ANALISI MATEMATICA 1 - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto

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1 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto Vicenza, Settembre 8 TEMA Esercizio Si consideri la funzione + f() = arctan (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie di f e il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità ed eventuali prolungamenti per continuità. (c) studiare la derivabilità e calcolare la derivata prima. (d) si studi la monotonia di f, si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto (e) calcolare, dove possibile, la derivata seconda e determinare la concavità di f ed eventuali punti di flesso. (f) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio (a) Determinare l ordine di infinitesimo di per! di g() =e + + sin()+e. (b) Calcolare per ogni valore reale del parametro il ite log()+tan()! + g() Esercizio 3 (a) Calcolare (b) Dire per quali converge e d Z + e tanh( ) d (c) (Facoltativo) Dire per quali < converge l integrale del punto (b). Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

2 Soluzione Tema Esercizio Si consideri la funzione + f() = arctan (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie di f e il segno di f; Dominio: { 6= } La funzione non presenta simmetrie evidenti. Possiamo osservare che la funzione è sicuramente itata, essendo arctan(y) < per ogni y reale, Inoltre, poichè l argomento dell arcotangente è sempre maggiore o uguale a zero avremo f() per ogni 6=. Si può quindi dedurre che f( ) =, quindi = è punto di minimo assoluto per f. (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità ed eventuali prolungamenti per continuità. f() =!± 4, + poichè il ite per! ± di è. Quindi la retta y = 4 è asintoto orizzontale a ±. f() =!, + poichè il ite per! di è +. Quindi la funzione si può estendere per continuità in =con f() =. Si può anche notare che poichè f() apple, =èpunto di massimo assoluto per f. (c) studiare la derivabilità e calcolare la derivata prima. Quindi: + = + se > oppure apple, + se <<. arctan + f() = se >oppure apple, arctan + se <<. La funzione è sicuramente derivabile per ogni 6=, Se > oppure <,, si ha: f () = + + = +( + ). Se <<, f () = + + = +( + ).

3 Inoltre Quindi entrambi i punti =! ± f () = f () =±! ±. e =sono punti angolosi. (d) si studi la monotonia di f, si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto Si vede dall espressione di f che la funzione è monotona crescente per decrescente per (, ) e (, +). Come già osservato prima, =èpunto di massimo assoluto e = assoluto. << e monotona è punto di minimo (e) calcolare, dove possibile, la derivata seconda e determinare la concavità di f ed eventuali punti di flesso. La funzione è sicuramente derivabile due volte per ogni 6=,, si ha: 8 < 8(+) se >oppure <, f ( () = +(+) ) : 8(+) se <<. ( +(+) ) Quindi la funzione è convessa su (, ) e su (, +), mentre è concava su (, ) e su (, ). Il punto = è punto di flesso per f. (f) Disegnare un grafico qualitativo di f. Vedi il grafico sottostante. 5,5-7,5-5 -,5,5 5 7,5 -,5-5

4 Esercizio (a) Determinare l ordine di infinitesimo di per! di g() =e + + sin()+e. Si ha, per! : e + =+( + )+ ( + ) + o(( + ) )= o( ), sin() = 3 + o( 3 )=o( ), e = o( ), quindi: g() = o( ) + o( )= 3 + o( ),. perciò l ordine di infinitesimo è. (b) Calcolare per ogni valore reale del parametro il ite log()+tan()! + g() tan() = + o( ), inoltre = o log() per! +, quindi il numeratore è log()+ tan() = Poichè il denominatore è g() = 3 + o( ), avremo se 6= log()+o log() se 6= + o( ) se = log()+o log()! o( ) log() =! + 3 = + se <, se >. se = + o( )! o( ) = 3.

5 Esercizio 3 (a) Calcolare e d e d = Z e d + e + d = e Z e d + e e d. Le primitive di queste funzioni si trovano applicando la regola di integrazione per parti e si ha: Z Z e d =( )e + c, e d = ( + )e + c. Quindi: e Z e d = e ( )e = e e e d = e( + )e = 3 e. Quindi: e d = e. (b) Dire per quali converge Z + e tanh( ) d Chiamiamo f() = e tanh( ). per! + si ha: f() e = " e e = o( ), poichè!+ tanh( )=. Quindi, per il criterio del confronto asintotico, è integrabile per ogni. in =si ha: se =allora f() = tanh() e, che è una funzione continua e definita anche per =, quindi integrabile. se > allora tanh( ), quindi f() e e. che è integrabile se e solo se <, cioè <. Quindi f è integrabile se e solo se <. (c) (Facoltativo) Dire per quali < converge l integrale del punto (b).

6 per! + si ha: se < allora, poichè!+ =, tanh( ), quindi f() e + e e = o( ). Quindi, per il criterio del confronto asintotico, è integrabile per ogni <. in =si ha: se < allora, poichè! + =+,! + tanh( )= f() e quindi è integrabile. Quindi f è integrabile per ogni <.