NUMERI NATURALI OPERAZIONI TRA FRAZIONI. 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare quale dei seguenti numeri non è un quadrato perfetto:

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2 NUMERI NATURALI 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare quale dei seguenti numeri non è un quadrato perfetto: a) b) 800 c) 256 d) e) (Da Medicina 2002) Siano a,b,c numeri naturali diversi da zero. Se a è il doppio di b e c è la metà di b, qual è il quoziente fra a e il quadruplo di c? a) 4 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 1 OPERAZIONI TRA FRAZIONI 1. (Da Medicina 2010) In una successione ereditaria nella quale gli eredi sono 4 fratelli, al maggiore di essi la defunta madre ha riservato la quota disponibile, cioè 1/3 dell eredità. Supponendo che i quattro fratelli divideranno fra loro in parti uguali la rimanente quota dei 2/3, quale frazione dell eredità spetterà al fratello maggiore? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 2. (Da Medicina 2007) Quale delle seguenti quaterne di numeri è ordinata secondo valori crescenti? a) 27/101 ; 2, ; ; 27/99 b) ; 2, ; 27/101 ; 27/99 c) 27/101 ; 27/99 ; ; 2, d) 27/101 ; 2, ; 27/99 ; e) 2, ; 27/101 ; 27/99 ;

3 3. (Da Medicina 2005) Quale delle seguenti quaterne di numeri è ordinata secondo valori crescenti? a) 12/999 ; 0, ; 12/1001 ; b) 12/1001 ; 12/999 ; 0, ; c) 12/1001 ; 0, ; 12/999 ; d) 12/1001 ; 0, ; ; 12/999 e) 0, ; 12/1001 ; ; 12/999 PERCENTUALI 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) La base di partenza per il calcolo dell'imu di un immobile di classe A1 si ottiene rivalutando la rendita catastale del 5% e moltiplicando il risultato ottenuto per 160. Allo stesso risultato si può giungere in un solo passaggio, moltiplicando direttamente la rendita catastale per un opportuno coefficiente c. Determinare il valore di c. a) 121 b) 165 c) 180 d) 168 e) (Da Veterinaria 2012) Il 70% degli iscritti a medicina veterinaria mangia pizza almeno una volta alla settimana. Tra questi, il 60% ci beve insieme una bevanda alcolica. Determinare la percentuale degli iscritti a medicina veterinaria che mangiano pizza almeno una volta alla settimana, senza accompagnarla con bevande alcoliche. a) 12% b) 40% c) 18% d) 28% e) 10% 3. (Da Medicina 2009) All inizio del 2007 ho comprato alcune azioni che a fine anno hanno guadagnato il 10% del valore, ma a fine del 2008 hanno perso il 10% del valore. Rispetto al valore iniziale, quello finale è: a) Lo stesso b) Aumentato del 10% c) Diminuito del 10% d) Aumentato dell 1% e) Diminuito dell 1% 3

4 4. (Da Odontoiatria 2009) All inizio del 2007 ho comprato 1000 euro di azioni. Nel 2007 il valore è aumentato del 5% e nel 2008 del 10%. A fine del 2008 quanto avrò guadagnato rispetto all inizio del 2007? a) 80 euro b) 100 euro c) 110 euro d) 115 euro e) 155 euro 5. (Da Veterinaria 2009) Qual è la cifra in euro che, impiegata per sei mesi al tasso annuo di interesse semplice del 2%, produce un guadagno di 500 euro? a) b) c) d) e) (Da Veterinaria 2008) Se investo euro per 3 mesi al tasso annuale del 5%, l interesse che ottengo per tali tre mesi è... a) 15 euro b) 60 euro c) 150 euro d) 300 euro e) 600 euro 7. (Da Medicina 2007) Il prezzo di listino di un elettrodomestico è di 680,00. Viene venduto per 595,00. Quale percentuale di sconto è stata praticata? a) 12 % b) 12,5 % c) 13 % d) 13,5 % e) 14 % POTENZE E OPERAZIONI FONDAMENTALI 1. (Da Veterinaria 2015) Calcolare 4

5 a) 5 /6 b) 10/2 c) 5/6 d) 7/6 e) (5/13) 2. (Da Veterinaria 2011) Determinare la somma: a) 3 31 b) 9 30 c) d) e) (Da Medicina 2008) Il doppio di 2 15 è: a) 4 15 b) 2 16 c) 2 30 d) 4 30 e) (Da Odontoiatria 2008) La terza parte di 9 6 è: a) 3 2 b) 3 6 c) 3 11 d) 9 2 e) (Da Veterinaria 2008) Il triplo di 3 8 è: a) 3 9 b) 3 24 c) 9 8 d) 9 9 e) (Da Odontoiatria 2004) Il prodotto fra un miliardesimo e 10-9 vale: a) b) c) d) e)

6 7. (Da Medicina 2003) La centesima parte di è: a) b) c) d) e) (0,01) (Da Medicina 2002) L espressione (0,025 x 10 3 ) x (4 x ) : (10 10 ) corrisponde a a) b) c) d) e) 0,1 x

7 SOLUZIONI NUMERI NATURALI 1. b) Infatti, scomponendo tutti i numeri come prodotto di fattori e utilizzando le regole per i prodotti di potenze, si ottiene: = (3 2 2 ) (3 3 ) = = (2) 2 (3 2 ) 2 = (2 3 2 ) 2 quadrato perfetto 800 = = NON è un quadrato perfetto 256 = 16 2 quadrato perfetto = 10 4 = (10 2 ) 2 quadrato perfetto = 11 ( ) = = (11 2) 2 quadrato perfetto 2. e) Infatti: a = 2b e c = b/2 Allora: OPERAZIONI TRA FRAZIONI 1. a) Infatti l eredità viene divisa nel seguente modo: 1/3 del totale al fratello maggiore 2/3 del totale divisi in parti uguali tra tutti i quattro fratelli. Dividendo questi 2/3 del totale in 4 parti uguali si ottiene: Quindi, ad ognuno dei fratelli spetta 1/6 del totale. Allora al fratello maggiore spetterà: dell eredità totale. 7

8 2. a) Infatti, trasformando tutti i numeri in frazioni facilmente confrontabili tra loro, si ha: 27/101 = 270/1010 2, = 0,27 = 27/100 = 270/ = 0,271 = 271/ /99 = 270/990 Si osserva subito che 270/1000 < 271/1000 perché sono due frazioni con lo stesso denominatore ma la prima frazione ha numeratore più piccolo. La frazione 270/1010 è quella più piccola perché, a parità di numeratore, ha il denominatore maggiore (dividendo 270 per un numero grande si ottiene un valore piccolo). La frazione 270/990, al contrario, è quella più grande perché, a parità di numeratore, ha il denominatore minore (dividendo 270 per un numero piccolo si ottiene un valore grande). Allora in ordine crescente si ha: 27/101 < 2, < < 27/99 3. c) Vedi esercizio 1. PERCENTUALI 1. d) Indichiamo con x la rendita catastale. Rivalutiamo la rendita del 5%: x + 5% di x = x + 0,05 x = 1,05 x Moltiplichiamo il risultato ottenuto per 160: 1,05 x 160 = 168 x 2. d) Si osserva, allora, che possiamo raggiungere lo stesso risultato in un solo passaggio moltiplicando direttamente la rendita catastale x per 168. Per semplificare i calcoli, diamo al numero di iscritti a medicina veterinaria un valore conveniente, per esempio 100. Allora, su 100 iscritti totali, 70 mangiano la pizza almeno una volta alla settimana(70%). Tra questi 70 studenti, il 60% accompagna la pizza con una bevanda alcolica. Calcoliamo, quindi il 60% di 70: 60% di 70 = 70 60/100 = 42 Allora, gli studenti che mangiano la pizza almeno una volta alla settimana senza bere una bevanda alcolica sono: = 28 che rappresentano il 28% degli iscritti totali. 3. e) Come per l esercizio precedente, diamo alle azioni acquistate un valore conveniente per semplificare i calcoli, per esempio 100. A fine 2007 le azioni hanno guadagnato il 10% del loro valore iniziale, e valgono: % di 100 = = 110 8

9 4. e) 5. d) 6. c) 7. b) A fine 2008 le azioni hanno perso il 10% del loro valore, e valgono: % di 110 = = 99 Allora, rispetto al valore di inizio 2007, il valore delle azioni è diminuito di 1, che rappresenta l 1% del valore iniziale delle azioni ( 1 /100 = 1/100 = 0,01 = 1%). All inizio del 2007 le azioni valgono Alla fine del 2007 hanno guadagnato il 5%, cioè: 5% di 1000 = (5 / 100) 1000 = 50 Quindi, all inizio del 2008 valgono: = 1050 Alla fine del 2008 le azioni hanno guadagnato il 10%, cioè: 10% di 1050 = (10 / 100) 1050 = 105 Allora, rispetto all inizio del 2007, le azioni hanno guadagnato: = 155 Utilizziamo la formula per i problemi di interesse: interesse = capitale tempo tasso di interesse e invertiamola per ottenere il capitale, che è l incognita del problema: capitale = interesse / (tempo tasso di interesse) Poiché il tasso di interesse è annuo, trasformiamo il tempo da mesi in anni: tempo = 6 mesi = 0,5 anni Sostituiamo interesse = 500, tempo = 0,5 anni, tasso di interesse = 2% = 0,02 : capitale = 500 / (0,5 0,02) = Come nell esercizio precedente, utilizziamo: interesse = capitale tempo tasso di interesse I dati del problema sono: capitale = tempo = 3 mesi = 1/4 anni = 0,25 anni tasso di interesse = 5% = 0,05 Allora si ottiene: interesse = ,25 0,05 = 150 Utilizziamo la formula per i problemi di sconto: sconto = costo tasso di sconto e invertiamola per ottenere il tasso di sconto, che è l incognita del problema: tasso di sconto = sconto / costo Il costo corrisponde al prezzo pieno dell elettrodomestico, pari a 680, e lo sconto è la differenza tra il costo iniziale e il prezzo effettivamente pagato, cioè = 85. Allora: tasso di sconto = 85 / 680 = 0,125 = 12,5% 9

10 POTENZE E OPERAZIONI FONDAMENTALI 1. c) Si ha: 2. a) La somma può essere riscritta come: = Allora, applicando la regola per il prodotto di potenze con la stessa base, si ha: = = b) 4. c) Il doppio di 2 15 è: La terza parte di 9 6 é: = = a) 6. a) Vedi esercizio 3. Un miliardesimo corrisponde a: Allora il prodotto vale: 7. c) Vedi esercizio = 10-9+(-9) = =

11 8. b) Eseguiamo la moltiplicazione tra le prime due parentesi e, successivamente, la divisione. Moltiplichiamo tra loro i coefficienti numerici e usiamo le regole per prodotto/divisione tra potenze per quanto riguarda le potenze con base 10: (0,025 x 10 3 ) x (4 x ) : (10 10 ) = (0,025 4) : (10 10 ) = 0, : (10 10 ) = = 0, : (10 10 ) = 0, = 0, = = =