ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del

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1 ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 9..8 NOTA: lo svolgimento del Tema contiene alcuni commenti di carattere generale. Esercizio Si consideri la funzione TEMA f := log 5 +. i Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i iti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; ii studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; iii disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i Da 5 + > segue che D = { >, 5}. Non ci sono simmetrie evidenti. f se e solo se > e cioè se e solo se + 7. Si ha inoltre Siccome f = + + f = 5 f = +. f =, { + 4 6, non ci sono asintoti obliqui, ma solo due asintoti verticali oltre ad un asintoto orrizzontale così alto che non si vede cit. ii Le regole di derivazione possono essere applicate in tutto D, perché il punto nel quale l argomento del modulo si annulla non appartiene al dominio. Siccome f = log 5 log + e ricordando che d d log g = g g dove g, si ha per ogni D f = 5 + = Siccome il polinomio al numeratore è sempre positivo, f >, e quindi f è crescente, se e solo se > 5. Non ci sono punti di estremo. iii Il grafico di f è in figura.

2 Figure : Il grafico di f Tema. Esercizio Si consideri la successione a n = n e n sin n, n N, n. n! a Calcolare n a n ; b studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice della serie n= a n. Svolgimento. a Siccome a n e n n! per n, n a n = ricordando un ite fondamentale. b Il criterio del confronto asintotico e il criterio del rapporto danno n n! = n +! en e n+ n e n + =, per cui la serie converge assolutamente e quindi converge. Il fatto che a n si poteva anche dedurre direttamente dalla convergenza della serie. NOTA: applicando il criterio di Leibniz si può dedurre direttamente la convergenza della serie. Risulta che a n è decrescente se e solo se e n, il che vero per ogni n > la dimostrazione richiede un po di lavoro. Resta comunque da verificare la convergenza assoluta. Siccome in questo caso è vera, l uso del criterio di Leibniz è del tutto inutile. Esercizio Sia fz = z + z z. Risolvere l equazione zfz = z 8i, esprimendo le soluzioni in forma algebrica e disegnandole nel piano di Gauss. Svolgimento. L equazione è z + z z z = z 8i. Siccome z z z = z z = z, l equazione diventa Le tre radici cubiche di 8i = 8e iπ/ sono date da rappresentate in figura. z = 8i. e i π = i, e i 7π 6 = i, e i π 6 = i,

3 Figure : Le soluzioni dell esercizio Tema. Esercizio 4 Calcolare il ite al variare di α R. Svolgimento. Il numeratore: log + log + sin cos sin e α e log + log + sin = log + log + = log + log log log + sin = o = 4 + o + per +. Il denominatore ricordando che e = o/ α per + per ogni α: sin cos sin e α e = sin + 4 sin4 + α + α 4 + o 4 = α α 4 + o 4 = 8 α α 4 + o 4 8 = + α + o se α 9 + o se α = 4 4 per +. Di conseguenza, log + log + sin cosh sin e = α e 4 +o 8 +α +o 4 +o 9 4 +o = +8α se α 8 4 = se α = 8.

4 NOTA: Il numeratore poteva anche essere scritto come log + log + sin = log + + sin = log + = + + = o + + o = o 4 sin per +. La maggior parte degli studenti che ha svolto il calcolo in questo modo ha tralasciato il termine di ordine nello sviluppo del logaritmo. Esercizio 5 a Studiare la convergenza dell integrale generalizzato α d al variare di α R; b calcolarlo per α =. Svolgimento. a L integranda f è continua in ], + [, per cui si deve controllare la convergenza sia per + che per +. Per +, f, per cui l integrale converge per ogni α. Per +, f α+, per cui l integrale converge se e solo se α >. b Con la sostituzione = cosh t, si ha per t > + sinh t d = cosh t sinh t dt = e t + e t dt = arctan e t + = π π 4 = π 4. In alternativa, con la sostituzione y =, seguita dalla sostituzione z = y/, si ottiene, + 4 d = y + 4 dy = Un terzo modo di calcolare l integrale è il seguente: + d = d / = z + dz = arctan z + = π. dt t /t = arcsin + = π t. Esercizio facoltativo. Sia R e si definisca la successione {a n : n N} ponendo a = e, per ogni n, a n+ = sin a n. a Dimostrare che a n è definitivamente monotona per n + ; b dimostrare che n + a n =. 4

5 Svolgimento. a Per n si ha a n = sina n. Se a [, ], allora da sin si ricava a n+ = sin a n a n e dunque la successione è definitivamente decrescente. Se invece a [, ] si ottiene che la successione è definitivamente crescente. b In ogni caso la successione ha un ite l [, ]. Se per assurdo fosse l si avrebbe, essendo la funzione seno continua, a n+ sin l = <, n + a n l il che implicherebbe la convergenza della serie n= a n, il che a sua volta implicherebbe che a n converge a, cosicché = l. Dunque l =. In alternativa, sempre per la continuità di sin, che ha l = come unica soluzione. l = a n+ = sin a n = sin l TEMA Esercizio Si consideri la funzione f := log +. i Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i iti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; ii studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; iii disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i D = { >, }. Non ci sono simmetrie evidenti. f se e solo se { , cioè se e solo se + 7. Si ha Siccome f = + + f = f = +. f =, non ci sono asintoti obliqui, ma solo due asintoti verticali. ii Le regole di derivazione possono essere applicate in tutto D, perché il punto nel quale l argomento del modulo si annulla non appartiene al dominio. Siccome f = log log + e ricordando che d d log g = g g dove g, si ha per ogni D f = + =

6 Figure : Il grafico di f Tema. Siccome il polinomio al numeratore è sempre positivo, f >, e quindi f è crescente, se e solo se >. Non ci sono punti di estremo. iii Il grafico di f è in figura. Esercizio Si consideri la successione a n = n e n sinh n, n N, n. n! a Calcolare n a n ; b studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice della serie n= a n. Svolgimento. a Siccome a n en n! per n, n a n = ricordando un ite fondamentale. b Il criterio del confronto asintotico e il criterio del rapporto danno n e n+ n! = n +! en n e n + =, per cui la serie converge assolutamente e quindi converge. Il fatto che a n si poteva anche dedurre direttamente dalla convergenza della serie. Esercizio Sia fz = z + z z. Risolvere l equazione zfz = z 8i, esprimendo le soluzioni in forma algebrica e disegnandole nel piano di Gauss. Svolgimento. L equazione è z + z z z = z 8i. Siccome z z z = z z = z, l equazione diventa Le tre radici cubiche di 8i = 8e iπ/ sono date da rappresentate in figura 4. z = 8i. e i π 6 = + i, e i 5π 6 = + i, e i π = i, 6

7 Figure 4: Le soluzioni dell esercizio Tema. Esercizio 4 Calcolare il ite al variare di α R. Svolgimento. Il numeratore: log + log + + sinh cosh sin e α e log + log + + sinh = log + log + = log + log log log + + sinh = o = + o + per +. Il denominatore ricordando che e = o/ N per + per ogni N: + sinh cosh sin e α e = + sin + 4 sin4 + α + α 4 + o 4 = α α 4 + o 4 = α α 4 + o 4 = α + o se α 4 + o se α = 4 4 per +. Di conseguenza, log + log + sinh cosh sin e = α e 7 +o α +o +o 4 4 +o = α se α 4 = se α =.

8 Esercizio 5 a Studiare la convergenza dell integrale generalizzato α 4 d al variare di α R; b calcolarlo per α =. Svolgimento. a L integranda f è continua in ], + [, per cui si deve controllare la convergenza sia per + che per +. Per +, f α, per cui l integrale converge per ogni α. Per +, per cui l integrale converge se e solo se α >. b Con la sostituzione = cosh t, si ha per t > 4 d = f α+, sinh t + cosh t sinh t dt = e t + e t dt = arctan et + π = π = π 4. TEMA Esercizio Si consideri la funzione f := log 4. i Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i iti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; ii studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; iii disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i f è definita per 4 >, cioè, se e solo se il numeratore non è uguale a zero ± e il denominatore è positivo >. Di conseguenza, D = { R : >, }. f non presenta simmetrie. f ha lo stesso segno di 4, quindi f = se e solo se 4 =. Per <, si ottiene + 5 = che ha soluzioni = ± /, e si osserva che solo + / D. Per >, si ottiene = che ha + / come unica soluzione in D. Inoltre, per D, f > 4 > se e solo se > per >, o + 5 < per <, cioè, per > + / o per < < + /. Per +, il numeratore tende a, mentre il denominatore tende a, quindi f = log y =. + y Per, il numeratore tende a, mentre il denominatore tende a, quindi f = log y =. y + 8

9 Per, 4, quindi Siccome f = log y =. y f =, non ci sono asintoti obliqui, ma solo due asintoti verticali. ii La funzione y y è derivabile su R \ {}. Quindi per l algebra delle funzioni derivabili e la derivabilità della funzione composta, la funzione 4 è derivabile su D. Il logaritmo è derivabile sul suo dominio. Per la derivabilità della funzione composta, f è derivabile su D. La derivata è per > e per < < f = 4 4 = + 4, f = 4 4 = + 4, e si vede che f <, e quindi f è decrescente, per < <, mentre f >, e quindi f è cresecente, per >. Dai iti in i segue che f è ilitata, quindi non ha estremi assoluti. Inoltre, non ha estremi relativi essendo derivabile su tutto D e, per ogni D, f. iii Il grafico di f è in figura 5. f Figure 5: Il grafico di f Tema. Esercizio Si consideri la successione a n = n e n arctan n, n N, n. n! a Calcolare n a n ; b studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice della serie n= a n. Svolgimento. Si nota che a n π e e n n! =: b n 9

10 b n+ b n = e n Per il criterio del rapporto b n converge: per n. Per il criterio del confronto ed, a n converge, cioè a n converge assolutamente, che implica che converge anche semplicemente risposte per il punto b. Per la condizione necessaria per la convergenza di una serie, questi fatti implicano che a n = risposta per il punto a. Alternativamente si può rispondere ad a usando e la gerarchia degli infiniti, in particolare il fatto: c n /n! = per qualsiasi c, per poi applicare il Teorema dei Carabinieri. Esercizio Sia fz = z + z z. Risolvere l equazione zfz = z + 7i, esprimendo le soluzioni in forma algebrica e disegnandole nel piano di Gauss. Svolgimento. L equazione è z + z z z = z + 7i. Siccome z z z = z z = z, l equazione diventa Le tre radici cubiche di 7i = e iπ/ sono date da z = 7i. rappresentate in figura 6. e i π 6 = + i, e i 5π 6 = + i, e i π = i, Imz Rez Figure 6: Le soluzioni dell esercizio Tema. Esercizio 4 Calcolare il ite log log + arctan cos sinh cos α e al variare di α R. Svolgimento. Si può procedere con gli sviluppi di McLaurin, oppure usando De L Hopital.

11 Con gli sviluppi di McLaurin, il numeratore diventa: log log + arctan = log + log + per +. Il denominatore ricordando che e = log = 4 = + o log log + log + arctan + + o = o/ N per + per ogni N: cos sinh cos α e = sinh + 4 sinh4 α + = + + o α = 4 + α + α o 4 per +. Di conseguenza, log log + arctan cos sinh cos α e = +o 4+α +o +o 4 4 +o + arctan α o 4 α o 4 = se α ±, 4 α 4 = + se α = ±. Per usare De L Hopital, conviene cambiare variabile a y =, studiare il ite per y +, e notare come sopra che il numeratore diventa La derivata del numeratore: La derivata del denominatore: log y log y + arctan y. y + y + + y per y +. sinsinhy coshy + α sinαy y e y, che tende a zero per y + per la gerachia degli infiniti. Di conseguenza, la frazione è ancora di tipo. Si procede con la seconda derivata del numeratore: 4 y + y y + y 4 + = per y +. La derivata seconda del denominatore: 4 cossinhy cosh y 4 sinsinhy sinhy + α cosαy e y 4y 4 y 4 + α

12 per y +. Per α = ±, si osserva che definitivamente, per y + : cosh y >, sinhy > y, cosy < cossinhy. Segue che 4 cos±y cossinhy cosh y < definitivamente per y +. Gli altri termini della derivata seconda del denominatore sono negativi definitivamente per y +, per cui la derivata seconda del denominatore è negativa definitivamente per y +, cioè tende a per y +. In conclusione, per il teorema di De L Hopital: log log + arctan cos sinh cos α e Esercizio 5 a Studiare la convergenza dell integrale generalizzato = α 4 d { 4 α se α ±, + se α = ±. al variare di α R; b calcolarlo per α =. Svolgimento. a L integranda f è continua in ], + [, per cui si deve controllare la convergenza sia per + che per +. Per +, f = per cui l integrale converge per ogni α. Per +, per cui l integrale converge se e solo se α >. b Con la sostituzione = cosh t, si ha per t > + 4 d = α + α+, f α+, sinh t + cosh t sinh t dt = e t + e t dt = arctan et + π = π = π 4 4. In alternativa, con la sostituzione y = 4, seguita dalla sostituzione z = y/, si ottiene, + 4 d = y + 4 dy = z + dz = arctan z + = π = π 4. TEMA 4 Esercizio Si consideri la funzione f := log 6 +. i Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i iti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; ii studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; iii disegnare un grafico qualitativo di f.

13 Svolgimento. D =, + \ { 6}. Non ci sono simmetrie evidenti: il dominio non è simmetrico. Si ha f se e solo se { { 6 + > oppure 6,, 6. Pertanto f se e solo se, + + 9, +. Si hanno f = + + f = 6 f = +. f Siccome per gerarchia vale =, non ci sono asintoti obliqui, ma solo due asintoti verticali. ii Per il teorema sulla derivata della funzione composte e sull algebra delle derivate e poiché gt = log t è derivabile su tutto il suo dominio naturale con dg d = t, la funzione f è derivabile su tutto D. Siccome f = log 6 log +, si ha per ogni D f = 6 + = Il polinomio al numeratore è sempre positivo; quindi f >, e conseguentemente f è crescente, se e solo se > 6. Non ci sono punti di estremo. iii Il grafico di f è in figura 7. f Figure 7: Il grafico di f Tema 4. Esercizio Si consideri la successione a n = n e n tan n, n N, n. n! a Calcolare n a n ; b studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice della serie n= a n.

14 Svolgimento. a Siccome a n e n n! per n, si ha n a n = per gerarchia. b Il criterio del confronto asintotico e il criterio del rapporto danno n n! n +! e n+ e n e = n n + =, per cui la serie converge assolutamente e quindi converge. Il fatto che a n si poteva anche dedurre direttamente dalla convergenza della serie. Esercizio Sia fz = z + z z. Risolvere l equazione zfz = z + 7i, esprimendo le soluzioni in forma algebrica e disegnandole nel piano di Gauss. Svolgimento. L equazione è z + z z z = z + 7i. Siccome z z z = z z = z, l equazione diventa z = 7i. Le tre radici cubiche di 7i = 7e iπ/ sono date da rappresentate in figura 8 e i π = i, e i 7π 6 = π i, ei 6 = i, Imz Rez Figure 8: Le soluzioni dell esercizio Tema 4. Esercizio 4 Calcolare il ite log + log + tan cosh sinh cosh α e 4

15 al variare di α R. Svolgimento. Vediamo il comportamento del numeratore. Per +, si ha log + log + tan = log + log + log log + tan = log + log + tan = o = 4 + o. Vediamo il comportamento del denominatore. Ricordiamo che e = o/ a per + per ogni a; e infatti / = a a = per gerarchia. Quindi, per +, si ha e cosh sinh cosh α e = cosh o 4 α α4 4! 4 + o 5 = o ! 4 + o 7 + o 5 + α α4 4! 4 + o 5 = 9 α α4 4! 4 + o 5 dove abbiamo scelto a = 5. Di conseguenza, { log + log + tan 8 se α ± cosh sinh cosh α = 9 α e se α = ±, osservando che, per α = ±, 5 8 α4 4! = 7 >. Esercizio 5 a Studiare la convergenza dell integrale generalizzato α 9 d al variare di α R; b calcolarlo per α =. Svolgimento. a L integranda f è continua in ], + [, per cui si deve controllare la convergenza sia per + che per +. Per +, f α, 6 per cui l integrale converge per ogni α. Per +, f α+, per cui l integrale converge se e solo se α >. b Con la sostituzione = cosh t, si ha per t > 9 d = sinh t cosh t sinh t dt = = b + arctan et b = π π 4 cosh t dt = = π. e t dt + et 5