Elementi di matematica finanziaria

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1 Elementi di matematica finanziaria 1. Percentuale Si dice percentuale di una somma di denaro o di un altra grandezza, una parte di questa, calcolata in base ad un tanto per cento, che si chiama tasso percentuale. parlare, ad esempio, di un tasso del 3%, significa di ogni unità, prende in considerazione 3. Il simbolo % significa: per cento. In modo analogo si definisce il per mille col simbolo Tasso percentuale, percentuale e somma si indicano di solito con: t: tasso percentuale; P: percentuale; S: somma di cui si deve calcolare la percentuale. I problemi sulle percentuali sono un caso particolare della regola del tre semplice. Infatti se, data la somma S, si vuole calcolare la sua percentuale in base a un certo tasso t, si costruisce il seguente specchietto: numero percentuale t S P Si ha, quindi la seguente proporzione: Da cui: Esempio : S = t : P P = S t Calcolare la percentuale di euro in base al tasso del 3%. P = = euro La precedente formula si utilizza anche per ricavare la somma S, conoscendo la percentuale P e il tasso t oppure per conoscere il tasso t conoscendo la somma S e la percentuale P. PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 1

2 Esempio 1 Su una somma si è fatto il guadagno di euro in base ad un tasso del 6%. Ricavare la somma. S = P t = = euro Esempio 2 S una euro investiti si è avuto un guadagno di4.500 euro. Calcolare il tasso percentuale di guadagno. Esempio 3 t = P S = = 3% Una merce aveva il peso lordo di 5,5 q e il peso netto di 50,6 Mg. Trovare la tara percentuale. S = 5,5; P = 5,5 5,06 = 0,44 Esempio 4 t = P S = 0,44 5,5 = 8% Una merce costava 35 euro al kg. Il suo prezzo è stato aumentato del 40%. Quanti kg di tale merce si possono acquistare con la stessa somma con cui prima si acquistavano 280 kg? La somma in oggetto è: = euro Con l aumento del 40%, attualmente la merce costa: Il costo per kg è di: = 14 euro = 49 euro Disponendo della somma di euro si possono acquistare: = 200 kg di merce PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 2

3 2. Regime finanziario dell interesse semplice Qualunque bene avuto in prestito comporta normalmente la corresponsione di un compenso. In particolare l uso di una somma di danaro, chiamato capitale, comporta il pagamento di un compenso chiamato interesse. La somma del capitale e dell interesse si chiama montante. L interesse viene stabilito in base al compenso che si dà per ogni euro prestate per un anno. Si fissa cioè una percentuale che viene chiamata tasso o percentuale annua o ragione e viene indicata con r. Se indichiamo con C il capitale prestato, con t la durata del prestito e con r il tasso, l interesse I è dato dalla seguente formula generale: I = C r t Di solito, per una questione di comodità, si preferisce, nelle formule, porre i = r Per cui la formula dell interesse diventa I = C i t Il tempo t indica un tempo d impiego generalizzato. Nel caso in cui il tempo è espresso in anni, mesi o giorni le formule per il calcolo dell interesse saranno rispettivamente: I = C i n per il tempo espresso in anni I = C i m 12 I = C i g 360 per il tempo espresso in mesi per il tempo espresso in giorni Esempio Si presta la somma di euro per due anni e mezzo, al tasso del 5%. Calcolare l interesse I. I = C i t = ,05 2,5 = euro Se esprimiamo il tempo in mesi abbiamo: PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 3

4 I = C i m = ,05 = euro 12 Se lo esprimiamo in giorni si ha: I = C i g 900 = ,05 = euro Il montante è l insieme dell interesse I e del capitale C, per cui M = C + I M = C + C i t M = C(1 + i t) Da quest ultima formula si possono dedurre le corrispondenti formule per t espresso in anni, mesi e giorni M = C(1 + i n) per t espresso in anni M = C (1 + i m 12 ) per t espresso in mesi M = C (1 + i g 360 ) per t espresso in giorni 3. Sconto Di solito se si paga una somma prima della scadenza, si usufruisce di una riduzione sulla somma da pagare, riduzione che si chiama sconto. Il tasso di sconto percentuale corrisponde alla somma non pagata per ogni euro pagato un anno prima della scadenza. Da non confondere questo sconto con quello che viene applicato all atto dell acquisto di un bene, ad esempio durante il periodo dei saldi, sconto quest ultimo che non dipende dal tempo ma solo dall importo da pagare. Lo sconto si divide a sua volta in: a) Conto commerciale (Sc) PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 4

5 b) Sconto razionale (Sr) Sconto commerciale Se M è il valore nominale del credito o debito disponibile dopo un tempo t, se d è il tasso di sconto, lo Sconto Commerciale è proporzionale al valore nominale M e al tempo t (detto tempo di anticipo). t 0 C M Vale a dire: S c = M d t Mentre la Somma Scontata o Valore Attuale C sarà: C = M S c C = M M d t C = M(1 d t) Affinché lo sconto non risulti superiore al valore nominale deve essere 1 - d t > 0 cioè t < 1/d. Sconto razionale Sia C è il valore nominale del credito o debito disponibile dopo un tempo t, V(valore attuale) la somma pagata in anticipo e i il tasso di sconto. t 0 V C Il ragionamento di base del regime di sconto razionale è che C rappresenta il montante di V, in capitalizzazione semplice e dunque la formula di base è: Ricavando C si ha da cui S r = C V = V i t C = V (1 + i t) V = C 1 + i t PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 5

6 Esempio 1 Una debito di euro è scontata 5 mesi prima della scadenza al tasso annuo del 9%. Calcolare lo sconto applicato e la somma scontata. S c = M d t = ,09 5 = euro 12 C = M S c C = = euro Esempio 2 Supponiamo di aver contratto un debito di , da restituire dopo due anni, al tasso di interesse semplice del 6,75%. Tre mesi prima della scadenza disponiamo dell importo dovuto e proponiamo al nostro creditore il saldo, purché ci conceda uno sconto al 6% annuo. Quanto pagheremo? In questo caso, calcoliamo innanzi tutto l importo da pagare a scadenza, cioè il montante di al 6,75% per due anni: C = (1 + 0, ) = Rappresentando sull asse dei tempi la situazione finanziaria, abbiamo: La somma scontata V da pagare 3 mesi prima della scadenza sarà: V = C 1 + i t = PROF. GIUSEPPE FRASSANITO = , , 06 12

7 4. Regime finanziario dell interesse composto Per i prestiti di durata superiore all anno, non viene quasi mai praticato il regime dell interesse semplice bensì un altra regola, detta interesse composto. Nel regime finanziario dell interesse composto, gli interessi maturati alla fine di ogni periodo si aggiungono al capitale e diventano fruttiferi per i periodi successivi. La legge di capitalizzazione composta per il capitale C impiegato per n anni (n e un numero intero) al tasso annuo i è la seguente: M = C(1 + i) n Nel caso di tempi non interi, cioè in caso di durate superiori all anno ma diverse da un numero intero di anni, si possono seguire due procedimenti: la convenzione lineare oppure la convenzione esponenziale. Sia t = n + f dove n e un numero intero di anni ed f la parte frazionaria, con 0 f < 1. Il calcolo del montante M con la convenzione lineare è: M = C(1 + i) n (1 + i f) Invece, il calcolo del montante M con la convenzione esponenziale è semplicemente: Esempio M = C(1 + i) t Calcolare il montante di euro impiegato per 6 anni e 3 mesi al tasso annuo del 3%. Con la convenzione esponenziale si ha: M = C(1 + i) t = (1 + 0,03) = 96232,7 euro Con la convenzione lineare si ricava: M = C(1 + i) n (1 + i f) = (1 + 0,03) 6 (1 + 0,03 3 ) = ,6 euro 12 Bibliografia A. Gambotto Manzone: Matematica per ragionieri programmatori - Tramontana C. Bettella A. Marri: Corso di matematica vol 1- Paccagnella editore S.p.a. - Bologna PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 7

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