Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 17/06/2014

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1 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 17/06/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: Desidero sostenere la prova orale al prossimo appello 1)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α 0 converge il seguente integrale + 3 4x 2α (x 2 9) 3α dx. 1 4 < α < 1 3 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α > 0 converge la seguente serie + n=1 1 cos( 1 n 3α ) ( α) n. α 1 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: (z) 4 = 8 z. {0, ±2, ±2i} 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = x 3 + y 3 xy

2 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = 2 x y 2, V = {(x, y) R 2 ; y x 1 y 2 } 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = y, A = {(x, y) R2 ; y e x, (x 1) 2 +y 2 e 2, x 0, y 1} 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y (t) = 3t y 2 (t), y(0) = 0

3 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 17/06/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: Desidero sostenere la prova orale al prossimo appello 1)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α 0 converge il seguente integrale x 3α (x 2 16) 5α dx. 1 7 < α < 1 5 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α > 0 converge la seguente serie + n=1 ( ) 2 sin( 1 ) n 5α ( α) n. α 1 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: (z) 6 = z. { 0, ±1, 1 } ± i 2, 1 2 ± i 2 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = x 3 + y 3 + xy

4 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = 3 + y x 2, V = {(x, y) R 2 ; x 2 2 y x } 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = y, A = {(x, y) R2 ; y e x, (x 1) 2 +y 2 e 2, x 0, y 1} 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y (t) = 2t 1 + y 2 (t), y(0) = 0

5 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 01/07/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: Desidero sostenere la prova orale al prossimo appello 1)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α R converge il seguente integrale 2 2 ( x 2 4x + 4 x + 2 ) α dx. 1 2 < α < 1 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α R converge la seguente serie + ( 3α 4 ) n(3n 2 + 4α). α < 4 3 n=1 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: (3 2z) 3 = 5i. { z k = 3 } ei( π 6 + 2kπ 3 ), k = 0, 1, 2 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = x sin(y)

6 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = 8x 2 + 8y 2, V = {(x, y) R 2 ; 1 3x 2 x 2 + y 2 < 4} 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y, z) = z, A = {(x, y, z) R3 ; 3z x 2 +y 2 ; x 2 +y 2 +z 2 4, xy 0} 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 6y + 9y = e 3t, y(0) = 0, y (0) = 1

7 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 01/07/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: Desidero sostenere la prova orale al prossimo appello 1)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α R converge il seguente integrale 1 1 ( x 2 2x + 1 x + 1 ) α dx. 1 2 < α < 1 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro reale α R converge la seguente serie + ( 2α 5 ) n(2n 2 + 5α). α < 5 2 n=1 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: (4 + 3z) 3 = 7i. { z k = 4 } ei( π 2 + 2kπ 3 ), k = 0, 1, 2 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = y cos(x)

8 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = 3x 2 + 3y 2, V = {(x, y) R 2 ; 1 < x 2 + y y 2 } 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y, z) = z, A = {(x, y, z) R3 ; 2z x 2 +y 2 ; x 2 +y 2 +z 2 3, xy 0} 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + y 2y = e t, y(0) = 0, y (0) = 1

9 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 23/07/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: )(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α R converge il seguente integrale + 1 (x 1) 2α e x2 dx. α > 1 2 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α R converge la seguente serie + n=1 n α α n. α 1, α > 1 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: z 4 z 5 = 3iz 2. { 0, i 7 } 3 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = x 2 (1 y)

10 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = log( (x, y) ), V = {(x, y) R 2 ; 0 < x 2 + 4y 2 4} 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = 8x + 3y, A = {(x, y) R2 ; 0 5x + 7y (3x 4y) 2 4} 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: (t + 1)y 2 + y = 0, y(0) = 1

11 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 23/07/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: )(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α R converge il seguente integrale 0 x 3α e x2 dx. α > 1 3 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α R converge la seguente serie + n=1 n nα α n. α 0 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: z 3 z 4 = 2z 2. { 0, 5 } 2 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = y 2 (x 1)

12 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = 1 (x, y), V = {(x, y) R2 ; 0 < 9x 2 + y 2 9} 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = 3x 8y, A = {(x, y) R2 ; (7x 5y) 2 4x + 3y 9} 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: (t 2)y 1 + y = 0, y(3) = 2

13 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 09/09/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: )(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α > 0 converge il seguente integrale + 0 sin(x 2α ) x 2 dx. α > 1 2 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α R converge la seguente serie + n=1 n 3 5 αn. α > 0 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: z 4 (z 3 + 1) = 0. { 0, 1, 1 } 3 2 ± i 2 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = xe 2(x2 +y 2 )

14 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = log( (x, y) ), V = {(x, y) R 2 ; 1 < x 2 + y 2 4, x 0} 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = x yx2, A = {(x, y) R 2 ; y 4 x y 2 } 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 4y = cos(2t), y(0) = y (0) = 1

15 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 09/09/2014 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: )(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α > 0 converge il seguente integrale cos(x α ) x 3 dx. α > 1 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α R converge la seguente serie + n=1 ( 1 1 ) αn 2. α > 0 n 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: z 3 (z 4 + i) = 0. { } 0, e i( 3π 8 + kπ 2 ), k = 0, 1, 2, 3 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = ye 8(x2 +y 2 )

16 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = 1 (x, y), V = {(x, y) R2 ; 1 x 2 + y 2 < 9, y 0} 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = x2 y, A = {(x, y) R 2 ; y 3 x y 2 } 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 9y = sin(3t), y(0) = y (0) = 1

17 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 14/01/2015 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: Desidero sostenere la prova orale al prossimo appello 1)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α > 0 converge il seguente integrale sin(x 3α ) 4x 7 log(5 + x 6 ) dx. α > 2 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α > 0 converge la seguente serie + n=1 ( log ) ( 1 n α sin ). n α α > 1 2 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: (z + 1) 4 = z + 1. { 0, 1, 3 } 3 2 ± i 2 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = x 3 + y 3 + xy

18 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = (x 2 1)(y 2 1), V = {(x, y) R 2 ; 1 x 2, y 1} 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = xe y2, A = {(x, y) R 2 ; 1 x 1, 0 y 1 x 2 } ) 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y (t) = 3(1 + y 2 (t)), y( π 3 = 0

19 Prova scritta di Analisi Matematica T-B, Ingegneria Meccanica, 09/02/2015 MATRICOLA:...NOME e COGNOME: )(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α R converge il seguente integrale (x 1) 3α (x 2 + 1) α (4 x 2 ) 2 5α dx. 1 5 < α < 1 3 2)(4 punti) Stabilire per quali valori del parametro α > 0 converge la seguente serie + n=1 n! α n n n. α < e 3)(4 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso: (3z + 2) 4 = 8(i 3 1). { z k = } 3 ei( π 6 + kπ 2 ), k = 0, 1, 2, 3 4)(4 punti) Scrivere il differenziale della seguente funzione, poi trovare i punti critici e classificarli f : R 2 R, f(x, y) = e y x (y 2 2x 2 )

20 5)(5 punti) Determinare f(v ), dove f(x, y) = x 2 + y 2 2x + 2, V = {(x, y) R 2 ; 0 y x 1} 6)(4 punti) Calcolare A f, dove f(x, y) = 4xy, A = {(x, y) R2 ; x 2 + y 2 1 x + y, x 0, y 0} 7)(5 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 9y = 6 cos(3x), y(0) = 2, y (0) = 6