ANALISI MATEMATICA 1-11/02/2019 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica. Primo Appello - Test 1

Transcript

1 ANALISI MATEMATICA - /2/29 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Il candidato deve riportare nella griglia le risposte che ritiene corrette. Al termine della prova il candidato deve riconsegnare questo foglio. La prova è superata se si è risposto correttamente ad almeno 7 dei quesiti assegnati. Tempo a disposizione: 3 minuti. Primo Appello - Test Il dominio della funzione f(x) = ln(x ) è A) R \ {} B) R C) ], + [ D) [, + [ E) Nessuna delle precedenti. 2. L integrale (5x 4 + 3x 2 + ) dx vale A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Nessuna delle precedenti. 3. Data la serie + n=2 n 2α, per quale tra i seguenti valori di α essa converge? ln n A) α = B) α = C) α = 3 ( 4. Il lim + ) x vale x + 2x D) α = 2 E) Nessuna delle precedenti. A) B) + C) e D) e 2 E) Nessuna delle precedenti. 5. Sia serie? a n serie a termini positivi. Quale tra le seguenti condizioni assicura la convergenza della n= A) n a n 2 n B) a n+ a n 3 n C) lim n a n = D) a n n 6. Sia f(x) = ln( + 2x) + sen x. Allora f () vale E) Nessuna delle precedenti. A) B) 2 C) 3 D) E) Nessuna delle precedenti. (ln n) 5 7. Il lim vale n + n A) + B) C) e D) E) Nessuna delle precedenti Per quale tra i seguenti valori di α l integrale x α/2 dx converge? + A) B) 2 C) 3 D) /2 E) Nessuna delle precedenti. x e 2t 9. Sia F (x) = t + dt. Allora F () vale A) B) C) 2 D) 3 E) Nessuna delle precedenti.. Data l equazione differenziale y = y 2, quale tra le seguenti funzioni è soluzione? A) y(t) = /t B) y(t) = /t C) y(t) = t 2 D) y(t) = sen t E) Nessuna delle precedenti.

2 ANALISI MATEMATICA - /2/29 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Il candidato deve riportare nella griglia le risposte che ritiene corrette. Al termine della prova il candidato deve riconsegnare questo foglio. La prova è superata se si è risposto correttamente ad almeno 7 dei quesiti assegnati. Tempo a disposizione: 3 minuti. Primo Appello - Test (. Il lim + 2x vale x + x) A) B) e 2 C) + D) e 2 E) Nessuna delle precedenti. x e t 2. Sia F (x) = t 2 + dt. Allora F () vale A) B) 2 C) /2 D) 3 E) Nessuna delle precedenti. 3. Data l equazione differenziale y = 3y, quale tra le seguenti funzioni è soluzione? A) y(t) = cos(3t) B) y(t) = sen(3t) C) y(t) = e 3t D) y(t) = 3e t E) Nessuna delle precedenti. 4. Il dominio della funzione f(x) = ln x è A) R \ {} B) [, + [ C) ], + [ D) R E) Nessuna delle precedenti. 5. Il lim n + n5 e n/2 vale A) + B) e C) D) E) Nessuna delle precedenti. 6. Sia f(x) = e 2x cos x. Allora f () vale A) B) C) e D) 2 E) Nessuna delle precedenti. 7. Sia serie? a n serie a termini positivi. Quale tra le seguenti condizioni assicura la convergenza della n= A) a n+ n B) lim a n = C) a n a n 3 n D) a n n n n 3 E) Nessuna delle precedenti. 8. L integrale dx converge per tutti e soli gli α nell insieme xα/2 A) ], ] B) ], [ C) ]2, + [ D) ], 2[ E) Nessuna delle precedenti. 9. L integrale (6x 7 + x 4 + ) dx vale A) 27 B) C) 5 D) 2 E) Nessuna delle precedenti.. Data la serie + n= (2α) n, per quale tra i seguenti valori di α essa converge? A) α = /2 B) α = /3 C) α = D) α = /2 E) Nessuna delle precedenti.

3 ANALISI MATEMATICA - /2/29 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Il candidato deve riportare nella griglia le risposte che ritiene corrette. Al termine della prova il candidato deve riconsegnare questo foglio. La prova è superata se si è risposto correttamente ad almeno 7 dei quesiti assegnati. Tempo a disposizione: 3 minuti. Primo Appello - Test Data l equazione differenziale y =, quale tra le seguenti funzioni è soluzione? y A) y(t) = t B) y(t) = e t C) y(t) = e /t D) y(t) = 2t E) Nessuna delle precedenti. 2. Sia f(x) = e x sen(2x). Allora f () vale A) 2 B) C) 2 D) e E) Nessuna delle precedenti. x ln( + t 2 ) 3. Sia F (x) = dt. Allora F () vale t + 2 A) 2 B) C) D) /2 E) Nessuna delle precedenti L integrale dx converge per tutti e soli gli α nell insieme x 2 α+ A) ], + [ B) ], + [ C) ], [ D) ], [ E) Nessuna delle precedenti. n! 5. Il lim n + e n vale A) + B) C) e D) E) Nessuna delle precedenti. 6. L integrale (2 sen(2x) + 5x 4 ) dx vale A) 4 B) 2 C) 6 D) 5 E) Nessuna delle precedenti. 7. Sia serie? a n serie a termini positivi. Quale tra le seguenti condizioni assicura la convergenza della n= A) a n+ 2 n B) lim a n = C) a n a n /2 n D) a n n n n ( 8. Il lim + x/2 vale x + x) E) Nessuna delle precedenti. A) B) + C) e D) e 2 E) Nessuna delle precedenti. 9. Data la serie + n= n α/2, per quale tra i seguenti valori di α essa converge? ln n A) α = /2 B) α = C) α = 2 D) α = /2 E) Nessuna delle precedenti.. Il dominio della funzione f(x) = ln(2 x) è A) R \ {2} B) ], 2[ C) ]2, + [ D) ], 2] E) Nessuna delle precedenti.

4 ANALISI MATEMATICA - /2/29 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Il candidato deve riportare nella griglia le risposte che ritiene corrette. Al termine della prova il candidato deve riconsegnare questo foglio. La prova è superata se si è risposto correttamente ad almeno 7 dei quesiti assegnati. Tempo a disposizione: 3 minuti. Primo Appello - Test Sia serie? a n serie a termini positivi. Quale tra le seguenti condizioni assicura la convergenza della n= A) a n+ 3 n B) lim a n = C) a n a n n n 3 D) n a n 2 n E) Nessuna delle precedenti Per quale tra i seguenti valori di α l integrale dx converge? x 2α A) α = /2 B) α = C) α = /3 D) α = E) Nessuna delle precedenti. 3. Sia f(x) = e x + sen(2x). Allora f () vale A) 2 B) C) 2 D) e E) Nessuna delle precedenti. 4. Data l equazione differenziale y = 2ty, quale tra le seguenti funzioni è soluzione? A) y(t) = sen(t 2 ) B) y(t) = e 2t C) y(t) = e t2 D) y(t) = e t2 E) Nessuna delle precedenti. 5. Il dominio della funzione f(x) = ln 2 x è A) R \ {} B) ], 2[ C) ]2, + [ D) ], + [ E) Nessuna delle precedenti. 6. Data la serie + n=, per quale tra i seguenti valori di α essa converge? n3 α A) α = 2 B) α = 3 C) α = 2 D) α = 4 E) Nessuna delle precedenti. e n 7. Il lim n + n n vale A) 2 B) C) e D) E) Nessuna delle precedenti. x cos t 8. Sia F (x) = 2 t + 2 dt. Allora F () vale A) B) C) 2 D) /2 E) Nessuna delle precedenti. ( 9. Il lim + x vale x + x) A) e B) e 2 C) D) + E) Nessuna delle precedenti.. L integrale π (cos x + 3x 2 + π 2 ) dx vale A) 3 B) π 2 C) 2π D) 2π 3 E) Nessuna delle precedenti.

5 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: 4 minuti. Il candidato deve riconsegnare questo foglio con le risposte che ha saputo fornire. Tema (parte di teoria) Quesito [5 punti]. Si dia la definizione di serie divergente. 2. Dimostrare che una serie a termini positivi non è indeterminata. Quesito 2 [5 punti]. Si dia la definizione di funzione monotona crescente. 2. Si dimostri che, se una funzione f :]a, b[ R è derivabile e monotona crescente, allora la sua derivata soddisfa f (x) per ogni x ]a, b[.

6 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: 4 minuti. Il candidato deve riconsegnare questo foglio con le risposte che ha saputo fornire. Tema 2 (parte di teoria) Quesito [5 punti]. Si dia la definizione di funzione continua. 2. Si enunci e dimostri il teorema di Lagrange. Quesito 2 [5 punti]. Si dia la definizione di serie convergente. 2. Si dimostri che il termine generale di una serie convergente è infinitesimo.

7 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: 4 minuti. Il candidato deve riconsegnare questo foglio con le risposte che ha saputo fornire. Tema 3 (parte di teoria) Quesito [5 punti]. Si dia la definizione di punto di massimo relativo per una funzione. 2. Si enunci e dimostri il teorema di Fermat. Quesito 2 [5 punti]. Si dia la definizione di serie convergente. 2. Si dimostri che il termine generale di una serie convergente è infinitesimo.

8 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: 4 minuti. Il candidato deve riconsegnare questo foglio con le risposte che ha saputo fornire. Tema 4 (parte di teoria) Quesito [5 punti]. Si dia la definizione di serie divergente. 2. Dimostrare che una serie a termini positivi non è indeterminata. Quesito 2 [5 punti]. Si definisca cosa significa che f = o(g) per x x. 2. Si enunci e dimostri il Principio di Sostituzione degli Infinitesimi.

9 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: due ore. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. Esercizio [9 punti] Sia f la funzione definita da Tema (parte di esercizi) f(x) = arctan ( x 2 ) + x2 x 2 x 2.. [7 punti] Studiare la funzione f, determinando dominio, simmetrie, segno, continuità, limiti ed eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto. Disegnare il grafico di f. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. Sugg: per lo studio del segno può essere utile sapere che arctan t t se e solo se t. 2. [2 punti] Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo per x della funzione Esercizio 2 [7 punti] ϕ(x) = f(x) + e / x.. [4 punti] Studiare la convergenza dell integrale generalizzato (sen x) 2 + cosh x x 5/2 ln(x/2) Sugg.: ricordare che cosh t = + t2 2 + o(t2 ) per t. 2. [3 punti] Trovare tutti e soli gli α ], + [ per i quali converge l integrale generalizzato Esercizio 3 [6 punti] (sen x) 2α + cosh x α x 5/2 ln(x/2). [3 punti] Utilizzando la sostituzione x = t, calcolare π 2 t sen t dt. 2. [3 punti] Risolvere il problema di Cauchy { y = y 2 t sen t y(π 2 ) =.

10 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: due ore. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. Esercizio [9 punti] Sia f la funzione definita da Tema 2 (parte di esercizi) f(x) = arctan ( 2x 2 ) 8 8 2x2 x 4 x 4.. [7 punti] Studiare la funzione f, determinando dominio, simmetrie, segno, continuità, limiti ed eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto. Disegnare il grafico di f. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. Sugg: per lo studio del segno può essere utile sapere che arctan t t se e solo se t. 2. [2 punti] Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo per x 2 della funzione Esercizio 2 [7 punti] ϕ(x) = f(x) + e / x 2.. [4 punti] Studiare la convergenza dell integrale generalizzato (ln( + x)) 2 + senh x 2 x 7/3 ln(x/3) Sugg.: ricordare che senh t = t + o(t) per t. 2. [3 punti] Trovare tutti e soli gli α ], + [ per i quali converge l integrale generalizzato (ln( + x)) 2α + senh x 2α x 7/3 ln(x/3) Esercizio 3 [6 punti]. [3 punti] Utilizzando la sostituzione x = 2t, calcolare π 2 /8 2t sen 2t dt. 2. [3 punti] Risolvere il problema di Cauchy { y = y 2 2t sen 2t y(π 2 /8) = 2.

11 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: due ore. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. Esercizio [9 punti] Sia f la funzione definita da Tema 3 (parte di esercizi) ( ) x 2 f(x) = arctan 2x 6 x2 2x 6.. [7 punti] Studiare la funzione f, determinando dominio, simmetrie, segno, continuità, limiti ed eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto. Disegnare il grafico di f. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. Sugg: per lo studio del segno può essere utile sapere che arctan t t se e solo se t. 2. [2 punti] Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo per x della funzione Esercizio 2 [7 punti] ϕ(x) = f(x) + e / x+.. [4 punti] Studiare la convergenza dell integrale generalizzato cosh x 3/2 + (tan x) 3 x 7/2 ln(x/4) Sugg.: ricordare che cosh t = + t2 2 + o(t2 ) per t. 2. [3 punti] Trovare tutti e soli gli α ], + [ per i quali converge l integrale generalizzato Esercizio 3 [6 punti] cosh x 3α/2 + (tan x) 3α x 7/2 ln(x/4). [3 punti] Utilizzando la sostituzione x = t, calcolare π 2 t cos t dt. 2. [3 punti] Risolvere il problema di Cauchy { y = y 2 t cos t y(π 2 ) =.

12 Analisi Matematica per IM - /2/29 Tempo a disposizione: due ore. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. Esercizio [9 punti] Sia f la funzione definita da Tema 4 (parte di esercizi) f(x) = 4 x2 x 5 arctan ( x 2 ) 4 x 5. [7 punti] Studiare la funzione f, determinando dominio, simmetrie, segno, continuità, limiti ed eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto. Disegnare il grafico di f. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. Sugg: per lo studio del segno può essere utile sapere che arctan t t se e solo se t. 2. [2 punti] Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo per x 2 della funzione Esercizio 2 [7 punti] ϕ(x) = f(x) + e / x+2.. [4 punti] Studiare la convergenza dell integrale generalizzato. (tan x) 4 + e x2 x 2 x 9/2 ln(x/2) Sugg.: ricordare che e t = + t + t2 2 + o(t2 ) per t. 2. [3 punti] Trovare tutti e soli gli α ], + [ per i quali converge l integrale generalizzato (tan x) 4α + e x2α x 2α x 9/2 ln(x/2) Esercizio 3 [6 punti]. [3 punti] Utilizzando la sostituzione x = 2t, calcolare π 2 /8 2t cos 2t dt. 2. [3 punti] Risolvere il problema di Cauchy { y = y 2 2t cos 2t y(π 2 /8) = 2.