Regime di capitalizzazione

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1 Regime di capitalizzazione Per studiare un operazione finanziaria da un punto di vista matematico, è necessario fissare un insieme di regole in modo tale che se sono noti: L importo del capitale impiegato C Il tempo t che rappresenta la durata dell operazione Il valore del tasso unitario i o di quello percentuale r sia possibile determinare l importo della controprestazione A questo insieme di regole si dà il nome di regime di capitalizzazione Pag. 1 di 21

2 Regime di capitalizzazione semplice Il regime di capitalizzazione semplice si applica quando si conviene (tra il debitore e il creditore) che l interesse prodotto dal capitale C non venga aggiunto periodicamente al capitale ma venga restituito al creditore, insieme al capitale iniziale, solo alla fine del periodo di investimento. Ciò comporta: L interesse semplice I diventa disponibile solo alla fine dell operazione Gli interessi non sono fruttiferi (non producono altri interessi) Pag. 2 di 21

3 L interesse semplice Fissato il tasso di interesse unitario i (compenso spettante per ogni euro investito), a seconda dell entità del capitale C investito, in 1 anno si hanno i seguenti valori di I: Importo di C (in euro) Interesse I (in euro) per 1 anno 1 i 2 i+i = 2i 3 i+i+i = 3i 4 i+i+i+i = 4i Per un capitale C spetterà quindi un interesse annuo I = C i Pag. 3 di 21

4 L interesse semplice 2 Poichè per ogni anno l interesse risulta essere uguale a I = C i, nel caso in cui la durata dell operazione risulti uguale ad un numero intero di anni si ha: Durata t (in anni) Interesse I (in euro) 1 C i = C i 1 2 C i + C i = C i 2 3 C i + C i + C i = C i 3 4 C i + C i + C i + C i = C i 4 Per un capitale C, impiegato per t anni al tasso di interesse unitario i spetterà un interesse semplice pari a I = C i t Pag. 4 di 21

5 La rappresentazione grafica dell interesse I In figura, le 3 rette rappresentano l andamento della funzione I al variare del tempo dando ad i valori uguali a 0,01 0,02 e 0,03. Come si vede l inclinazione della retta varia al variare di i t Pag. 5 di 21

6 Considerazioni sul tempo Non sempre il capitale C è impiegato per un periodo espresso in anni, analogamente il tasso non sempre è espresso su base annua. Se il tempo di impiego non è espresso in anni ma in più unità di misura allora è necessario ricondurlo a un unità di misura comune. Dunque se si dovesse trasformare su base annua bisognerebbe tener presente che: mese= anno; 1 bimestre= anno; 1 trimestre= anno; quadrimestre= anno; 1 settimana= anno; 1 giorno= anno; (360 giorni = anno commerciale costituito da 12 mesi di 30 giorni ciascuno) Pag. 6 di 21

7 Es. Se il tempo t= 3 anni, 6 mesi e 18 giorni si potrebbe trasformare in vari modi: anni + 6 mesi + 18 giorni = 3+ + =... = se l'unità di misura è l'anno anni + 6 mesi + 18 giorni = =... = se l'unità di misura è il mese anni + 6 mesi + 18 giorni = =... = 1278 se l'unità di misura è il giorno Se il tempo t= 3 anni, 6 mesi e 18 giorni e il tasso fosse semestrale allora va trasformato t in semestre: 1 1 essendo 1 anno= 2 semestri; 1 mese= di semestre; 1 giorno= di semestre anni + 6 mesi + 18 giorni = =... = se l'unità di misura è il semestre Pag. 7 di 21

8 Il montante M Al termine di un operazione finanziaria, il debitore restituisce al creditore il montante M dato dalla somma del capitale C iniziale e dall interesse I prodotto, cioè: M= C+ I oppure, tenendo presente che I M = C+ C i t da cui = C i t risulta M= C 1+ i t ( ) Pag. 8 di 21

9 Rappresentazione grafica del MONTANTE La retta di colore blu rappresenta l andamento dell interesse I C i t =. C La retta di colore rosso rappresenta l andamento del montante M = C + I Pag. 9 di 21

10 Approfondimenti grafici 1 In un sistema di assi cartesiani si rappresenta M sull asse delle y e t sull asse delle x. (Fissati C e i, M dipende da t) Osservando il grafico si deduce: Per t=0 risulta M=C (all inizio dell operazione non sono ancora maturati interessi) Se t1<t2 allora M1<M2 Pag. 10 di 21

11 Approfondimenti grafici 2 In questo grafico ci sono 2 rette del montante relative a 2 tassi diversi: Osservando il grafico si deduce: In un operazione di durata t, il montante maggiore si ottiene in corrispondenza del tasso maggiore i 2 Pag. 11 di 21

12 Approfondimenti grafici 3 In questo grafico ci sono 2 rette del montante relative a 2 tassi diversi: Osservando il grafico si deduce: Uno stesso montante M>C può essere ottenuto in tempi diversi se si impiega il capitale a tassi diversi e precisamente: se i < i t > t Pag. 12 di 21

13 Determinazione del capitale C Il capitale C si può calcolare se sono noti t, i e I M oltiplicando entram bi i m em bri della I = C i t per si ottiene I = C i t da cui i t i t i t 1 1 C i t = I i t i t e quindi C I = i t Pag. 13 di 21

14 oppure C si può ricavare dalla formula M = C(1 + it) 1 moltiplicando entrambi i membri per si ha 1+ it 1 1 Mi = C(1 + it) i 1+ it 1+ it 1 1 invertendo si ha C(1 + it) i = Mi 1 + it 1 + it semplificando si ottiene poi C M = 1 + it Pag. 14 di 21

15 Determinazione della durata t La durata t dell operazione si può calcolare se sono noti C, i e I Moltiplicando entram bi i m em bri della I = C i t per si ottiene I = C i t da cui C i C i C i t = I C i Es. Per quanto tempo deve essere impiegato un capitale di 1800, al tasso del 10% annuo, per produrre un interesse di 234? 234 t = = 1, 3 Secondo la formula suddetta, ,10 si trasforma, poi, il tempo ottenuto in anni, mesi e giorni nel modo seguente: Pag. 15 di 21

16 3 1,3 = 1+ 0,3 = ,6 cioè 1 anno di anno di anno = mesi = mesi cioè 3 mesi di mese = 30 giorni = 18 giorni di mese 10 quindi t = 1, 3 equivale a 1 anno, 3 mesi, 18 giorni un'eventuale ulteriore parte decimale sarebbe stata trascurata. Pag. 16 di 21

17 oppure si può ricavare t dalla formula M = C + Cit, modificandola nel modo seguente M C = Cit Cit = M C 1 moltiplicando, poi, entrambi i membri per, cioè Ci 1 Citi = ( M C) i 1 Ci Ci e semplificando, si ottiene t = M Ci C Pag. 17 di 21

18 Determinazione del tasso unitario i Il tasso unitario i dell operazione si può calcolare se sono noti C, t e I Moltiplicando entrambi i membri della I = C i t per si ottiene I = C i t da cui C t C t C t i = I C t Pag. 18 di 21

19 oppure si può ricavare i dalla formula M = C + Cit, modificandola nel modo seguente M C = Cit Cit = M C 1 moltiplicando, poi, entrambi i membri per, cioè Ct 1 1 Citi = ( M C ) i Ct Ct e semplificando, si ottiene i = M C Ct Pag. 19 di 21

20 Riepilogo formule Interesse I = M C I = C i t Capitale Tasso unitario Tempo Montante ( ) M I C = C = 1 + i t i t M C I i = i = C t C t M C I t = t = C i C i M = C 1+ i t M= C+ I Pag. 20 di 21

21 Il tasso effettivo i* Il tasso i, presente nelle operazioni finanziarie, è in realtà solo un tasso teorico. Nella pratica, la banca recupera, trattenendole dall interesse I, le somme necessarie per il pagamento di tasse e per le spese di gestione del conto. In tal modo, si ottiene un interesse I* ed evidentemente risulta I* <I. L'interesse I* corrisponde ad un tasso i*, detto tasso effettivo e risulta I* = C i* t. Se si indica, poi, con T la tassazione e con S le spese di gestione, risulta I* = I T S. Combinando le 2 formule si ha C i* t = I T S e moltiplicando per 1 1 C/ i* t = ( I T S ) cioè i* C/ t C t I T S = C t 1 C t Pag. 21 di 21