UNITÀ DIDATTICA 6 LE PROPORZIONI NUMERICHE

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1 UNITÀ DIDATTICA 6 LE PROPORZIONI NUMERICHE 6.1 Le proporzioni. Problemi del tre semplice e del tre composto Se consideriamo 4 numeri a, b, c, d; con b e d diversi da zero, essi formano una proporzione quando sono uguali i rapporti a b = c d Le proporzioni. Problemi del tre semplice e del tre composto Una proporzione si scrive nel modo seguente: a : b = c : d e si legge a sta a b come c sta a d - I due numeri centrali (b, c) si chiamano medi, mentre i due numeri estremi (a, d) si chiamano estremi. I due numeri a e c si chiamano antecedenti e b e d sono detti conseguenti. Se si conoscono tre dei quattro numeri della proporzione è sempre possibile determinare il numero mancante. Proprietà fondamentale In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi e viceversa. Questa proprietà è dimostrabile facilmente. Se i numeri a, b, c, d sono in proporzione significa che a b = c d e, quindi, ad = cb La proprietà fondamentale si sfrutta per calcolare un termine incognito di una proporzione, quando sono noti gli altri tre. Es. Se 15: 3 = 10: x per trovare x, si ricava dalla proprietà fondamentale che 15 x = 3 10 da cui segue che x = = 2 Potrebbe anche accadere che una proporzione sia continua e che i medi siano uguali. Es. 3: x = x: 48 in tal caso la proprietà fondamentale è ancora valida e per trovare la x si dovrà risolvere x x = 3 48 ovvero x 2 =144 e infine x = 144 = 12 29

2 Altre proprietà delle proporzioni sono: - proprietà dell invertire: data una proporzione, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene una nuova proporzione. Da a:b=c:d segue che b:a=d:c; - proprietà del comporre: in ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la somma degli altri due sta al terzo termine (o al quarto). Da a: b = c: d segue che (a + b): a = (c + d): c oppure che (a + b): b = (c + d): d; - proprietà dello scomporre: in ogni proporzione, in cui gli antecedenti sono maggiori dei conseguenti, la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo (o al quarto). Da a: b = c: d segue (a - b): a = (c - d): c; - proprietà del permutare: data una proporzione se si scambiano tra loro i medi, o gli estremi, si ottiene una nuova proporzione. Da a: b = c: d segue che a: c = b: d. Es. (15 x): 3 = x: 9 determinare la x. Si può applicare la proprietà del permutare e arrivare a (15 x): x = 3: 9 dopo edichè si può applicare il comporre (15 x + x): x = (3 + 9): 9 Da cui è agevole 15 9 determinare che 15: x = 12: 9 e che x = 12 = Es. Sapendo che la somma di due numeri è 14 e che il loro rapporto è 4 determinare i due numeri. 3 Sapendo che x + y = 14 e che x: y = 4: 3 si può utilizzare la proprietà del comporre per trovare che (x + y): y = (4 + 3): 3 e sostituendo a x y la loro somma che 14: y = 7: 3 si ottiene che y = 7 è facile trovare x dato che x + 6 = 14 allora x = 14-6 =8 = 6 da cui 30

3 Problemi del tre semplice e del tre composto Innanzitutto, bisogna definire quando due grandezze che sono in relazione tra loro sono direttamente proporzionali o inversamente proporzionali: - grandezze direttamente proporzionali: due grandezze si dicono direttamente proporzionali quando, diventando una delle due doppia, tripla ecc. anche l altra diventa doppia tripla ecc.; mentre se una diventa la metà, la terza parte, ecc. anche l altra diventa la metà, la terza parte ecc. Esempio: il numero delle alberi tagliati al giorno è direttamente proporzionale al numero di boscaioli che lavorano; il numero di kilometri percorsi da un auto è direttamente proporzionale al numero di litri di benzina utilizzati, ecc.; - grandezze inversamente proporzionali: due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando diventando una doppia, tripla ecc. l altra diventa la metà, la terza parte ecc. Esempio: numero degli operai e numero di giorni per compiere un determinato lavoro, ecc. Problemi del tre semplice e del tre composto. Nei problemi del tre semplice ci sono due grandezze (direttamente o inversamente proporzionali) e dati due valori corrispondenti alle due grandezze e un valore corrispondente a una di esse bisogna determinare il valore relativo all altra. Si utilizza una proporzione. Es.: se per acquistare 7 metri di stoffa si spende 91euro quanti euro costano 15 metri di stoffa? Si usa il seguente specchietto da cui si trae una proporzione, tenendo conto della proporzionalità diretta: Metri Costo in stoffa euro x Siccome le grandezze sono direttamente proporzionali il rapporto tra le prime due grandezze è uguale al rapporto tra le altre due. 31

4 Si ricava la proporzione 7: 15 = 91: x dalla quale si può trovare che x = = 195. Es.: per fare un lavoro 25 operai hanno impiegato 8 7 giorni, quanti giorni ci impiegheranno 10 operai per fare lo stesso lavoro? Si usa il seguente specchietto da cui si trae una proporzione: Numero operai Giorni impiegati x Siccome le grandezze sono inversamente proporzionali bisogna invertire l ordine delle grandezze nella proporzione. Si ricava la proporzione 25: 10 = x: 8 dalla quale si può trovare che: x = = 20. Nei problemi del tre composto figurano tre o più grandezze che, considerate a due a due sono direttamente o inversamente proporzionali. In questi casi il valore della grandezza incognita si ottiene moltiplicando il valore noto della stessa grandezza per i rapporti inversi o diretti dei valori delle altre, a seconda che esse siano direttamente o inversamente proporzionali alla grandezza incognita. Esempio. Se 15 operai scavano in 12 giorni un fosso di 60metri, lavorando 8 ore al giorno, in quanti giorni 10 operai scaveranno un fosso di 40 metri lavorando 6 ore al giorno? Si costruisce la tabella: Operai Metri Ore Giorni x Inv prop Dir prop Inv prop Usando la regola bisogna invertire i metri e lasciare nel loro ordine operai e ore. x = = 16 32

5 UNITÀ DIDATTICA 7 NUMERI RAZIONALI RELATIVI 7.1 Numeri razionali relativi Quando ai numeri razionali positivi si aggiungono anche tutti i numeri razionale negativi si ottiene l insieme Q dei numeri razionali relativi. In questo insieme la sottrazione è definita come una particolare addizione e la divisione è definita come una particolare moltiplicazione. Si può, quindi, dire che nell insieme Q sono definite le operazioni di addizione e di moltiplicazione. L addizione gode delle seguenti proprietà: - è un operazione sempre possibile; - è associativa: (a + b) + c = a + (b + c); - è commutativa: a + b = b + a.; - ammette l elemento neutro, il numero relativo 0: a + 0 = a; - ammette il simmetrico, ovvero il suo opposto, che sommato dà zero a + (-a) = 0. Numeri razionali relativi La moltiplicazione tra numeri relativi gode delle seguenti proprietà: - è un operazione sempre possibile; - è associativa: (a b) c = a (b c) ; - è commutativa: a b = b a; - ammette l elemento neutro, il numero relativo 1: a 1= a; - eccetto lo zero, ogni numero ammette il simmetrico, che è il reciproco: a 1 = 1 Il numero zero non ammette il reciproco. a Vi è un ultima proprietà di collegamento tra addizione e moltiplicazione che è la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione: a (b + c) = a b + a c Queste proprietà si esprimono dicendo che l insieme Q è un campo numerico. 33

6 Nell insieme dei numeri Q, inoltre, è sempre definita la relazione «maggiore di» cosicché si può dire che l insieme Q è un insieme totalmente ordinato. Infine dati due numeri razionali relativi diseguali vi è sempre un numero razionale compreso tra i due. Si dice cioè che l insieme Q è denso. L insieme Q dei numeri razionali relativi è un campo numerico, totalmente ordinato e denso. Precisazioni Nel calcolo delle potenze bisogna tener conto che ogni potenza di base positiva è sempre positiva, una potenza di base negativa, invece, è positiva o negativa a seconda che l esponente sia pari o dispari. Es: 2 2 = 4; (-2) 2 = 4; (-2) 3 = -8. Due numeri relativi si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale a + 1. Il reciproco di +1 è +1, il reciproco di 1 è 1. Non esiste il reciproco dello 0. Il prodotto di un qualsiasi numero relativo per zero è zero. Il prodotto di due numeri relativi vale zero solo quando è zero almeno un fattore (legge di annullamento del prodotto). Nell operazione di divisione si ha un dividendo e un divisore e il risultato prende il nome di quoziente. Il divisore deve essere un numero diverso da zero. 34