Matematica con esercitazioni, Modulo 2. Analisi matematica. Diario delle lezioni.

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1 Matematica con esercitazioni, Modulo 2. Analisi matematica. Diario delle lezioni. Laurea triennale Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali. Rimini Avvertenza per gli studenti: il libro di testo di referimento è M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica. Zanichelli. 2 edizione, Diario delle lezioni Lezione 9 ottobre 207 (2) Grafici delle funzioni valore assoluto, le funzioni affini, le funzioni potenze di esponente intero positivo pari e dispari. Funzioni pari e dispari. Funzioni logaritmo ed esponenziale. Lezione 2 2 ottobre (3) Confronto tra i grafici delle funzioni f (), f () + k, f (), f ( ) e f ( + k). Funzioni monotone, funzioni composte. Successioni numeriche. Successioni comvergenti con esempi. Risolvere le disequazioni 2 > +, > + 2, ( + ) 2 < 4, + 3 < 0 Tracciare, seguendo i procedimenti discussi in classe, i grafici delle funzioni Risolvere le disequazioni f () = ( + 2) 2, 2 +, 3, 2, + + log(2) < 2 log( ),, log(( )( )) < log( ), log 0 < log e () 6/0 (2) e 9/0 (3) e 3 < 2, 0 < 2 e +, Successioni convergenti e divergenti. Proprietà dei iti: teorema del confronto ( ) e della permanenza del segno ( ). Limiti di somme, prodotti e quozienti. Algebra degli infiniti. Punti di accumulazione di un insieme. Limiti di funzioni. Limiti destri e sinistri.

2 Matematica con esercitazioni. Modulo 2. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [3 dicembre 208] evidenziando le potenze piú grandi di n i seguenti iti 0 n + n + n 2n 2 +, n n + + n + α 2 n 2 n 3 n + n n 3n 7/2 2 n 3/4 per ogni α R n + nα ( + n 2 n) per ogni α R sin(), log(2 + ) 2 0+ e (per i iti precedenti serve capure se le funzioni a denominatore tendono a 0+ o 0 ). Mar 23 (2) e ven 26 (3) su iti destri e sinistri. Funzioni continue Teorema di Weierstrass. Def di punto di massimo/minimo locale e globale. Studio dei iti notevoli di sin, ep e log. log a ( + ) 0 2 2, + e2 + log( + e 2 ), α sin() 0 sin 2 ( + 0 )/, con α R. ( + sin 0± )/2. sin(sin()) 0+ e sin 2 Per gli ultimi due, usare il fatto che se f e g sono funzioni positive, allora f () g() = ep(log( f () g() ))... Martedí 30 Definizione di derivata. Calcolo con la definizione delle derivate delle funzioni elementari (potenze, esponenziale logaritmo, funzioni circolari...) Lunedí 5 e Martedí 6 novembre 208 Simbooli di Landau (di o piccolo). Derivabilità e approssimazione lineare ( ). Fomula di Taylor del primo ordine, relativo polinomio e equazione della retta tangente al grafico. per la derivata di una funzione composta ( ). le derivate delle seguenti funzioni: d d cos(2), d d e2, d d log( + 32 ), f () = a cos, (a > 0), f () = sin ( + 2 cos ), f () = ( + e 2 + sin ) 2, f () = /2, f () = ep(sin(2 )), 2

3 Matematica con esercitazioni. Modulo 2. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [3 dicembre 208] f () = 2 e 2 sin. le seguenti derivate: f () = 2 sin + 2 cos f () = 2 (sin + 2 cos ) f () = (2 3 ) (2 3 + ) f () = ( 2 + ) e f () = f () = log f () = f () = 3 log f () = f () = + a log, a > 0 f () = f () = a sin cos f () = 4 sin(2) 3 cos(3 + ) f () = log( ) f () = f () = e f () = sin 3 + sin( 3 ) f () = tan( ) f () = 4 (2 2 5) 3 f () = (log ) log + 2 f () = 2 2 f () = log log f () = f () = log( 2 + ) f () = 2 f () = ( a ) 2, a > 0 f () = λe λ, λ > 0 a f () = r e, r > 0 f () = a ( ) b, a, b > 0 f () = + ep( ), Scrivere il polinomio di Taylor del primo ordine delle seguenti funzioni f nei punti 0 indicati, assieme all equazione della retta tangente al grafico di f in ( 0, f ( 0 )). f () = sin(), 0 = π 2, e 0 = π 4 f () = log cos, 0 = 0, 0 = π 6 f () = e 2, 0 = 2 f () = ( + ) α, 0 = 0 e 0 = 2,. Venerdí 9 novembre Teorema di Fermat ( ), Rolle ( ) e Lagrange ( ) Lunedí 2 novembre, martedí 3, venerdí 6 Teorema di de L Hopital (( ) nel caso di a+ f ()/g() = 0/0). Relativi esercizi. Funzioni crescenti e segno della derivata ( ). Formula di Taylor del secondo ordine. COndizioni sufficienti del secondo ordine per punti di massimo/minimo. 3

4 Matematica con esercitazioni. Modulo 2. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [3 dicembre 208] Seguendo il metodo utilizzato a lezione, tracciare i grafici delle seguenti funzioni nei loro domini naturali f () = + 2, f () = e, f () = sinh, f () = cosh, f () = log(), f () = e /., f () = e + 2e. Scrivere la formula di Taylor di ordine 2 per le funzioni f () scritte sotto nei punti 0 e indicati. f () = e, 0 = 0 f () = arctan, 0 = 0, = f () = ( + ) α, f () = cosh, f () = log( + ), 0 = 0. Trovare il valore di p R per cui la seguente formula di ordine tre per funzioni con derivata terza continua è corretta f ( 0 + h) = f ( 0 ) + f ( 0 )h + f ( 0 ) h2 2 + ph3 + o(h 3 ). Usare tre volte la regola di de l Hopital. 9, 20, 2, 22 e 26 novembre Funzioni convesse derivabili e caratterizzazione in termini di crescita della deerivata prima ( ). su f=unzioni convesse. Formula di Tayllor di ordine superiore. Somme di Riemann e definizione di integrale. Primitive. Caratterizzazione delle primitive ( ). Funzioni intgrali. Teorema fondamentele del calcolo. Formula di Torricelli per il calcolo degli integrali definiti ( ). Integrazione per parti ( ). Formula per il cambio di variabile negli integrali ( ). 27, 30 novembre Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari. Equazioni a variabili separabili. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy y = t log t y, y(0) = y 0 y = 2ty + t 3 y(0) = 2 y + y = e t y(0) = t 2 y = y + 2t 3, y() = 2 y = + y sin t y(0) = y log y == cos t y y() = 2 y = y 2 t y(0) = 0 y = y 2 t y() = y = (y + ) 2 t y(0) = e t+y y = t, y() = 2 4

5 Matematica con esercitazioni. Modulo 2. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [3 dicembre 208] 7,0,,2,4 dicembre y + 4y = 0 con y(0) = 0 e y (0) =. 9y 6y + y = 0 con y(0) = 0 e y (0) =. y + 6y + 25y = 0 con y( ) = 0 e y ( ) =. y 2y 3y = 0, con y() = y 0 e y () = v 0. y = y y, con y(0) = e y (0) =. Introduzione alle funzioni di piú variabili. Grafici, insiemi di livello ed esempi relativi. Cenni alle funzioni continue. Derivate parziali. Differenziabilità/approssimazione di Taylor del primo ordine. Piano tangente al grafico di una funzione di due variabili. Direzione di massima crescita di una funzione differenziabile. Cammini parametrizzati, calcolo di velocità e accelerazione. Derivata lungo una curva di una funzione scalare. Ortogonalità tra gradiente di una funzione e linee di livello. Data la funzione f (, y) = y, scrivere il polinomio di Taylor del primo ordine di f con punto iniziale ( 2, ). le derivate parziali delle funzioni f (, y) = y 2 + log(y), f (, y) = e, f (, y) = sin( 2 + y 2 ), f (, y) = 2 + e y, f (, y) = arctan( 2 + y), f (, y) = e /y, f (, y) = y 2, f (, y, z) = ( ) + yz, f (, y, z) = log + y 2 + z 2 Della funzione f (, y, z) = + yz scrivere il polinomio di Taylor di grado uno e punto iniziale (, y, z) = (,, 2). il gradiente f (, y) delle funzioni f (, y) = 2 + y, f (, y) = e 2 +y 2 e dire in quali punti (, y) R 2 vale f (, y) = (0, 0). i gradienti f (, y) e g(, y) delle funzioni f (, y) = + y g(, y) = e y. Per quali scelte di (, y) tali vettori sono paralleli? Per quali scelte sono invece perpendicolari? le derivate direzionali f v (, y) utilizzando la formula del gradiente vista in classe: f (, y) = y (, y) = (, 2) v = (cos θ, sin θ) ( 2 f (, y) = 2 + y 2 (, y) = (, 2) v = (cos θ, sin θ) e v =, ) 2 5

6 Matematica con esercitazioni. Modulo 2. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [3 dicembre 208] Individuare la direzione di massima crescita v ma per le funzioni f (, y) = nel punto 2 +y 2 P = (, 2) e f 2 (, y) = ep(/y) in P = ( 3, ). po per entrambe i valori della derivata f v (P) corrispondenti. la velocità e l accelerazione delle curve r(t) = (t 2, t 3 + log t) r(t) = (te t, t +, t 3 ) Data una funzione qualsiasi f : R 2 R differenziabile, calcolare, usando la formula per la derivata lungo una curva, la derivata della funzione h(t) = f (t 2, t 3 ) Facendo l opportuna generalizzazione della formula appena usata, calcolare le derivate parziali della funzione composta R 2 (u, v) f (uv, u 2 + v 2 ) Dato l insieme calcolare l integrale sul triangolo A = la misura dell insieme Modelli di compito modelli.pdf u f (uv, u2 + v 2 ), v f (uv, u2 + v 2 ) A = {(, y) R 2 : 2, y, 2 y} A y ddy yddy, A { (, y) R 2 : 0, y e y + 2 }. A = {(, y) : < e 0 < ( + )y < }. 6

7 Matematica con esercitazioni. Modulo 2. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [3 dicembre 208] Lista degli argomenti di teoria Nota: l asterisco accanto a un teorema significa che è stata svolta la dimostrazione (*) Definizione di funzione monotona. Definizione di successione convergente/divergente. Teoremi sui iti: unicità (*), permanenza del segno e del cofronto (*). Limiti di funzioni. Funzioni continue. Definizione di derivata. Derivate di somme, prodotti (*), quozienti e funzioni composte (*). Punti di massimo/minimo Teorema di Fermat (*). Teorema di Weierstrass. Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange (*). Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti (*) e delle funzioni monotone derivabili (*). Introduzione alla nozione di integrale. Enunciato del teorema fondamentale del calcolo e Formula di Torricelli ( ). Forula di integrazione per parti ( ) e di cambio variabile ( ). Definizione di derivata parziale, gradiente per funzioni di due o piú variabili. Definizione di funzione differenziabile e di differenziale. Definizione di piano tangente al grafico di una funzione. Definizione di derivata direzionale. Formula del gradiente. Direzione di massima crescita per una funzione di due variabili. Nozione di curva, vettore tangente e formula per la derivata lungo una curva. Calcolo di alcuni integrali doppi su domini semplici attraverso la formula di riduzione. 7