sinh y = logy + y + ; sett sinh y = logy + y. Foglio di lavoro n.6 i; + i; i 6 cos π + i sin π ; 5; 0. ; cos π + i sin π 6 6 ; cos 7π + i sin 7π Corona circolare + y 4. 7 Il piano privato dell asse. 8 Per ogni z C. 9 Il semipiano y < = 0 = + i; = i z = i, z = i. z = ± + i, ± i i

2 48 Foglio di lavoro n.8 Tutte le funzioni date sono continue nei loro rispettivi dominî, che sono, nell ordine: R \ {, 4}; R; R \ {5} ], ] [, + [; ], + [\{}; R \ {} R \ {kπ; k Z}; ], + [\{}; R. 4 Nell ordine: 4; / ; /5; ; 0; ; 0; π; e 6 ; sin;. 5 È possibile, perché lim f =. 0 6 Non è possibile, perché lim f non esiste. 0 8 È continua. 9 a =. a = 0, a =. Sì. Il viceversa è falso. Foglio di lavoro n.9 a: non esiste; b: 0; c: π; d: / ; e: ; f: +, 0; g: 0; h: 0. a: 5/9; b: ; c: 9/; d: 5/; e: e; f: /. a: /6; b: ; c: ; d: 0; e: /; f: ; ; e /. Foglio di lavoro n.0 9 a: /6; b: 0; c: /; d: ; e: /; f: 0; g: 0; h: /8; i: /; l:/; m: + ; n: /. 0 Ordine: ; parte principale: 7 log. 9 Ordine: ; parte principale: 49/. Non esiste l ordine d infinitesimo. /; 6; /6; /; 4/8. 5 log +. Foglio di lavoro n. a: 5/; b: 0; c: 0; d: 0; e : /5; f:. 4 a: falsa; b: vera; c: falsa; d: vera. 5 a: ; b: 0; c: ; d: 0; e : ; f: e; g: 5; h: non esiste. 6 a: vera; b: vera; c: falsa Foglio di lavoro n. 4 Sì, per il teorema dei valori intermedi. 5 f è continua; f non lo è. 9 È uniformemente continua in ogni intervallo di R. 0 L affermazione è vera. L affermazione è falsa. Non è uniformemente continua in ogni intervallo che ha il punto come estremo destro o il punto come estremo sinistro. Non è uniformemente continua in ], a] con a <, né in [b, [ con b >. Non è uniformemente continua negli intervalli del tipo ]0, a[, a R, a > 0. Foglio di lavoro n. a: f = sin + 4 cos + + e. b: f = +. c:f = / + 5 4/ /7. d:f = sin4 + cos. e: f = 5 cos5 + tan. f: f = 4π cosπ + + a: non derivabile per = ; f = per < ; f = 0 per >. b: derivabile in R + \ {}; f = per ]0, [; f = per ], + [. c: derivabile in R \ {0}; f = 0 per > 0; f = e per < 0. d derivabile in R \ {0}; f +0 = + ; f 0 =. e: derivabile in R \ { }; f = + per R \ { }. f: non derivabile in 0; f +0 = ; f 0 =. g: definita in R + ; non derivabile per = ; f + = 4 ; f = 4. Derivabile; non derivabile; non derivabile; derivabile. 4 sin cos log + sin ; log loglog + ; log + ; log + + arctan log log logarctan +. + arctan

3 49 5 Entrambe le funzioni sono derivabili in 0 e hanno derivata uguale a. 6 Nessuna delle due funzioni è derivabile in 0. 7 Si può definire f = 0. La funzione estesa non è derivabile in =. 8 Si può definire f0 = 0. La funzione estesa è derivabile in R. Foglio di lavoro n.4 a Se α la funzione è decrescente in R; se α < la funzione è crescente negli intervalli ] arccos α + kπ, arccos α + kπ[, k Z; se α la funzione è crescente in R. α = 5 b Se α 0 la funzione è crescente in R; se α > 0 la funzione è crescente in ] log α, + [. c Se α la funzione è crescente in R; se α > la funzione è crescente per > sett cosh α. Tre soluzioni per p< / 4; due per p = / 4; una per ogni altro valore di p. 7 Per ogni α R, la funzione cresce per ] α, α[ e decresce per > α. = α c è un punto di massimo. 8 a: + ; b: 0; c: 0; d: ; e: /; f: 0; g: ; h:. 0 a: + o ; b: + o; c: 5 + o. Foglio di lavoro n.6 a o 4 ; b: o4 ; c: o4 ; d: o4 ; e: f: 4 + o4 ; o4 ; g: o4 ; h: o4. /4. / / / + o / + o 5. 7 / + o. 8 a = ±. 9 a = ; b = 0 f è negativa intorno a 0. In Foglio di lavoro n.7 5 La funzione è convessa per > 0. 9 Se α 0, la funzione è convessa in R; se α > 0, la funzione è convessa in ] logα, + [. 0 flesso. Massimo. Massimo. Foglio di lavoro n.8 4. / 4 a: ; b: /6; c: ; d: 4; e: π. 6 a: e sin ; b: 4 cosh ; c a: dominio R + ; F = log + log b: dominio [0, + [; F = e e. c: dominio R; F = cos sin cioè F = cos, se [ π + kπ, π + kπ[ ed F = cos, se [ π + kπ, π + kπ[, k Z. 9 La funzione F è continua ma non è derivabile in = 0. 0 a: 5/; b: + ; c: 0. F = 4 + o, 0. F = 4 + o, 0. Foglio di lavoro n.9 a sett tanh + c = log + + c b arcsin + c c sqrt c d sin + c e e + e + c f +cos + c g c h / + c i arcsinlog + c l arctan + + c a e 5 + c b sin + cos + c

4 50 a c + 4 sinh + c d cosh cosh + c e log + + c. + log log + b log +log ++ arctan c c + d e arctan + c + + log + log + + c 8 4 arctan + arctan + 4 log f arctan + log log + + c a cose + e sine + c b log + log log + + c; > 0 + c + arcsin + arcsin + c d cot cot + c e + e arctan + log + e + c f logcos + sin + c g logcos + c h tan5 5 + c i e l arctane + c m sett cosh + c n sett sinh e + c o log + log + + c; > p + cos + + sin + c q sett sinhlog r log + cosh + c s arcsin + + c t e + c u 5 log arctan + c v sett cosh + c z tan + log cos + c Foglio di lavoro n.0 a b 8. c π 4. d 7 8. e / f π 4 g π 4 log h 0 e i sett cosh 5 sett cosh 7 j sett cosh 7 sett cosh 4 / 5 Foglio di lavoro n. a: Non si tratta di un integrale improprio: la funzione è integrabile secondo Riemann; b: convergente; c: convergente; d: divergente; e: divergente; f: convergente; g: convergente; h: divergente; i: divergente; j: convergente. a π 4 b 5 6 log c π/ d π π a π b sett cosh = log + 5 log c π 6 d π e π 4 4 k = 5 k =. 6 a: non converge; b: divergente; c: converge assolutamente; d: converge ma non assolutamente. Foglio di lavoro n. a: [0, + [; b: ], [ ], + [; c: [, ]. 0 se α < ; log se α = ; + se α >. Il dominio è R; i punti di massimo e minimo sono gli stessi di quella funzione f sin. 4 Il dominio è [, ]; la funzione ha valore positivo per = e negativo per quest ultimo è il valore dell integrale improprio. 5 Il dominio è ], [; le rette = ± sono asintoti verticali. 7 Ha per asintoto obliquo, per + una retta del tipo y = l; l > 0.

5 5 Foglio di lavoro n. Conv. Div. Div. Div. Conv. Conv. Conv. Conv. Div. Conv. Conv. Div. α > 0; α > 0; per nessun α. 4 Conv. ass. Conv. Conv. ass. 5 > ; < ; kπ, k Z; >. 6 Sono tutte e tre convergenti; la terza è assolutamente convergente. 7 a n = arctan ; la serie è convergente. 4 +n 8 Converge per <. 0 Diverge.