ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 5 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO

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1 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 5 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin Limiti di funzioni Esercizio. (Polinomi) Sia f() un polinomio di grado n, cioè f() = a n n + + a + a con a i R (i =,,..., n) assegnati e a n. Provare che, se a n >,allora f() = ± Esercizio. (Funzione Fratte) i iv. + v. + + se n pari, ± se n dispari e 3 log() e log() Esercizio 3. (Funzioni elementari) + log i iv e log( ) log() 3 log( 3 ) + ( ) e + + ( log() + 3 log( ) arctan e e + ( ) 3+4 ( ) Esercizio 4. (Alcuni iti al finito) e + ) + arctan e 7 + e 6 + e log(). + ( log() + log() )

2 FOGLIO 5, LIMITI i ( ) iv. e + log() + v. sin() + e sin() sin ( e log(). ). Esercizio 5. (Limiti tramite iti notevoli) tan() cos() sin() tan() cos () sin() + sin() sin() i + sin() cos() + 3 sin() + tan() sin () iv. cos() sin(3) sin(5) 3 sin() + 4 cos() v. sin() 3 cos() sin(5) + v v vi log( + ) log( + ) e 3 sin() cos () e cos() log(cos()) log() log(sin()) log( + ) e 3 e + + e e tan() sin() tan() 3 sin() cos (). Esercizio 6. Studiare la continuità delle seguenti funzioni (sul loro naturale insieme di definizione, qualora non specificato), eventualmente al variare dei parametri a, b. 4a se f() = 3a + + b se < < 3 + b + se

3 FOGLIO 5, LIMITI b + a se 5 f() = se < < b + a 7 + i f() = iv. f() = 9 3 se Esercizio 7. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame) Sia g : R R una funzione continua e periodica. Provare che g (e ) =. + Ricordiamo che g si dice periodica se esiste un numero reale T > tale che g( + T ) = g() per ogni R. e sin + log( + ) sin(4). i (cos ) /. iv. Determinare per quali α R vale che ( ( )) cos ( + ) =. + α

4 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 6 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin Limiti di funzioni Esercizio. Svolgere i seguenti iti: sin( ) log( + 3) + sin( 4 ) + log( + 4 ) e 4 cos( 4 ) tan( ) + log( + 4 ) i sin( 4 ) + 4 e 4 cos( 4 ) 4 tan( 4 ) + log( 4 ) iv. log( + 3 ) ( + 3) e v. + log( + ) 3 + log( ) v + sin(3) cos() v log( + ) 3 vi e e + e 3 cos(). + log( + ) 4 ) log( log( + + ) 4 ) log( + 4 i + N iv. D

5 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 7 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti Derivate e massimo e minimo di funzioni Esercizio. Trovare la funzione derivata delle seguenti funzioni, nel loro insieme di definizione: ep(sin()) ln() ( ) i arctan iv. ep( 7)( ) v. ln() v (5 + 6) 3 ( 3 3) 4 sin() v sin() vi sin() + cos(). cos 3 (sin(log(e 3 + ))) 3 3 (log() ) i log() log() + log() sin(5) + 3 cos(3) iv. ( + tan())(e ) ( 3 + ) 6 v. 3 e 5 + v log(tan( )) v e sin() log(sin()) ( ) sin() vi log + sin () + cos()

6 FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO log ((cos() + ) 3 ) log (tan ()). e sin( +) sin(4e + ) arctan (log( + )) f() = e ( ) + 3 e + 3 arctan e i cos ( + e 3) ( ) log + cos () iv. sin(3 + + ) + log(cos()) ) v. 3 3 log ( 9 v sin(e ) + cos ( 3), tan() arctan ( ) e + 3 e log(sin(3 + 4)) 5 3 e sin() Esercizio. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di y = f() nel punto (, f( )): f() = 3 + +, = f() = ep( ), = ln() i f() = ep( ), = iv. f() =, ( ) = 3. 3 Esercizio 3. Siano f, g : (a, b) R funzioni derivabili e suppponiamo che f() > per pgni (a, b). Sia h() := log(f()) per (a, b), provare che h è derivabile in (a, b) e calcolare la funzione derivata h Sia h() := f() g() per (a, b), provare che h è derivabile in (a, b) e calcolare la funzione derivata h. Esercizio 4. Dire se le seguenti funzioni sono continue in = e se sono ivi derivabili: ep( ) i sin() iv. sia f : (a, b) R una funzione derivabile e sia g : (a, b) R definita da g() := f(). Provare che g è derivabile in ogni f punto in cui f() e g () := () se f() > f () se f() <. Esercizio 5. Sia f : R R la funzione definita da f() := + ep(). Provare che f è bigettiva. Detta g : R R la funzione inversa calcolare g (). Sia f : (, + ) R la funzione definita da f() := 3+ln(). Provare che f è bigettiva. Detta g : R (, + ) la funzione inversa calcolare g (3).

7 FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO 3 Esercizio 6. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame): Determinare i valori dei parametri reali a e b affinché la funzione: a ep() + f() := sin() b < sia definita in un intorno di = e sia continua e derivabile in. a a =, b = b a =, b = c a =, b = d a =, b =. Determinare i valori dei parametri reali a e b affinché la funzione: f() := ln(a + b) < sia definita in un intorno di = e sia continua e derivabile in. a a = ep(3), b = 3 ep(3) b a = ep(), b = ep() c a = ep(3), b = ep(3) d a = ep(), b = 3 ep(). i I punti di minimo e massimo (assoluto) della funzione f : [, ] R ep( ) f() := ep() sono a min in =, ma in = b min in =, ma in = c min in =, ma in = d min in =, ma in = /. Problemi di massimo e minimo Esercizio 7. Determinare, se esistono, massimo e minimo delle seguenti funzioni su [, ]: f() = + f() = i f() = iv. f() = 3 ep() Esercizio 8. Trovare il ma e min di f() = + 3 su A = < < 4} Trovare il ma e min di f() = + i f() = sin() + cos() su A = π} 3 iv. Trovare il ma e min di f() = su A = } ( ) (4 3) v. Trovare il ma e min di f() = log + su A = } su A = }

8 4 FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO v Trovare il ma e min di f() = 4 su A = 3 }. v Trovare il ma e min di f() = arctan ( ) e su A = < 3}. vi Trovare il ma e min di f() := ep (sin() ep( )) su A := R : cos() = oppure } ( ) Trovare il ma e min di f() := arctan su } A := R : e + 3. Trovare il ma e min di f() := 3 cos( 3 ) sin( 3 ) su A := R : π 3 π} Trovare il ma e min di f() := ep ( sin()) ep (sin())+ su A := R : sin() = π 6 < π } ( 3 log 3 ) () + Trovare il ma di f() := ep log su A := (, ) ( () + 4) [ sin() + π i Trovare il ma di f() := ep 4 sin su A := () 4, 3π ] ( ) 4 cos () 7 iv. Trovare il ma e min di f() := arctan su A := [ 4 + cos() π, 3 ] π. Esercizio 9. Tra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro p, determinare quello di area massima. Tra tutti i triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, determinare quello di area massima. i Tra tutti i triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, determinare quello di ipotenusa minima. iv. Tra tutti i triangoli rettangoli aventi costante la somma dell ipotenusa e di un cateto, determinare quello di area massima. v. Determinare il punto P della parabola di equazione y = + 3 che ha dalla retta y = la minima distanza. v Determinare i rettangoli di massimo e minimo perimetro tra quelli inscritti nella parte di piano itata dalla parabola y = + 6 e dall asse. v Determinare l area massima di un triangolo isoscele avente come somma delle lunghezze dei due lati uguali il valore L = m. vi Determinare il rettangolo di perimetro massimo tra quelli inscritti in un cerchio di raggio r. Determinare il rettangolo di area massima tra quelli inscritti in un cerchio di raggio r.

9 FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO 5. Determinare il cilindro di volume massimo e quello di superficie totale massima tra quelli contenuti in una sfera di raggio r. Tra tutti i ciliindri di volume πa 3, determinare quello di superficie totale minima.

10 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 4 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin iv. Limiti di Successioni di Numeri Reali Esercizio. Provare che a n = a n =, per ogni a (, + ) abn = a b, per ogni successione convergente b n } n R con b n = b, per ogni a (, + ) ( i log a ) ( = n log a + ) =, per ogni a n (, + ) \ } log a b n = se b = e a >, oppure b = + e < a < log a b se < b < + + se b = e < a <, oppure b = + e a > per ogni successione (convergente o divergente) b n } (, + ) con b n = b v. abn n = a b, per ogni successione convergente a n } n (, + ) con a n = a con a >, per ogni successione convergente b n } n R con b n = b. Esercizio. Calcolare, se esitono, i seguenti iti di successione. In caso opportuno utilizzare il criterio del rapporto o criteri asintotic ( )n ( ) n n i ( )n 3n + 5n 8 + ( ) n iv. 3 n v. [( ] n 4 + n ) n α, al variare di α (, + ) v [log(n + ) log n] v vi [ log(n 4 + ) n /4] ( + n) k n ( n) n,

11 FOGLIO 4, SUCCESSIONI. ( + n ) n 3 n! i iv. v. v v vi n n n n! n n (n)! (n!) ( )n n n! n n (n )! n n (n + 3) n (n )! 3n!(n + 7)! 4n n n!e n n n /3, se n dispari. n con n := n 3n +, se n pari n + 3 n, se n n con n := 3n + n, se n > n, se n pari n con n := n +, se n dispari i iv. v. v v vi. (n sin n) n 5 + n + n n + n n 3 + n 4 n 3 6n + n 5 + n! n n e n n n 9 + n + 3n log(n) e log(n) 5 log(n ) log(n) 3 log(n 3 ) 6n + e n log(n).

12 FOGLIO 4, SUCCESSIONI 3 Esercizio 3. Provare che sin(a n ) = sin a per ogni successione convergente (a n ) n R con a n = a cos(a n ) = cos a per ogni successione convergente (a n ) n R con a n = a i tan(a n ) = tan a per ogni successione convergente (a n ) n ( π/, π/) con a n = a con a ( π/, π/).

13 4 FOGLIO 4, SUCCESSIONI Alcuni Svolgimenti Esercizio Mostrare che a n = a n =, per a > e a. Soluzione. Sia a > poiché vale a = ( + (a n ) ) n + (a n )n, abbiamo che a n a e dunque, mandando n +, otteniamo n la tesi per il teorema del confronto. Sia < a < per il caso precedente abbiamo che ( ) n =. a Ne segue che Esercizio Mostrare che a n = ( n a) abn = a b se Soluzione. Passo I: Poiché abn a b = b n = b, a >. = a bn b abbiamo abn = a b abn b =. Passo II: Proviamo che a bn = se b n =. Dobbiamo provare che ε > vale ε < a bn < + ε definitivamente. Per l esercizio i esiste N = N(ε) N tale che ε < a /N < a /N < + ε d altra parte poiché /N < b n < /N definitivamente si ha che ε < a /N < a bn < a /N < + ε definitivamente. Esercizio Calcolare il ite della successione n } n := ( ) n } n. Soluzione: il ite richiesto non esiste perché n } n è l unione di due successioni che hanno ite diverso n } n = } n } n e ovviamente n =, n =. la disuguaglianza vale perché ( + b) n + nb

14 FOGLIO 4, SUCCESSIONI 5 Esercizio } ( ) n Calcolare il ite della successione n } n :=. n n Soluzione: osserviamo che per ogni n N vale n ( )n n n, applicando quindi il teorema dei carabinieri abbiamo n n =. Esercizio iv. } n Calcolare il ite della successione n } n := n!. n Soluzione: applichiamo il criterio del rapporto abbiamo n+ n+ = n n n (n + )! ne segue che n n =. n! = n n n + = <, Esercizio 3 Soluzione: Ricordiamo le disuguaglianze trigonometriche elementari () sin R, () cos sin ( π,, π/), (3) sin( +h) sin( ) sin( ) ( cos h) + cos sinh, h R (vedi, per esempio, [BPS, dimostrazione Teorema 3.]). Dalla (), applicando il teorema del confronto, segue la tesi del punto (i) con a =. Utilizzando ora il punto (i), appena approvato nel caso a =, e la disuguaglianza (), applicando il teorema del confronto, segue la tesi del punto (ii) con a =. La prova del punto (i) nel caso a segue dalla (3), dai punti (i) e (ii) con a = e dal teroma del confronto. La prova della (ii) nel caso a segue da una disuguaglianza analoga alla (3) per la funzione cos.

15 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 8 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti Limiti e Derivabilità Esercizio. Svolgere i seguenti iti, applicando il metodo che si ritiene più opportuno: sin( ) log( + 3) + sin( 4 ) + log( + 4 ) e 4 cos( 4 ) tan( ) + log( + 4 ) i sin( 4 ) + 4 e 4 cos( 4 ) 4 tan( 4 ) + log( 4 ) iv. log( + 3 ) ( + 3) e v. + log( + ) 3 + log( ) v + sin(3) cos() v log( + ) 3 vi e e + e 3 cos(). + log( + ) 4 ) log( log( + + ) 4 ) log( + 4 i +

16 FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILITÀ Esercizio. (Limiti con De L Hôpital) Calcolare i seguenti iti utilizzando il teorema di De L Hôpital: i log(e 3 + ) + iii sin v ( sin ) vii +( + sin ) e + i cos( π cos()) ii π cos () log(sin()) e cos iv sin + vi ( π + arctan ). viii (sin ) log ( ) Esercizio 3. (continuità e derivabilità) Studiare continuità e derivabilità delle seguenti funzioni, eventualmente al variare dei parametri a, b, f : (, ) R quando: e sin( ) f() := f() := cos() f() := = = e log( + ). = sin(3 + a) f : R R quando: f() := b f() := = a + b >, e. sin() < 3 + a cos() < i f : R R quando: f() := b = f() := e b log( + ) > a iv. f : D R, dove D è il naturale insieme di definizione di f, da determinare, quando: f() := f() := f() := f() := 4 f() :=. Studio di funzione Esercizio 4. Studiare il grafico delle seguenti funzioni, specificando dominio, intersezione con gli assi, simmetria rispetto gli assi, segno della

17 FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILITà 3 funzione, iti al bordo del dominio, punti di discontinuità, asintoti, derivata prima, massimi e minimi relativi e globali, punti di non derivabilità, derivata seconda e convessità: Polinomiali e fratte i Radici 3 ( 5 + 6) Esponenziali e + e ( ) e e 3 + e + 3 e + e e + e ( + ) ( )(e ). Logaritmi ( ) ( ) log() + + log () log + log + ( ) ( ) log( + ) log( ) log log. 4 + Trigonometriche e altro 4 cos() + cos() ( e + arctan e cos() sin() + e ) log(cos() + 3 sin()) arctan() Esercizio 5. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame): La retta tangente al grafico della funzione f() := nel + punto (, f()) é: a 49y = 59 b 5y = c 7y = 4 d 3y = 4 7. L insieme dei β per i quali l equazione = β4 ha una soluzione in (, ) é: a β > b β > c β > d β > 3.

18 4 FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILITÀ i L equazione della retta perpendicolare al grafico di f() := cos( ) nel punto = é: a y = b y = c = d y =. iv. L asintoto obliquo di g() := + per + Ë: 3 a b c + d v. Sia g : R R una funzione derivabile tale che g() =, g () > per ogni R. Allora a g() < per < b g() > per < c esiste R tale che g ( ) = d esiste R tale che g( ) =.

19 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 9 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti Integrali Esercizio. Calcolate i seguenti integrali immediati i iv. v. v π/3 π/6 π/3 π/ π/6 tan()d e ep() d ep(sin()) cos()d sin 4 () cos()d (log() + ) d d log ( 3 + ) + d cos(3 ) + sin( )d π/6 π arctan() + d cos() sin()d cos 3 ()d + 3 d. Esercizio. Calcolare le primitive delle seguenti funzioni utilizzando la formula di integrazione per parti e sin()d arctan()d sin()d log()d sin ()d log()d 3 ep()d log()d i log()d 4 ep()d ep( )d e sin ()d iv. sin(log())d log( + )d sin 4 ()d. Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali utilizzando la formula di integrazione per sostituzione i π/4 4 sin() + cos () d ep( + ) d log( 3) ep() + ep() d π/3 π/6 ( + ) d 3 / sin() log(sin())d + d.

20 FOGLIO 9, INTEGRALI iv. v. v v vi. i iv. v. v v 4 π/3 π/6 π/3 π π/3 π/4 8 π/4 π/ π/3 π/6 (ep(3) + ) d 4 4 d + 3 π/4 sin() cos() d cos() d tan() cos() + d arctan()d. sin() + cos()(3 + sin ()) 3 sin 3 () + sin () + sin() + d e log(3 + e )d log( + ) cos( ) d d + + e e e + tan() cos() + sin() + d d d, cos() sin() d + 3 d, cos() 4 sin() + 3 cos() d, π/ π/ d 5 log(3) log() ( ) 5 d sin() log(sin())d 3 π/4 log() d sin ()d e (e ) d + e d. 4 sin() cos() cos 4 () 4 cos 3 () + 8 cos () 6 cos() + 6 d. cos() (cos() sin()) tan() d e 3 + e 3e e 3 e 4 d. Esercizio 4. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali fratte i iv. v d d d d 3 + d + 3 d d d d

21 FOGLIO 9, INTEGRALI 3 v v vi ( + ) ( + ) d d d d

22 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 9 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti Serie di Taylor Esercizio. Scrivere lo sviluppo in serie di Taylor nello delle seguenti funzioni, fermandosi al grado di sviluppo più opportuno: log( + sinh()) sin( ) tan( ) i sinh() cosh() iv. sin(log( + )) + log(sin()) log() v. arctan(sin()) sin() v sin() sinh( ) 3 v 9 sin(e ) 3 log( + ) 6 arctan() vi sinh() log( + ). n= Convergenza di Serie Esercizio. Si determini la somma delle seguenti serie geometriche: ( ) n [( ) n ( ) n ] ( ) n + i n n= Esercizio 3. Dimostrare che le seguenti serie telescopiche hanno somma finita e calcolarla. n n= n(n + 3) n= i n n= iv. n 3 + 3n + n. n= Esercizio 4. Studiare la convergenza delle seguenti serie: n n n= n + 3n + n= n=

23 FOGLIO 9, STUDIO DI FUNZIONE n 3 i 7 n n= n! iv. n 5 3 n n= ( ) n v. n 5 n= n v n! n= n v n! n= vi ( ) n (n!) n n= ( ) n n! n n n= + ( ) n. 3 n n= + ( ) n n n= Esercizio 5. Studiare, al variare del parametro R, la convergenza delle serie 4( + ) n n 3 n= ( ) n+ +. n i n= n= n n + n. Esercizio 6. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame): Trovare per quale valore α R è finito il ite sin + 3α 4. ( cos( )) Il polinomio di Taylor di secondo grado con centro nel punto = di f() = e /9 è: a 9 e /9 (3 ( ) ( 3 ) ) b 9 e /9 (9 ( ) 7( 9 ) ) c 9 e /9 (3 4( ) + 5 ( ) 3 d 9 e /9 (9 4( ) ( 9 ) ). i La somma delle serie 3 è: a 5 b c d 3. n 5 3 n=

24 FOGLIO 9, STUDIO DI FUNZIONE 3 iv. Se n= a n è una serie a termini positivi convergente con n= a n = a, allora: a n= a n diverge b n= an converge se a < diverge se a > c n= a n converge d n= a n diverge. n v. L insieme degli α R per i quali la serie converge n α + n α è: a α < e α > b α < 3 e α > 3 c < α < d 3 < α < 3. v Sia (a n ) n R \ } una successione tale che n= log( + a n) è convergente. Quale delle seguenti affermazione è vera: a E certo che n= a n converge b E certo che n= a n converge c n= a n può essere divergente d E certo che n= e an converge. v Determinare l insieme dei valori R per cui è convergente la serie ( n + n + ) n. 3 n n + 3 n= n=

25 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 9 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti Studio di funzione Esercizio. Studiare il grafico delle seguenti funzioni, specificando dominio, intersezione con gli assi, simmetria rispetto gli assi, segno della funzione, iti al bordo del dominio, punti di discontinuità, asintoti, derivata prima, massimi e minimi relativi e globali, punti di non derivabilità, derivata seconda e convessità: Polinomiali e fratte i Radici ( 5 + 6) ( ) Esponenziali e + e + e 3 e + 3 e e + e e + e ( + ) ( )(e ). Logaritmi ( ) ( ) log() + + log () log + log + ( ) ( ) log( + ) log( ) log log. 4 + Trigonometriche e altro 4 cos() + cos() ( e + arctan e cos() sin() + e ) log(cos() + 3 sin()) arctan()

26 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti Equazioni Differenziali Ordinarie Esercizio. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy y + y =, [ ] y() = cos() y () = y + y =, ] y() = [ e y () = y 5y + 6y = e 3 [ ( i y() = e e) e + ( ) ] e e e 3 y () = e + e 3 y y 6y = 5e 3 ] iv. y() = [( + )e 3 + e y () = y y + 7y = v. y() = [ ] y () = 6 e (cos(4) + sin(4)) y + y = +, [ ] v y() = + + sin() + cos() y () = y + y =, [ ] v y() = e y () = y y + y = e, ] vi y() = 3 [e + e 4e y () = y 4y + 4y = e [ ] y() = e + e e y () =

27 FOGLIO, EDO y + y = sin(3), [ ]. y() = 8 sin(3) sin() y () = 4 y + 4y = sin() [ ( ] y() = + ) cos() + sin() 4 y () = y 4y y = e 7 ( ) y() = [ ] y () = e 7 ( 4 + ) + 3 e7 + 7 e 3 y y + y = e (7 cos() + sin()) i y() = [ ] y () = 6 e (cos() + 3 sin()) + e sin() y 6y + y = e ( ) iv. y() = y () = 6 y y + 5y = 3e sin() v. y() = y () = 4 y 5y + 6y = e (6 + ) v y() = y () = 7 y 3y + y = e ( + sin() + cos()) v y() = y () = Esercizio. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy i iv. y y = ( + log()) + y() = 9 ẏ + y =, y() = 4 ẏ + 3 y = 4, y() = ( )ẏ = y + 3( ), y() = ] [4e [ ] 4 e 3 [ ] 3

28 3 ẏ + ( 3 )y = 3, v. y() = ẏ = y , v y() = ẏ = (y + ), v y() = ẏ = vi y + cos(), y(π) = π ( + )ẏ = y() = [( ) 4 π π 3. FOGLIO, EDO 3 y arctan() + arctan (), ] arctan() + arctan3 () y = tan()y + cos 3 () y() = y = y + + log( ), y() = [ ( 3 e )] [ log() 7 3 ] [ ( 3 log() log() )] 8 log()y = y + log 3 (), [ ( y(e) = e log() y + sin() i cos() y = cos(), y() = [ ( + sin() cos() 4 )] sin() y + iv. + = log( + ), y() = [ + ẏ + y = sin(), v. y() = ] [y() = 5 cos() + 5 sin() + 65 ep( ) ] [ + e [ ] + sin() [ ] + tan() cos() e + e log()+ ( + log( + ) log( + ) arctan() )] )]

29 4 FOGLIO, EDO ẏ + cos() v sin() y = 5ecos(), [y() = sin() + ] 5ecos() 5e cos() sin() y() =