Compiti d Esame A.A. 2005/2006

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1 Compiti d Esame A.A. 25/26 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA A.A. 25/26 I Esercitazione 21 Aprile 26 { y = xy ln(xy) si chiede di dimostrare che: y(1) = 1, (a) ammette un unica soluzione massimale y = y(x); (b) tale soluzione è globale a destra ma non a sinistra; (c) la soluzione è convessa per x > 1 e concava per x < 1; (d) lim x y(x) =. Esercizio 2. Risolvere { y = e y y() =, y () = 2. Esercizio 3. Tra tutte le soluzioni dell equazione u 4u = x determinare quelle u(x) per cui lim =. x x 3 Esercizio 4. Risolvere x 3 u 6xu = x 3 ln x. Esercizio 5. Considerato il problema di Cauchy ( ) u = x e + arctan u 1 + x3 ln(u 2 + 1) (P ) u u() = 1, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false: (a) (P ) ha un unica soluzione globale u > ; (b) u è di classe C 3 su R; (c) u è di classe C 4 su R; (d) lim x u(x) =.

2 A.A. 25/26 II Esercitazione 15 Giugno 26 Esercizio 1. Si consideri il sistema Y = AY + B(x), con A = ( ) e B(x) = ( ) e x 2e 2x. Si chiede di: (a) calcolare det e A ; (b) calcolare una matrice fondamentale; (c) calcolare e xa ; (d) risolvere il sistema. Esercizio 2. Trovare la funzione continua y : R R tale che y(x) = x 2 + Esercizio 3. Per ogni α > si ponga I n (α) = (a) esprimere I n (α) in termini della funzione Γ; (b) calcolare I 4 (4); I n (α) (c) calcolare lim n n 4 Γ(n/α). y(t) sin 2(x t) dt. R n e x α x 3α dx. Si chiede di: Esercizio 4. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di (e sin log(1 + 2 n ) n 3/5 1) sin nx, sin nx, arctan ( log ( n 1/2)) cos nx. n! Esercizio 5. Sia g : R R convessa e h : R R strettamente convessa. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false: (a) g h è strettamente convessa; (b) g h è strettamente concava; (c) g + h 3 è strettamente convessa; V F (d) (g + h) [,1] ha minimo.

3 A.A. 25/26 19 Giugno 26 y = x2 y 2 1 2xy y(1) = 1, (a) dimostrare che ammette un unica soluzione massimale y = y(x); (b) trovare tale soluzione determinandone l intervallo massimale; (c) tracciare un grafico qualitativo della stessa. Esercizio 2. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (x 2 + ye x, y 2 e x /2, y 2xz), si chiede di: (a) discutere la risolubilità di ( ) rot U = F ; (b) in caso affermativo, trovare tutte le soluzioni di ( ). Esercizio 3. Assegnata la f.d.l. ω = x ( y + f(y) ) dx + ( y 2 + x2 2 f(y)) dy, (a) trovare l unica funzione f : R R di classe C 1 con f() = tale che ω sia esatta; (b) calcolare il potenziale F di ω con F (, ) = e calcolare F ; (c) detta g la funzione periodica di periodo 2π tale che g(x) = F (x, x 2 ) se x [ π, π), si chiede di stabilire il tipo di convergenza della sua serie di Fourier e concludere quindi che tale serie non può essere cos nx n(ln n). 1/3 n=2 Esercizio 4. Sia f : R n R convessa e positiva. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false: (a) f 2 è convessa; (b) log f è convessa; (c) e f è convessa; (d) f ha minimo in R n.

4 A.A. 25/26 22 Giugno 26 { y = (arctan xy) 2 + x, y() =, (a) riconoscere che ammette un unica soluzione definita in tutto R; (b) studiare la monotonia e la simmetria della soluzione; si chiede di: (c) determinare, dopo averne giustificato l esistenza, lim x y(x) e lim x y(x); (d) calcolare lim x x α y(x) per ogni α < 2; (e) tracciare un qualitativo della soluzione. Esercizio 2. Riconoscere che esiste unica funzione di classe C 1 definita in un intorno U di x = 1, tale che y( 1) = e y(x) = e y(x) x, x U. Tale funzione è definita in x =? Esercizio 3. Dato il problema di Cauchy (P ) α y = y(e x + y α ), y() = 1, α 2 2e x αyα si chiede di: (a) riconoscere che esso ammette un unica soluzione in piccolo; (b) determinare, mediante la ricerca del fattore integrante della forma differenziale associata, la soluzione di (P ) α in forma implicita. Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di [( 1 + n) 1 n ] e sin nx, sinh 1 [ ] n cos nx, 1 cos (sin nx+cos nx). n2 n + 1 n=2 Esercizio 5. Sia f : [a, b] R convessa e derivabile e sia x (a, b) tale che f (x ) =. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false: (a) x è un punto estremante relativo; n=2 (b) f(x ) è minimo assoluto; (c) ln f(x) ha minimo in x ; (d) e f(x) ha minimo in x ; (e) f(x) (x x ) 2 ha minimo in x ;

5 A.A. 25/26 4 Luglio 26 Esercizio 1. Sia B = {x R n : x < 1} e sia u : B R una funzione di classe C 3 con supporto compatto in B. Dimostrare allora che n ( ) ( u) u dx = dx. x i x j B B i,j=1 Esercizio 2. Determinare l unica funzione f : R R di classe C 1 tale che f() = e per cui la f.d.l. ( ω = log(x + y) + f(x) ) dx + f(x) x + y x + y dy risulti chiusa. Calcolare poi il potenziale F di ω tale che F (1, ) = 2. Esercizio 3. Si consideri il sistema { Y = AY + B(x), con A = Y () = (1, 2), Si chiede di: (a) calcolare e A ; ( ) ( ) e x e B(x) =. e x (b) calcolare una matrice fondamentale; (c) calcolare e xa ; (d) risolvere il sistema. Esercizio 4. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di ( π ) n 2 arctan(n + en e + 3 cos(n 17 ) 1)7/1 sin nx, πn 2π + sin 14 cos nx, n sin(2n 7/6 ) sin nx. (n π ) Esercizio 5. Sia f : R R localmente assolutamente continua e periodica di periodo T. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false: (a) se f è localmente limitata, la serie di Fourier di f converge totalmente a f; (b) la serie di Fourier di f converge uniformente a f; (c) la serie di Fourier di f converge a f in L 2 T.

6 A.A. 25/26 5 Settembre 26 [ ] y = 1 2 arctan log x(x 2 y 2 + 1)/2, y y(1) = 1, si chiede di: (a) dimostrare che ammette un unica soluzione massimale globale; (b) studiare la monotonia di tale soluzione; (c) giustificare l esistenza lim x y(x) e calcolarlo; (d) verificare che lim x + y(x) 1 + π/4; (e) verificare che y(x) x per ogni x 1 e che y(x) x per ogni x (, 1]; (f) tracciare un grafico qualitativo della soluzione. Esercizio 2. Dire per quali a R la serie ( ) a ( 1) n 2n arcsin sin nx 1 + a 2n è la serie di Fourier di una funzione f L 2 2π ed in quali casi certamente f C 2π. Esercizio 3. Per ogni α > si ponga I n (α) = ( x α + 1)e 3 x α/3 dx. R n Si chiede di: (a) verificare che I n (α) è ben definita; (b) esprimere I n (α) in termini della funzione Γ di Eulero; (c) calcolare I 3 (3); (d) calcolare lim α + 33n/α I n (α). Esercizio 4. Sia f(x) = e x 1 se x e f() = 1. Sia poi B1 n = {x R n : x x 1}, n 1. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) f L 1 (B n 1 ) per ogni n 3; (b) f L 1 (B 2 1); (c) f L 1 (B 1 1).

7 A.A. 25/26 25 Settembre 26 y = 1 xy 1 + y, 2 y() =, si chiede di: (a) dimostrare che ammette un unica soluzione globale; (b) studiare eventuali simmetrie della soluzione; (c) studiare l esistenza di x > tale che y (x ) = ; (d) studiare la convessità della soluzione in un intorno di x =. (e) Tracciare infine un grafico qualitativo della soluzione. Esercizio 2. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di ( sin 1 n 1 ) ln(1 + 2n) ( ) 1 cos nx, sin nx, cos nx + 2n sin nx. 1/4 n 1/4 n2 n 1 + e n2 1 + n Esercizio 3. Trovare le funzioni continue che risolvono le seguenti uguaglianze, determinandone il dominio di definizione: y(t) sin t dt = ln(y(x)), y(t)e 2x t dt = y(x) + x. Esercizio 4. Sia f : K R n R convessa e dotata di punti di minimo e di massimo. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) l insieme dei punti di minimo di f è un insieme convesso; (b) l insieme dei punti di massimo di f è un insieme convesso; (c) se f è differenziabile e x è di minimo, allora df(x ) = ; (d) se f, allora f α è convessa per ogni α >.

8 A.A. 25/26 18 Dicembre 26 y = arctan ( ln(y 2 + y() =, si chiede di: x x e)) + a) riconoscere che ammette un unica soluzione globale; b) riconoscere che la soluzione è monotona crescente; 1 x + 1, c) stimare i limiti della soluzione agli estremi del dominio; d) stabilire se y(4) 2π Esercizio 2. Discutere l esistenza di una funzione continua definita in [, ) tale che f(x) = x ln x + 1 x ed eventualmente calcolare tale funzione. f(t) dt x > Esercizio 3. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di (n + 1)(cosh n 7/8 n! 1) sin nx, 2 n ln n cos nx, n cos nx. 2 n Esercizio 4. Data la f.d.l. in D = R 2 \ {(, )}, ω(x, y) = αx + βy x 2 + y dx + y 2 x 2 + y2 dy, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false: (a) esiste una sola coppia di valori (α, β) per cui la forma è chiusa in D; (b) quando è chiusa, ω è localmente esatta in D; (c) quando è chiusa, ω è esatta in D; (d) F (x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) π è un potenziale in D.

9 Esercizio 1. Sia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA A.A. 25/26 22 Gennaio 27 f(x) = 1 sin nx, 2n e si consideri il problema di Cauchy y f(x) = (P ) x 2 + y y() = 1. (a) Dimostrare che (P ) ammette un unica soluzione globale y = y(x); (b) mostrare che tale soluzione è pari; (c) mostrare che v(x) = arctan x + 1 è una soprasoluzione; (d) dire se f L 1 (, 2π) e in caso affermativo calcolare 2π f(t) dt. Esercizio 2. Trovare tutte le funzioni continue tali che 2 φ( t) dt = φ(x) x 2 per ogni x. Esercizio 3 Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di 1 ( 1 cos nx; n 2 log n n tan 1 ) n sin nx; cos nx. log n [log(1 + 1/n)] n n=2 Esercizio 4. Assegnata la f.d.l. ω(x, y) = y log x dx + ( g(x) + y ) dy, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) esiste un unica funzione g di classe C 1 per cui ω è localmente esatta; (b) esiste un unica funzione g di classe C 1 per cui ω è esatta; (c) esistono infiniti potenziali locali G n di classe C tali che G n (1, ) = ; (d) uno di tali potenziali è G(x, y) = (x log x x)y; (e) G è l unico potenziale verificante (c).

10 A.A. 25/26 6 Febbraio 27 Esercizio 1. Si consideri il problema di Cauchy y 1 = sin y + arcsin (P ) x 2 + y y() =. (a) Dimostrare che (P ) ammette un unica soluzione globale y = y(x); (b) mostrare che tale soluzione è dispari; (c) mostrare che y(x) > per ogni x > ; (d) mostrare che per ogni x risulta sin y(t) dt y(x) y(t) dt + π 2 x. Esercizio 2. Assegnata la f.d.l. ω = ( 2y + y 2 f(x) ) dx + ( 2x + 2yf(x) ) dy, (a) trovare l unica funzione f : R R di classe C 1 con f() = 1 tale che ω sia esatta; (b) calcolare il potenziale F di ω con F (, ) = e provare che F (x, y) > per ogni (x, y) R 2 ; (c) calcolare γ ω, dove γ(t) = ( arctan t 6, 2t 4 t 3), t [, 1]. Esercizio 3 Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di [ n n 1 3 (e1/n 1)] cos nx; n + ( 1) n cos nx; tan tan 1 sin nx. n n1/3 n=2 Esercizio 4. Sia f n : [, 1] R una successione di funzioni convesse che converge puntualmente ad una funzione f. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) f è convessa in [, 1]; (b) se f n è derivabile per ogni n N, anche f lo è; (c) f è integrabile in [e/7, e/3].

11 A.A. 25/26 22 Febbraio 27 Esercizio 1. Data la famiglia di problemi di Cauchy { y = x + y 2, (P λ ) y() = λ >, si chiede di: a) riconoscere che (P λ ) ammette un unica soluzione locale y λ per ogni λ > ; b) riconoscere che y λ è monotona crescente per ogni λ > ; c) riconoscere che esiste x λ < tale che y λ (x λ ) = per ogni λ > ; d) detto (α λ, β λ ) l intervallo massimale di definizione per y λ, calcolare e) calcolare lim λ β λ. lim y λ (x) e lim y λ (x); x α + λ x β λ Esercizio 2. Discutere l esistenza di una funzione continua f definita in un intorno del punto x = tale che log f(x) = t 2 f(t) dt ed eventualmente calcolare tale funzione determinandone l intervallo massimale di definizione. Esercizio 3. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di n 3n n! sin nx, n + 1 n 2 n 4 cos nx, cos nx. n n Esercizio 4. Data la matrice A = ( ), 1 si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) esiste una ed una sola soluzione del problema Y = AY, Y () = (1, 1); (b) det e ta = 1 e tr e ta = 2 per ogni t R; (c) esiste t R tale che Y (t ) = (, ); (d) esiste t R tale che Y (t ) = (, ).