La capitalizzazione composta

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1 Il montante di un capitale La capitalizzazione composta Esempio 1. Un capitale di 400 Fr viene investito al tasso di interesse del 5% annuo per. Alla fine di ogni periodo (anno), gli interessi fruttati vengono aggiunti al capitale: in questo modo il montante diventa il nuovo capitale sul quale verranno calcolati gli interessi l anno successivo. In questo caso parliamo di capitalizzazione composta. Si completino le tabelle sottostanti. 400 Fr. 1 anno =40 anni =441 3 anni Soluzione: cap_comp_s1.pdf Quale montante si sarebbe ottenuto con un regime di capitalizzazione semplice? 1 anno anni 3 anni 400 Fr. Soluzione: cap_comp_s.pdf Vedi capitalizzazione semplice: cap_semplice.pdf Proviamo a generalizzare il caso della capitalizzazione composta: un capitale C o viene investito ad un tasso di interesse i per n periodi. Gli interessi fruttati vengono aggiunti al capitale alla fine di ogni periodo: si ottiene così un montante che diventa capitale per il periodo successivo. 1 anno anni 3 anni C o Soluzione: cap_comp_s3.pdf 1

2 Il montante del capitale C 0 dopo n periodi può essere espresso come C n = C 0 (1 +i) n L ammontare degli interessi dopo n periodi sarà: I n = C n C 0 Nota. (1 + i) n è detto fattore di capitalizzazione composta e rappresenta il montante di 1 Fr dopo n periodi. Esempio 3. Rappresentiamo graficamente il montante di 1000 Fr impiegati al 5% annuo, in regime di capitalizzazione composta e semplice Capitalizzazione semplice e composta anni semplice composta capitalizzazione Anno Semplice Composto Anno Semplice Composto Anno Semplice Composto Tabella completa: cap_comp_s4.pdf

3 Esercizio 1. Calcola il montante dei seguenti capitali, impiegati in regime di capitalizzazione composta, ai tassi e per i tempi indicati: i. 800 Fr impiegati al 4.5% annuo per ; ii Fr impiegati al 6% semestrale per 3 anni e 6 mesi; iii. 100 Fr impiegati per 80 anni al 3.5%; iv Fr impiegati la 4% trimestrale per ; v Fr impiegati al % quadrimestrale per 7 anni. Esercizio. Calcola il montante dei seguenti capitali, impiegati in regime di capitalizzazione composta, ai tassi e per i tempi indicati: i Fr impiegati al 3% trimestrale per e 3 mesi; ii. 000 Fr impiegati al 5% semestrale per un anno e 6 mesi; iii Fr impiegati al 6% annuo per due anni; iv Fr impiegati al 4% trimestrale per 6 anni e 3 mesi. Esercizio 3. Quale capitale devo impiegare oggi al 5% annuo per avere... i.... fra 10 anni Fr; ii.... fra anni Fr iii.... fra 000 Fr iv.... fra 0 anni Fr. I primi tre esercizi svolti: cap_comp_s5.pdf Esercizio 4. Il.1.94 hai depositato su un conto in banca Fr al tasso d interesse composto annuo del 3%. Quanto hai potuto prelevare il gennaio 1998? (Considera anche l imposta preventiva). [ ] Esercizio 5. Sessant anni fa mio nonno ha depositato un capitale di 600 Fr. Supponendo che il tasso si sia mantenuto costante al 5%, quanto avrebbe ora? [ ] Esercizio 6. Un capitale è stato investito al tasso d interesse composto del 6 1 % annuo dal al ; l interesse maturato è di 6739, 50 Fr. Determina il capitale. [ ] Esercizio 7. Un capitale di 000 Fr è impiegato ad interesse composto per 19 anni. Il tasso inizialmente del 4% è aumentato al % dopo 6 anni e al 43 % dopo altri. Trova il montante. [ ] 4 Esercizio 8. Un capitale di Fr è impiegato ad interesse composto per 10 anni. Inizialmente il tasso è del 9%, dopo aumenta al 1%. Calcola il montante. [ ] Esercizio 9. Un capitale di Fr è impiegato per 6 anni ad interesse composto. Il tasso, inizialmente del 1%, dopo viene ridotto al 10%. Calcola l importo del versamento complementare che occorre fare per avere alla fine del 6 anno lo stesso montante che si sarebbe avuto se il tasso non fosse stato diminuito. [698.65] Esercizio 10. Calcola il montante di Fr impiegati al tasso del 1 % composto annuo per. Considera l imposta preventiva. [ ] 3

4 Tassi equivalenti Per uno stesso periodo di durata possiamo considerare delle suddivisioni in un numero di capitalizzazione diversi. Ad esempio per il tempo di durata di 1 anno è possibile considerare la suddivisione in semestri, in 4 trimestri, quella in 1 mesi, in 360 giorni, ecc... Simbolo Periodi tasso annuale i 1 =i 1 tasso semestrale i tasso quadrimestrale i 3 3 tasso trimestrale i 4 4 tasso mensile i 1 1 In generale se l anno è suddiviso in k periodi, il tasso si indica con i k. Problema 1. Se impiego Fr per la durata di un anno al tasso annuo i = 4 1 % quale montante ottengo? E se lo impiego al tasso mensile i 1 = % = 0.375%? Svolgimento: cap_comp_s6.pdf Definizione 4. I due tassi i e i k si dicono equivalenti se i rispettivi montanti sono uguali per uno stesso capitale C o e per la durata prefissata. Cerchiamo di trovare una relazione tra due tassi i e i k. Siccome i due montanti devono essere uguali, abbiamo: C o (1 +i) 1 = C o (1+i k ) k (1 +i) 1 = (1 +i k ) k i = (1 +i k ) k 1 La formula i = (1 + i k ) k 1 ci indica il tasso effettivo annuo, conoscendo il tasso equivalente i k relativo alla suddivisione dell anno in k periodi. Analogamente possiamo esprimere i k in funzione di i i = (1+i k ) k 1 (1 +i k ) k = 1+i k (1 + ik ) k = 1 +i 1 +i k = 1 +i i k = 1 +i 1 La formula i k = 1+i 1 ci fornisce il tasso equivalente i k relativo alla suddivisione dell anno in k periodi, conoscendo il tasso effettivo annuo. 4

5 Esercizio 11. Determina il tasso mensile equivalente al tasso effettivo annuo del 4 1 %. [0.367%] Svolgimento: cap_comp_s7.pdf Esercizio 1. Dato il tasso effettivo annuo del 5%, trova: i. il tasso equivalente semestrale; [.47%] ii. il tasso equivalente trimestrale; [1.7%] iii. il tasso equivalente quadrimestrale. [ %] Esercizio 13. Dato il tasso semestrale del 4% trova il tasso annuo equivalente. [8.16%] Esercizio 14. Dato il tasso quadrimestrale del %, determina il tasso annuo equivalente. Determina il tasso semestrale equivalente. Esercizio 15. Dato il tasso trimestrale del 3%, determina il tasso equivalente quadrimestrale. [4.0%] Esercizio 16. Su alcuni depliant di una banca si dice che il denaro viene impiegato altasso trimestrale del 0.8%. Su quelli di una sua concorrente invece si pubblicizza il tasso semestrale 1 1 %. Trasforma i due tassi in tasso annuo e confrontali. [3.4% e 3.0%] Esercizio 17. Investo un certo capitale al tasso composto del 6%. È per me più conveniente che tale valore rappresenti un tasso annuo i, trimestrale i 4 o quadrimestrale i 3? (Calcola i montanti nei 3 casi e confronta i risultati; oppure...) Esercizio 18. Trova la formula che collega un tasso i k con il tasso equivalente i h Link utili