ANALISI MATEMATICA I A.A. 02/03 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI

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1 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI L. GIACOMELLI, P. LORETI Contents I prova intermedia 5.. compito A 3 Risoluzioni 3 I prova intermedia 5.. compito B 5 Risoluzioni 6 I prova intermedia 5.. compito C 7 Risoluzioni 8 I prova intermedia 5.. compito D Risoluzioni II prova intermedia.. compito A Risoluzioni 3 II prova intermedia.. compito B 4 Risoluzioni 5 Prova scritta del 8..3 compito A 6 Risoluzioni 7 Prova scritta del 8..3 compito B 9 Risoluzioni 9 Prova scritta del..3 compito A Risoluzioni Prova scritta del..3 compito B 3 Risoluzioni 4 Prova scritta del Risoluzioni 6 Prova scritta del Risoluzioni 8 Prova scritta del Risoluzioni 3 Prova scritta del Risoluzioni 33 Per evitare confusioni, specifichiamo che in queste pagine la simbologia f(x) g(x) per x x f(x) significa che =. Ometteremo talvolta di specificare il punto di accumulazione x, quando x x g(x) questo risulti chiaro dal contesto.

2 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI Prova scritta del Risoluzioni 34

3 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 3 I prova intermedia 5.. compito A ) Sia data la successione a n = 3n, n N, n. n + 4 (a) Determinare (se esiste) a n ; n (b) dire se a n } è monotona; (c) determinare estremo superiore/inferiore e (se esistono) massimo/minimo dell insieme E = x R : x = a n, n N, n } }. ) Studiare il carattere della serie + ( + ) n+ n n α n= al variare del parametro α nei reali positivi. 3) Determinare, se esistono, i seguenti iti: (a) x + x x + (b) (c) sin(x 3) x 3 x cos(πx) 9 n nα sin(nπ + π ) al variare di α R. 4) Verificare mediante il principio di induzione che n 3k 3n n. k + k= Risoluzioni Esercizio. Si ha a 3 n n = n n + 4 = 3. n La successione è monotona crescente: infatti a n+ a n 3n + n + 5 3n n + 4 3n + 4n + 8 3n + 4n 5 3. Si ha di conseguenza supx R : x = a n, n } = 3, infx R : x = a n, n } = a = 4, e quindi sup E = 3, inf E =.

4 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 4 Infine, poiché E, 3 E, max E, min E =. Esercizio. Si osserva preinarmente che n ( + n) n+ = e. Pertanto ( + ) n+ n n α e n α per n. Dal criterio del confronto asintotico segue immediatamente che la serie è convergente per α > ( α > ) e divergente per < α. Esercizio 3. (a). Moltiplicando e dividendo l espressione per x + + x, si ottiene x + x 4 = x + + x =. x + x + (b) Effettuando il cambiamento di variabile y = x 3 e ricordando il ite notevole si ottiene sin(x 3) x 3 x 9 (c) Si osserva anzitutto che sin(y) =, y y cos(πx) = y sin(nπ + π ) = ( )n sin(y) (y + 6)y cos(πy + 3π) = 6. Si ha n nα ( ) n = per α < e n nα ( ) n per α. Infatti, per α < la successione è il prodotto di una successione infinitesima e di una itata: n nα =, ( ) n =. Per α è sufficiente esibire due sottosuccessioni che abbiano iti diversi: ad esempio mentre k (k)α ( ) k = n. α = + α >, (k + k )α ( ) k+ α = = α >. Esercizio 4. La proposizione da dimostrare per n è: [ n ] 3k P n : k + 3n k=

5 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 5 (i) P è vera. Infatti (ii) P n P n+. Infatti Poiché n+ k= 3k k + = k= n k= 3n + 3n + 3 n + 3 si ottiene e la verifica è conclusa. 3k k + = 3 3 = = 3. 3k 3(n + ) + k + (n + ) + 3(n + ) 3n + 3 n + 3 n+ k= 3k 3(n + ), k + P n vera 3n + 3n + 3 n , I prova intermedia 5.. compito B ) Sia data la successione a n = n +, n N, n. n + (a) Determinare (se esiste) a n ; n (b) dire se a n } è monotona; (c) determinare estremo superiore/inferiore e (se esistono) massimo/minimo dell insieme E = x R : x = a n, n N, n } }. ) Studiare il carattere della serie + n log n= ( n + n ) n 4α al variare del parametro α nei reali positivi. 3) Determinare, se esistono, i seguenti iti: (a) x x x x + (b) (c) (x + ) 3 x x cos(πx) + n nα ( ) n al variare di α R.

6 Infine, poiché E, E, max E, min E =. ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 6 4) Verificare mediante il principio di induzione che n k n n. k + Esercizio. Si ha k= Risoluzioni a n = + n n n + =. n La successione è monotona crescente: infatti a n+ a n n + n + 3 n + n + n + 5n + n + 5n + 3. Si ha di conseguenza supx R : x = a n, n } =, infx R : x = a n, n } = a =, e quindi sup E =, inf E =. Esercizio. Si osserva preinarmente che ( n log + ) n n Pertanto ( n log + ) n n 4α n 4α per n. Dal criterio del confronto asintotico segue immediatamente che la serie è convergente per α > 4 ( 4α > ) e divergente per < α 4. Esercizio 3. ottiene =. (a) Moltiplicando e dividendo l espressione per x + x x, si x x x = x + x + (b) La forma non è indeterminata. Si ottiene immediatamente (c) Si ha e (x + ) 3 x x cos(πx) =. + n nα ( ) n = per α < n nα ( ) n per α. x x + x x =.

7 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 7 Infatti, per α < la successione è il prodotto di una successione infinitesima e di una itata: n nα =, ( ) n =. Per α è sufficiente esibire due sottosuccessioni che abbiano iti diversi: ad esempio mentre k (k)α ( ) k = α = + α >, (k + k )α ( ) k+ α = = α >. Esercizio 4. La proposizione da dimostrare per n è: [ n ] k P n : k + n (i) P è vera. Infatti (ii) P n P n+. Infatti Poiché si ottiene n+ k= k k + = n + n + n + e la verifica è conclusa. n k= k= k= k k + = =. k (n + ) + k + (n + ) + (n + ) n + n + n+ k= k k + n +, P n vera n + n + n + n, I prova intermedia 5.. compito C ) Sia data la successione a n = 3 + n, n N, n. n (a) Determinare (se esiste) a n ; n (b) dire se a n } è monotona; (c) determinare estremo superiore/inferiore e (se esistono) massimo/minimo dell insieme E = x R : x = a n, n N, n } 5}.

8 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 8 ) Studiare il carattere della serie + ( + ) n n n 3α n= al variare del parametro α nei reali positivi. 3) Determinare, se esistono, i seguenti iti: (a) x 3 x x 3 + 4x x + (b) x π π x e π x sin( x ) (c) n n3 α ( ) n al variare di α R. 4) Verificare mediante il principio di induzione che n Esercizio. Si ha k= 3k n n. k + Risoluzioni a n = + 3 n n n n La successione è monotona decrescente: infatti a n+ a n 4 + n n n n Si ha di conseguenza =. n n + 7n 4 n + 7n infx R : x = a n, n } =, supx R : x = a n, n } = a = 4, e quindi inf E =, sup E = 5. Infine, poiché 5 E, E, min E, max E = 5. Esercizio. Si osserva preinarmente che n ( + n) n = e. Pertanto ( + ) n e n n3α n 3α per n. Dal criterio del confronto asintotico segue immediatamente che la serie è convergente per α > 3 ( 3α > ) e divergente per < α 3.

9 Esercizio 3. ottiene ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 9 (a) Moltiplicando e dividendo l espressione per x 3 x + x 3 + 4x, si x 3 x x 3 + 4x = x + x + 4x x x 3 x + x 3 + 4x =. (b) Effettuando il cambiamento di variabile y = π x e ricordando il ite notevole e y =, y y si ottiene π x x π e π x sin( x ) = y(π y) y e y sin( π + y ) = π. (c) Si ha n n3 α ( ) n = per α > 3 e n n3 α ( ) n per α 3. Infatti, per α > 3 la successione è il prodotto di una successione infinitesima e di una itata: n n3 α =, ( ) n =. Per α 3 è sufficiente esibire due sottosuccessioni che abbiano iti diversi: ad esempio mentre k (k)3 α ( ) k = α = 3 + α < 3, (k + k )3 α ( ) k+ α = 3 = α < 3. Esercizio 4. La proposizione da dimostrare per n è: [ n ] 3k P n : k + n (i) P è vera. Infatti (ii) P n P n+. Infatti Poiché si ottiene n+ k= 3k k + = n + 3n + 3 n + 3 n k= k= k= 3k k + = 3 3 =. 3k 3(n + ) + k + (n + ) + (n + ) 3n + 3 n + 3 n+ k= 3k k + n +, P n vera n + 3n + 3 n + 3 n,

10 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI e la verifica è conclusa. I prova intermedia 5.. compito D ) Sia data la successione a n = 3n, n N, n. 4n (a) Determinare (se esiste) a n ; n (b) dire se a n } è monotona; (c) determinare estremo superiore/inferiore e (se esistono) massimo/minimo dell insieme E = x R : x = a n, n N, n } }. ) Studiare il carattere della serie + n log n= ( n + n ) n α al variare del parametro α nei reali positivi. 3) Determinare, se esistono, i seguenti iti: (a) x 3 + x x 3 + 5x x + (b) x x 4 tan(x ) cos(π x) (c) n n3 α cos(nπ) al variare di α R. 4) Verificare mediante il principio di induzione che n k n n. k + k= Risoluzioni Esercizio. Si ha a 3 n n = n n 4 + = 3 4. n La successione è monotona decrescente: infatti a n+ a n 3n + 4n + 3 3n n n + 5n n + 5n 3. 4n Si ha di conseguenza infx R : x = a n, n } = 3 4, supx R : x = a n, n } = a = 3,

11 Infine, poiché E, 3 4 E, min E, max E =. ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI e quindi inf E = 3, sup E =. 4 Esercizio. Si osserva preinarmente che ( n log + ) n n Pertanto ( n log + ) n n α n α per n. Dal criterio del confronto asintotico segue immediatamente che la serie è convergente per α > e divergente per < α. Esercizio 3. (a). Moltiplicando e dividendo l espressione per x 3 + x + x 3 + 5x, si ottiene x 3 + x x 3 x 5x + 5x = x + x + x 3 + x + x 3 + 5x = +. (b). Effettuando il cambiamento di variabile y = x e ricordando il ite notevole =. tan(y) =, y y si ottiene x 4 x π tan(x ) cos(π y(y + 4) πy x) = cos(π + y tan(y) ) = 4. (c). Si osserva preinarmente che Si ha e cos(πn) = ( ) n n. n n3 α ( ) n = per α > 3 n n3 α ( ) n per α 3. Infatti, per α > 3 la successione è il prodotto di una successione infinitesima e di una itata: n n3 α =, ( ) n =. Per α 3 è sufficiente esibire due sottosuccessioni che abbiano iti diversi: ad esempio k (k)3 α ( ) k α = 3 = + α < 3, mentre k (k + )3 α ( ) k+ = α = 3 α < 3.

12 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI Esercizio 4. La proposizione da dimostrare per n è: [ n ] k P n : k + n (i) P è vera. Infatti (ii) P n P n+. Infatti Poiché n+ k= si ottiene k k + = k= n k= n + n + n + e la verifica è conclusa. k= k k + = = =. k (n + ) + k + (n + ) + (n + ) n + n + n+ k= k (n + ), k + P n vera n + n + n +, II prova intermedia.. compito A ) Sia data la funzione f(x) = (x ) x a x a x <. Determinare, se esistono, i valori di a tali che: (a) f è continua in x = ; (b) f è derivabile in x = ; f(x) (c) =. x x ) Studiare la funzione f(x) = x e x e tracciare un grafico qualitativo. 3) Determinare, se esistono, i seguenti iti: (a) (b) sin x xx x + x. x e 4x log( + 4x) x

13 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 3 4) Determinare: Esercizio. (a). Si ha: (a) (b) π x cos(3x) dx x 3 x 4 dx. Risoluzioni f(x) = x + x +(x ) =, f(x) = x a) = a(a ). x x (a Pertanto la funzione è continua in x = per a =, a =. (b). Poiché ogni funzione derivabile in un punto è a fortiori continua in quel punto, ci si può itare ai casi a =, a =. Si ha: f(x) f() x + x f(x) f() x x = ) =, x +(x = x a x a x = a = a =. Pertanto la funzione è derivabile in x = per a =. In alternativa si possono eguagliare i iti delle derivate dx e sx, purché sia chiaro che si considerano solo i casi in cui f è continua. (c). Si ha f(x) a x a x x = x x = a = a = ±. Esercizio. Domf = R, f(x) > per ogni x, f() =. Si ha: f(x) x = (mediante de l Hôpital o gerarchie), f(x) = +. x La retta y = è asintoto orizzontale per x. Non ci sono asintoti obliqui in quanto f(x) = +. x x Si ha: f e (x) = x ( + x) x > e x ( + x) x <. In x = la funzione presenta un punto angoloso: f +() =, f () = (mediante ite del rapporto incrementale o, poiché f è continua in x =, mediante iti dx e sx delle derivate prime). Pertanto la funzione è strettamente crescente in (, ) e

14 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 4 in (, ), e strettamente decrescente in (, ). Ha quindi un massimo locale in x =, con f( ) = e, e un minimo locale e assoluto in x =, con f() =. Si ha: f (x) = 4e x ( + x) x > 4e x ( + x) x <. Pertanto la funzione è convessa in (, ) e in (, ), concava in (, ), con flesso in x =, f( ) = e. Esercizio 3. (a). Si ha: sin x x + x =, x + xx = x + ex log x = (per il secondo ite si può utilizzare il teorema di De L Hôpital, o semplicemente ricordare le gerarchie di infiniti/infinitesimi). (b). Sviluppando al secondo ordine in x = : e 4x log( + 4x) + 4x + 8x + o(x ) (4x 8x + o(x )) x x = x x 6x + o(x ) = x x = 6. Esercizio 4. (a). Integrando per parti: x sin(3x) dx = 3 x cos(3x) + 3 cos(3x) dx = 3 x cos(3x) + sin(3x) + C. 9 Quindi (b). Mediante divisione: Decomponendo in fratti semplici pertanto x 3 3x 6 dx = 3 π x sin(3x) dx = π 3. x 3 x = x + x x. x 3 x = x + x + x +, x dx + 3 x + 3 x + = 6 x + 3 log x + C. Allo stesso risultato si perviene anche senza effettuare la decomposizione, osservando che x = (x ).

15 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 5 II prova intermedia.. compito B ) Sia data la funzione f(x) = (x ) x a x a x <. Determinare, se esistono, i valori di a tali che: (a) f è continua in x = ; (b) f è derivabile in x = ; f(x) (c) =. x x ) Studiare la funzione f(x) = x e x e tracciare un grafico qualitativo. 3) Determinare, se esistono, i seguenti iti: 4) Determinare: Esercizio. (a). Si ha: x (a) (b) (a) (b) sin x xx x + x. e 3x 3 sin(x) x x π x sin(3x) dx x 3 3x 6 dx. Risoluzioni x f(x) = (x ) =, + + f(x) = x a) = a(a ). x x (a Pertanto la funzione è continua in x = per a =, a =. (b). Poiché ogni funzione derivabile in un punto è a fortiori continua in quel punto, ci si può itare ai casi a =, a =. Si ha: f(x) f() x + x f(x) f() x x = x + =, = x a x a x = a = a =. Pertanto la funzione è derivabile in x = per a =. In alternativa si possono eguagliare i iti delle derivate dx e sx, purché sia chiaro che si considerano solo i casi in cui f è continua.

16 (c). Si ha ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 6 f(x) a x a x x = x x = a = a = ±. Esercizio. Identico al corrispondente del compito A, scambiando x con x. Esercizio 3. (a). Identico al corrispondente del compito B. (b). Sviluppando al secondo ordine in x = : e 3x 3 sin(x) + 3x + 9 x x = x + o(x ) 3(x + o(x )) x x = x 9 x + o(x ) x = 9. Esercizio 4. (a). Integrando per parti: x cos(3x) dx = 3 x sin(3x) sin(3x) dx = x sin(3x) + cos(3x) + C. 9 Quindi (b). Mediante divisione: Decomponendo in fratti semplici π x sin(3x) dx = 9. x 3 x = x + x x. x 3 x = x + x + x +, pertanto x 3 x 4 dx = x dx + x + x + = 4 x + log x + C. Allo stesso risultato si perviene anche senza effettuare la decomposizione, osservando che x = (x ). Prova scritta del 8..3 compito A ) Determinare estremo superiore e inferiore e, se esistono, massimo e minimo delle successioni (a) a n = 4n n +, n N; (b) b n = π arctan ( a n ), n N. ) Studiare la funzione f(x) = log(x) e tracciarne un grafico qualitativo. x

17 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 7 3) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie: ( ) n n log n. 4) (a). Calcolare n= ( ) x 3 log x log dx. x (b) (facoltativo). Determinare i valori di A R per i quali la funzione f(x) = è integrabile in senso improprio in (, ). x A sin x + x9 x 3 x Risoluzioni Esercizio. (a). La successione è monotona crescente in quanto somma di successioni monotone crescenti. Ovvero: 4(n + ) > 4n, n + > n + = a n+ > a n n N. (alternativamente si può effettuare un calcolo diretto). Di conseguenza supa n } = n a n =, infa n } = a =. (b). Utilizzando la monotonia della funzione arctan e il risultato precedente, si ottiene: Di conseguenza a n = a n = arctan( a n ) = b n. supb n } = n b n, = 3π, infb n} = b = 3π 4. Esercizio. Domf = (, ) \ }, f(x) > in (, ), f(x) < in (, ). Si ha: f(x) = x + f(x) = +, x f(x) =, x + f(x) = (mediante de l Hôpital o gerarchie). x La retta x = Si ha: è asintoto verticale. Non ci sono asintoti obliqui in quanto f(x) x x = (mediante de l Hôpital o gerarchie). f (x) = x( log(x) ) log, (x)

18 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 8 da cui f (x) > x (, ) (, e ), f (x) < x ( e, ), f ( e ) =. Pertanto la funzione è crescente in (, ) e in (, e ), decrescente in ( e, ), ha un massimo locale in x = e con f(e ) = e, e sup f =, inf f =. Si ha: f (x) = log (x) 3 log(x) + log 3, (x) da cui (il numeratore è sempre positivo) f (x) > x (, ), f (x) < x (, ). Pertanto la funzione è convessa in (, ) e concava in (, ). Non ha punti di flesso. Esercizio 3. La successione a n = n log n, n è a termini non negativi. Quindi la serie è a segno alterno. Poiché n = n e a n+ < a n = < n + < n, < log(n + ) < log(n), per il criterio di Liebnitz la serie converge. La serie non è assolutamente convergente: infatti è noto che n(log n) β diverge se β. n= Esercizio 4. (a). Effettuando la sostituzione y = log x, si ottiene ( ) x 3 log x log dx = x 3 y dy + y 9 L integrazione del primo addendo è immediata: 3 y dy = log y + C. 3 Per il secondo si effettua la sostituzione t = y 3 : dy = 3 + y + t dt = 3 arctan t + C = 3 arctan(y 3 ) + C. 9 dy.

19 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 9 In conclusione ( ) x 3 log x log dx = x log log x + 3 arctan(log x 3 3 ) + C. (b). La funzione è continua in (, ]. Si verifica facilmente che ( A) x f(x) A x 6 x A = per x +. Pertanto, dal criterio del confronto asintotico segue che f è integrabile in senso improprio in (, ) se e solo se A =. Prova scritta del 8..3 compito B ) Determinare estremo superiore e inferiore e, se esistono, massimo e minimo delle successioni (a) a n = 3n + n +, n N; (b) b n = log (3 a n ), n N. ) Studiare la funzione f(x) = x log(3x) e tracciarne un grafico qualitativo. 3) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie: ( ) n n log n. 4) (a). Calcolare n= ( ) 5 cos x sin x sin dx. x (b) (facoltativo). Determinare i valori di A R per i quali la funzione f(x) = è integrabile in senso improprio in (, ). x A log( + x) + x7 x x Risoluzioni Esercizio. (a). La successione è monotona decrescente in quanto somma di successioni monotone decrescenti. Ovvero: 3(n + ) < 3n, n + < n + = a n+ < a n n N. (alternativamente si può effettuare un calcolo diretto). Di conseguenza infa n } = n a n =, supa n } = a =.

20 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI (b). Utilizzando la monotonia della funzione log e il risultato precedente, si ottiene: Di conseguenza a n = 3 a n = log(3 a n ) = b n. infb n } = n b n, =, supb n } = b =. Esercizio. Domf = (, ) \ 3 }, f(x) < in (, 3 ), f(x) > in ( 3, ). Si ha: La retta x = 3 Si ha: da cui f(x) = x + f(x) =, x 3 f(x) = +, x + 3 f(x) = + (mediante de l Hôpital o gerarchie). x è asintoto verticale. Non ci sono asintoti obliqui in quanto f(x) x x = + (mediante de l Hôpital o gerarchie). f (x) = x( log(3x) ) log, (3x) f (x) < x (, 3 ) ( 3, e 3 ), f (x) > x ( e 3, ), f ( e 3 ) =. Pertanto la funzione è decrescente in (, 3 ) e in ( 3, e 3 ), crescente in ( e 3, ), ha un minimo locale in x = e 3 con f(e 3 ) = e 9, e sup f =, inf f =. Si ha: da cui (il numeratore è sempre positivo) f (x) = log (3x) 3 log(3x) + log 3, (3x) f (x) < x (, 3 ), f (x) > x ( 3, ). Pertanto la funzione è concava in (, 3 ) e convessa in ( 3, ). Non ha punti di flesso. Esercizio 3. Identico al compito A.

21 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI Esercizio 4. (a). Effettuando la sostituzione y = sin x, si ottiene ( ) 5 cos x sin x sin dx = 5 x y dy dy. + y 4 L integrazione del primo addendo è immediata: 5 dy = 5 log y + C. y Per il secondo si effettua la sostituzione t = y : dy = + y + t dt = arctan t + C = arctan(y ) + C. 4 In conclusione ( ) 5 cos x sin x sin dx = 5 log sin x + arctan( sin x x ) + C. (b). La funzione è continua in (, ]. Si verifica facilmente che ( A) x A x f(x) x A = per x +. Pertanto, dal criterio del confronto asintotico segue che f è integrabile in senso improprio in (, ) se e solo se A =. Prova scritta del..3 compito A ) Data la successione an+ = a n n a = 3 (a) provare, utilizzando il principio di induzione, che a n > per ogni n ; (b) (supponendo vera la tesi in (a)) provare che a n è monotona crescente; (c) (supponendo vera la tesi in (b)) determinare a n. n ) Calcolare, se esistono, i seguenti iti: ( (a) n 3 n ) n n n! (b) 3) (a) Studiare la funzione ( + log x) π e x. x x f(x) = cos x sin x e tracciarne un grafico qualitativo.

22 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI (b) Calcolare π 4 (cos x sin x)dx. 4) Determinare le soluzioni nel campo complesso dell equazione z 3 + i = Esercizio. (a). Risoluzioni P è vera: a = 3 >. P n = P n+ : a n+ = a n Pn > =. (b). a n+ = a n > a n a n > vera per (a) (c). Per (b) a n = L (a, ] = (3, ]. n D altra parte, passando al ite nella definizione della successione si ottiene quindi necessariamente L = +. Esercizio. (a). Poiché si ottiene (b). Ponendo y = x : L R = L = L L =, n ( + log x) π e x x x n n =, n n n 3 n 3 n n n! =, n! =. = y ( + log( + y)) π e y y ( + y + o(y)) π ( + y + o(y)) = y y ( + πy + o(y) y o(y) = y y = π. Esercizio 3. (a). Domf = R. La funzione è periodica di periodo π, quindi iteremo l analisi all intervallo [, π]. Si ha 5 f(x) sen x sin x sinx.

23 Pertanto ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 3 f(x) < f(x) = f(x) > 5 5 x (arcsin( ), π arcsin( )) 5 5 x = arcsin( ), x = π arcsin( ) altrimenti. Ovviamente (la funzione è continua e periodica) non esistono asintoti. Si ha: da cui Si ha inoltre: Pertanto: f (x) > f (x) = f (x) < f (x) = cos x ( sin x + ), x ( π, 7π 6 ) (3π, π 6 ) x = π, x = 7π 6, x = 3π, x = π 6 altrimenti. f( π ) =, f(7π 6 ) = f(π 6 ) = 5 4, f(3π ) =. min f = max f = 5 4, x = π punto di minimo assoluto Esercizio 4. Si ha da cui le soluzioni sono x = 3π x = 7π 6, x = π 6 + i = ( i) = punto di minimo locale punti di massimo assoluto. z = 6 e i 7π, z = 6 e i 5π 4, z 3 = 6 e i 3π. ei 7π 4, Prova scritta del..3 compito B ) Data la successione an+ = 3a n n a = 3 (a) provare, utilizzando il principio di induzione, che a n > per ogni n ; (b) (supponendo vera la tesi in (a)) provare che a n è monotona crescente;

24 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 4 (c) (supponendo vera la tesi in (b)) determinare a n. n ) Calcolare, se esistono, i seguenti iti: (a) (b) 3) (a) Studiare la funzione n n n 3 n n! ( sin x) 7 e x π. x π x π f(x) = cos x sin x e tracciarne un grafico qualitativo. (b) Calcolare π 4 (cos x sin x)dx. 4) Determinare le soluzioni nel campo complesso dell equazione z i =. Esercizio. (a). (b). Risoluzioni P è vera: a = 3 >. P n = P n+ : a n+ = 3a n Pn > 3 =. a n+ = 3a n > a n a n > vera per (a) (c). Per (b) a n = L (a, ] = (3, ]. n D altra parte, passando al ite nella definizione della successione si ottiene quindi necessariamente L = +. Esercizio. (a). Poiché si ottiene L R = L = 3L L =, n n n =, n n n 3 n 3 n n n! =, n! =.

25 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 5 (b). Ponendo y = x π: ( sin x) 7 e x π x π x π = y ( + sin y) 7 e y y ( + y + o(y)) 7 ( + y + o(y)) = y y ( + 7y + o(y) y o(y) = y y = 6. Esercizio 3. (a). Domf = R. La funzione è periodica di periodo π, quindi iteremo l analisi all intervallo [, π]. Si ha 5 f(x) cos x + cos x cos x. Pertanto 5 5 f(x) < x (arccos( ), π arccos( )) 5 5 f(x) = x = arccos( ), x = π arccos( ) f(x) > altrimenti. Ovviamente (la funzione è continua e periodica) non esistono asintoti. Si ha: da cui f (x) = sin x ( cos x + ), f (x) > x ( π 3, π) (4π 3, π) Si ha inoltre: Pertanto: f (x) = f (x) < x = π 3, x = π, x = 4π 3, x = π altrimenti. f( π 3 ) = f(4π 3 ) = 5, f(π) =, f(π) =. 4 min f = 5 4 x = π x = π x = π 3, x = 4π 3 max f =, punto di massimo assoluto punto di massimo locale punti di minimo assoluto. Esercizio 4. Si ha + i = (i ) = ei 3π 4,

26 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 6 da cui le soluzioni sono z = 6 e i π 4, z = 6 e i π, z 3 = 6 e i 9π. Prova scritta del 3..3 ) Dimostrare per n =,... la disuguaglianza ) (a) Studiare la funzione e tracciare un grafico qualitativo. n < n + n. f(x) = e x e x (b). Calcolare e ( ) dx. e x log x 3) (a). Dimostrare per x > la disuguaglianza n= log ( + x) x. (b). Studiare il carattere della serie + ( n log + 4 ). n 4) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo. f(x) = x x Risoluzioni Esercizio. Elevando al quadrato ( n + n > ): n < n + + n n n < n n. Elevando al quadrato (n n > ): n < n + 4n 4n > vera. Esercizio (a). D = R. La funzione è continua in R per composizione. Poichè e x > per x <, si ha (e f(x) = x )e x = e x e x x ( e x )e x = e x e x x >.

27 Si ha ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 7 x f(x) = +, f (x) = x f(x) =, e x e x x <, e x e x x, f (x) =, f (x) =, x x + quindi x = è un punto angoloso. Lo studio del segno di f (x) (che omettiamo) mostra che Pertanto: Si ha f(x) crescente per x (, log ) e per x (, ), f(x) decrescente per x ( log, ), sup f = +, min f =, x = log punto di massimo locale. f (x) = Lo studio del segno di f (x) mostra che e x 4e x x <, 4e x e x x. f(x) convessa per x (, log 4) e (, ), f(x) concava per x ( log 4, ), f ( log 4) = flesso. Esercizio (b). Mediante la sostituzione y = log x: e e x log x dx = Esercizio 3 (a). Si considera la funzione Si ha D = (, ), f C(D). Poiché y dy = log y = log. f(x) = x log( + x). f(x) = +, x + f(x) = +, x il minimo assoluto è interno, e poiché non ci sono punti singolari, va ricercato tra i punti stazionari. Si ha f (x) = + x = x < x <. + x Pertanto min f = f() = da cui segue la tesi. Esercizio 3 (b). Poiché ( n log + 4 ) n la serie converge per il criterio del confronto asintotico. n 5 4 per n,

28 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 8 Esercizio 4. D = (, ). La funzione si può riscrivere come f(x) = e log x x. Si ha Quindi f(x) =, x + f (x) = e log x x f(x) =. x ( log x) > x < e. x max f = f(e) = e e, inf f =. ) Studiare la funzione Prova scritta del.4.3 f(x) = e x e tracciarne un grafico qualitativo. ) Calcolare (e x sin x) dx. 3) Studiare il carattere della serie 4) Studiare la funzione + n= e tracciarne un grafico qualitativo. sin ( π + nπ) n. f(x) = log(e x x ) Risoluzioni Esercizio. D = R. La funzione è continua in R per composizione, e simmetrica rispetto all asse x =. Si ha e per simmetria f(x) = +, x + f(x) = +, x Quindi non vi sono asintoti obliqui. Si ha f(x) x + x = +, f(x) x x = +. f (x) = e x (x ) per x >, f (x) = +. x +

29 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 9 Pertanto (utilizzando la simmetria) e Si ha da cui e per simmetria f(x) crescente per x (, + ) f(x) decrescente per x (, ), x = punto di cuspide sup f = +, min f =, x = punto di minimo assoluto. f (x) = 4 e x (x ) 3 ( x ) per x >, f(x) convessa per x (, + ) f(x) concava per x (, ), x = punto di flesso, f(x) convessa per x (, ), f(x) concava per x (, ), x = Esercizio. Per parti: (e x sin x) dx = e x sin x sin x dx = e x sin x cos x + punto di flesso. = e x sin x cos x + e x sin x + e x dx e x sin x dx e x sin x cos x dx + e x cos x dx e x sin x dx Quindi (e x sin x) dx = ( ) 4 ex sin x cos x + sin x + C. Esercizio 3. È sufficiente osservare che sin ( π + nπ) = ( ) n. Pertanto, poiché la successione a n = n / è a termini non-negativi, monotona decrescente e tendente a zero, dal criterio di Leibnitz segue che la serie è convergente. Esercizio 4. Poiché la funzione y = e x è strettamente convessa in R e la retta y = + x è tangente ad y = e x in x =, si ottiene e x x x R, e x x = x =. Pertanto D = R \ }. La funzione è continua in D per composizione. Si ha f(x) = +, x f(x) = +. x +

30 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 3 Poiché f(x) f(x) =, x x x + x = e ( f(x) x = log + x ) x + x + e x la retta y = x è asintoto obliquo per x +. Inoltre Si ha Pertanto non ci sono estremi locali e Si ha f(x) =. x f (x) = ex e x x per x D. f(x) crescente per x (, + ) f(x) decrescente per x (, ), sup f = +, inf f =. f (x) = ex ( x) (e x x ). Per determinarne il segno si può ricorrere a uno studio di funzione ausiliario: considerata la funzione g(x) = e x ( x) si ha g (x) = xe x. Pertanto g è crescente in (, ) e decrescente in (, ). Quindi x = è punto di massimo assoluto, e poiché g() = si conclude che =, f(x) concava per x (, ) e per x (, ). ) Calcolare i seguenti iti: (a) (b) Prova scritta del n n 43 n n + ; ( ( )) x + log( e x ) log. x + x ) Calcolare la somma della serie (e n (e )). n=

31 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 3 3) Studiare la funzione f(x) = x 3 x 6 e tracciarne un grafico qualitativo. 4) Calcolare x 3 x + dx. Esercizio. n + 3 n n 43 n + n + n + Risoluzioni 3 n n43 n+ n + n + 3 n 3 n n 43 n + n = + + (x + log( e x ) log( x ) ) = n n43 n = + Esercizio. La serie può sia essere ricondotta ad una serie geometrica, ovvero (e n (e ) (e )) = (e n ) = e e, n= sia ad una serie telescopica, ovvero (e n (e )) = n= n= (e n e n ) = e. n= Esercizio 3. La funzione è definita per ogni x reale eccetto il punto. Il dominio è D = x R tali che x }. La funzione non presenta simmetrie. Per lo studio del segno, riscriviamo la funzione come ( x 3 ) f(x) =. Nel suo insieme di definizione il denominatore è sempre positivo, ed il numeratore x 3 risulta nullo per x =, positivo per x > e negativo altrimenti. Studio dei iti: x + x x 6 x 3 x 6 = x 3 x 6 = x x 3 x 6 = x + x 3 x 6 =

32 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 3 Calcolo della derivata prima: ( f (x) = x 3 ) x 6 = 3 x x 7 = ( 3 = )( x 4 x ) 3 f (x) = se e solo se x = () 3 Nell insieme di definizione, la funzione f è negativa per x > () 3, positiva x < () 3, quindi la funzione è decrescente per x > () 3, mentre è crescente per x < () 3. Pertanto il punto è di massimo relativo. Dal comportamento ai iti si deduce che il punto è di massimo assoluto. Inoltre f(() 3 ) = 4. Calcolo della derivata seconda: a tale scopo conviene scrivere la derivata prima come Si ottiene quindi: f (x) = 3 x x 7 f (x) = x 5 4 ( 6 )( x 8 = x 5 7x ) ( x 3 ) 7 3 = 6 x 8 Nell insieme di definizione, il denominatore è sempre positivo, ed il numeratore 6(x 3 7) risulta nullo per x = ( 7 ) 3, positivo per x > ( 7 ) 3 e negativo altrimenti. La funzione f risulta convessa per x > ( 7 ) 3 e concava altrimenti. Il punto x = ( 7 ) 3 è un punto di flesso. Esercizio 4. x 3 (x + ) dx = x dx (x + ) Quindi x (x + ) dx (x + ) dx = (x + )(x ) dx (x + ) (x + ) dx x 3 (x + ) dx = x dx log = log = log

33 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 33 Prova scritta del ) Un banchiere vi propone il seguente contratto: ogni mese triplica il vostro capitale e ogni mese detrae EUR di spese. Per quale delle seguenti somme iniziali il contratto non è svantaggioso per voi, e perché? ) Data la funzione (a) a = 4 EUR; (b) a = 5 EUR; (b) a = 6 EUR. f(x) = x x x, determinare: (a) dominio di definizione; (b) iti per x ed x + ; (c) eventuali asintoti orizzontali, verticali, obliqui. 3) Determinare A in modo tale che x + A + x + dx =. 4) Data f(x) = log(x sin(x)), calcolare: (a) f ( (x); (b) f (x) ) x π x. Risoluzioni Esercizio. Detto a n il capitale all n-esimo mese, si ha: a n+ = 3 a n. Si tratta quindi di una successione definita per ricorrenza. (a) Se a = 4 allora a n < 4 per ogni n, quindi il contratto è svantaggioso. Infatti, per induzione, a = 3 4 = < 4, e se a n < 4 allora a n+ = 3 a n < 3 4 = < 4. (b) Allo stesso modo si verifica che see a = 5 allora a n = 5 per ogni n, quindi il contratto non è svantaggioso. (c) Allo stesso modo si verifica che se a = 6 allora a n > 6 per ogni n, quindi il contratto non è svantaggioso. Esercizio. (a). La funzione x x è definita in [, ), e la funzione x /(x ) in R }. Pertanto D = [, ) \ }. (b). Ponendo y = x e ricordando che ( + y) α α y per y, si ha: ( ) x x (y + ) (y + ) 3 = = 3 x x y y. ()

34 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 34 Per x si ha immediatamente x x x x x + o() = x + o() =. () (c). Poiché f è continua da destra in zero, non ci sono asintoti verticali in x =. Per (), non ci sono asintoti verticali in x = (anzi, f si estende per continuità in x = ). Per (), non ci sono asintoti orizzontali per x +. Poiché e f(x) x x x x = x x(x ) = x x x (f(x) x) = x la funzione ha asintoto obliquo y = x + per x +. Esercizio 3. Si ha x + A + x + Pertanto A = 4 π. dx = dx + A x x = x x x x =, x + dx = + A arctan(x) Esercizio 4. (a). Utilizzando le regole di derivazione, si ottiene f (x) = (b). Pertanto (attenzione al segno!) sin(x) + x cos(x) x sin(x) f (x) x π x = = x + cos(x) sin(x). cos(x) x π sin(x) =. Prova scritta del ) (a) Calcolare ( ( ) sin ). n n n (b) Al variare di x R, determinare il carattere della serie π nx. ) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo. 3) Calcolare n= ( ) f(x) = log x x e x log(x ) dx. = + A π 4.

35 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 35 4) Determinare le soluzioni nel campo complesso dell equazione Esercizio. (a) Poiché si ottiene immediatamente z Im(z) = i Im(z). ( ) sin n n Risoluzioni = e n n =, ( ( ) sin ) n n n =. (b) Poiché π nx = (π x ) n, si riconosce una serie geometrica di ragione π x. Poiché, essendo π >, π x > per x >, la serie converge per x < e diverge a + per x. Alternativamente, essendo la serie a termini non negativi, si può utilizzare il criterio del rapporto, π (n+)x n π nx = π x e una verifica diretta per x =. Esercizio. Si ha e, per x I, > per x > la serie diverge a + = per x = < per x < la serie converge, x x I := (, ] [, ) x x > x > x. Quest ultima disuguaglianza è vera per x I (, ), mentre per x I [, ) equivale, passando ai quadrati, a x > x, che è falsa. Pertanto D = I (, ) = (, ]. Si ha f( ) =, Per la derivata prima si ottiene f (x) = x < f(x) = +. x per x (, ), e f (x) =. x In particolare f è monotona decrescente. Per la derivata seconda si ottiene f (x) = x (x ) 3 < per x (, ), pertanto la funzione è concava in (, ).

36 ANALISI MATEMATICA I A.A. /3 PROVE SCRITTE E RISOLUZIONI 36 Esercizio 3. Si ha, integrando per parti, e x log(x ) dx = e x log(x) dx = [ x log(x) ] e e x dx = e e + = (e + ). Esercizio 4. Posto z = x + iy, l equazione si riscrive come x y + i x y y = i y. Eguagliando parte reale e coefficiente immaginario si ottiene x y y = y (x ) =, ovvero x = y oppure y = y = ( ± ) y =, x =. Pertanto le soluzioni sono: z =, z = i( + ), z 3 = i( ).