Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 09 a.a

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Angelo Massari
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1 Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 09 a.a Dott. Simone Zuccher 3 Gennaio 2008 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore (zuccher@sci.univr.it). Calcolo di iti tramite sviluppi in serie di Taylor Richiami utili al calcolo di iti tramite sviluppi in serie di Taylor Sviluppi di McLaurin (ossia sviluppi di Taylor centrati nell origine) per le principali funzioni. e ! + + n n! + o(n ) log( + ) ( )n+n n + o(n ) n + o( n ) ( + ) α α(α ) + α + 2 α(α )(α 2) ! α(α ) (α n + ) + n + o( n ) n! sin 3 3! + 5 5! + 2n+ ( )n (2n + )! + o(2n+2 ) cos 2 2! + 4 2n + ( )n 4! (2n)! + o(2n+ ) arctan n+ + ( )n 5 2n + + o(2n+2 ) tan o( 4 ) arcsin o( 4 ) arccos π o( 4 )

2 Proprietà del simbolo o piccolo o. m,n N si ha:. o( n ) ± o( n ) o( n ) 2. a o( n ) o( n ) 3. m o( n ) o( m+n ) 4. o( m ) o( n ) o( m+n ) 5. o(o( n )) o( n ) 6. o( n + o( n )) o( n ) Esercizio. Determinare gli sviluppi di McLaurin (ossia gli sviluppi di Taylor centrati nell origine) di + e + arrestati al second ordine. Considerando lo sviluppo di ( + ) α, posto rispettivamente α e α /2, si ha o( 2 ) e o( 2 ). Alternativamente, si poteva procedere calcolando le funzioni e le rispettive derivate (fino alla seconda) nel punto 0. Esercizio.2 Verificare che, per 0, valgono gli sviluppi log(cos) o( 4 ) e e sin o( 4 ) Dagli sviluppi del coseno, cos o(5 ), e del logaritmo, log( + y) y y2 2 + o(y2 ), posto + y cos y o(5 ), si ha ] log(cos) [ o(5 ) ] 2 [ o(5 ) +o([ 2 ] 2 ) o(4 ). Lo stesso ragionamento si applica agli sviluppi dell esponenziale e del seno. Esercizio.3 Utilizzando gli sviluppi di Taylor si calcoli cos + log cos 4 Dall esercizio precedente è noto lo sviluppo del log cos per 0, pertanto cos + log cos [ o(5 )] + [ o(4 )] o(4 )

3 Esercizio.4 Utilizzando gli sviluppi di Taylor si calcoli + sin + sin + tan + tan + o( ) + +. Esercizio.5 Utilizzando gli sviluppi di Taylor si calcoli log( + ) sin + 2 / log( + ) sin + 2 /2 3 [ 2 /2 + 3 /3 + o( 3 )] [ 3 /6 + 5 /20 + o( 6 )] + 2 / /3 + 3 /6 + o( 3 ) Esercizio.6 Utilizzando gli sviluppi di Taylor si calcoli ( ) 2 sin 2 Dopo aver ( notato che lo sviluppo del sin 2 [ 3 /6 + o( 4 )] /3+o( 4 ), si ha ) sin sin 2 2 sin 2 4 /3 + o( 4 ) 4 + o( 6 ) 3. Esercizio.7 Utilizzando gli sviluppi di Taylor si calcoli e log( + 3 ) sin Noti gli sviluppi e /2 + o( 4 ), log( + 3 ) 3 + o( 3 ) e sin 3 /6+o( 4 e log( + 3 ) ), si ha sin 4 /2 + o( 4 ) o( 3 ) 3 /6 + o( 4 ) 3 + o( 3 ) 3 /6 + o( 4 ) 6. Attenzione: se si fosse arrestato lo sviluppo di e 2 a e o( 2 ) si sarebbe e 2 ottenuto sbagliato! 2 + log( + 3 ) sin o( 2 ) 3 /6 + o( 4 ) 3, che è evidentemente

4 Esercizio.8 Utilizzando gli sviluppi di Taylor, discutere al variare del parametro a il seguente ite a log( + ) a log( + ) (a 6) + (3 a 2 )2 + ( a 3 2)3 a Quindi, per a 6 il ite vale 3 2 a[ o(4 )] ; per a 6 vale. Esercizio.9 Utilizzando gli sviluppi di Taylor si calcoli ( sin ) / 2 ( sin e 2 /6+o( 2 ) ) / 2 2 e /6 e sin 2 log e 2 log 3 /6+o( 3 ) e 2 log[ 2 /6+o( 2 )] Esercizio.0 Utilizzando gli sviluppi di Taylor calcolare i seguenti iti ( sin 2 a) 2 ) / 2 ( sin 3 b) 3 ) / 2 ( sin c) ) / Procedendo come nell esercizio precedente, si ricava facilmente (a) e 2/3 ; (b) e 3/2 ; (c). 2 Determinazione di eventuali asintoti di una funzione Richiami utili per la determinazione degli asintoti. Asintoti orizzontali.. Se + f() l R, allora la retta y l si dice asintoto orizzontale destro per f(). 4

5 2. Se f() l 2 R, allora la retta y l 2 si dice asintoto orizzontale sinistro per f(). 3. Se f() f() l, allora la retta y l si dice asintoto orizzontale + per f(). Asintoti verticali. Se una funzione ammette ite (o semplicemente ite destro, oppure ite sinistro) infinito per 0, 0 R, allora la retta 0 si dice asintoto verticale per f() (anche in questo caso si può distinguere tra asintoto da destra e da sinistra nel caso uno dei due iti sia infinito e l altro o non lo sia o non esista). In pratica, basta che sia verificata una delle seguenti condizioni f() + ± 0 oppure oppure. Asintoto obliquo. Se f() m + q per + (oppure per ), allora la retta y m + q si dice asintoto obliquo per f() (anche qui si può distinguere tra asintoto destro e sinistro nel caso siano diversi tra loro). Questa condizione si può riscrivere come [f() (m + q)] 0 (rispettivamente [f() (m + q)] 0). + Praticamente, m e q vengono determinati come segue, purchè entrambi i iti esistano finiti: f() m ± q [f() m] ± Esercizio 2. Determinare eventuali asintoti di f() +, f() 2 + e f() + 3. f(). Asintoto orizzontale y, asintoto verticale. + f() 2 +. Asintoto obliquo y per +, e altro asintoto obliquo y per. f() + 3. Non ammette asintoti. Infatti, f() per +, ma [f() ] + per +. 5

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