RAPPORTI E PROPORZIONI

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1 MATEMATICA RAPPORTI E PROPORZIONI Prof.ssa M. Rosa Casparriello Scuola media di Fontanarosa

2 PREREQUISITI Conoscere e saper applicare la proprietà invariantiva della divisione e la proprietà fondamentale delle frazioni; Saper eseguire le operazioni in N e Q + ;

3 CONOSCENZE E ABILITA Apprenderemo il concetto di rapporto tra numeri e grandezze e applicheremo queste conoscenze per risolvere problemi; Acquisiremo il concetto di proporzione e di catena di rapporti; Capiremo e sapremo utilizzare i termini ed i simboli relativi al rapporto e alla proporzione;

4 CONOSCENZE E ABILITA Conosceremo e quindi sapremo applicare le proprietà delle proporzioni, anche per la risoluzione di problemi; Infine, saremo in grado di calcolare il termine incognito di una proporzione.

5 Problema Alex e Piero giocano nella stessa squadra di pallacanestro e sono sempre in lotta per il primato di miglior realizzatore. Nelle ultime due partite Alex ha realizzato 21 canestri su 84 tiri effettuati, Piero 18 su 54 tiri. Qual è il migliore realizzatore?

6 PROBLEMA facciamo il rapporto fra il numero dei canestri ed il numero dei tiri effettuati, abbiamo la seguente situazione: Alex: 21 su 84 o in frazione 21/84 cioè 1/4 Piero: 18 su 54 o in frazione 18/54 cioè 1/3 Chi è più grande 1/4 o 1/3?

7 Problema Piero is winner!!!!! Questo esempio ci mostra come in molti casi si possa ottenere una informazione corretta considerando un dato numerico in collegamento con un altro: cioè il RAPPORTO esistente tra i due dati. Il RAPPORTO tra due dati è il loro QUOZIENTE. DEF. Dati due numeri a e b (con b 0), si dice rapporto tra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo

8 Termini del rapporto Antecedente a : b conseguente Termini del rapporto I numeri a e b sono i termini del rapporto. Il primo numero è l antecedente, il secondo è il conseguente

9 IL RAPPORTO Oltre che sotto forma di divisione e di frazione, un rapporto può essere scritto sotto forma di decimale. Quindi questi sono tre modi per scrivere un rapporto: 3/5 come frazione; 3:5 come divisione; O.6 come numero decimale.

10 Rapporto inverso Se in un rapporto scambiamo l antecedente con il conseguente otteniamo il RAPPORTO INVERSO Considerando ad esempio i numeri 8 e 5: 8:5 o 8/5 o 1.6 è il rapporto diretto; 5:8 o 5/8 o è il rapporto inverso;

11 REGOLA Regola: Il prodotto di qualsiasi rapporto per il suo inverso è uguale a 1 8/5 x 5/8 =1 Regola Moltiplicando o dividendo antecedente e conseguente per un numero qualsiasi diverso da zero si ottiene un rapporto uguale a quello dato (proprietà invariantiva)

12 Proprietà invariantiva Esempio: 21:14=21/14=1.5 operiamo nel seguente modo: moltiplichiamo entrambi i termini per 3 (21x3) : (14x3)= 63:42= 63/42= 1.5 Dividiamo entrambi i termini per 7: (21:7) : (14:7)=3:2=3/2= 1.5 dunque dato il rapporto 2/5 sappiamo che i rapporti 4/10, 6/15 20/50 sono uguali a 2/5 perché ottenuti moltiplicando rispettivamente per 2, 3, 10 i suoi termini

13 Rapporti fra grandezze omogenee Consideriamo il rapporto fra due grandezze omogenee, cioè dello stesso tipo ed espresse nella stessa unità di misura PROBLEMA Lo zaino di Anna pesa 4.2 Kg, quello di Paola pesa 8.4. qual è il rapporto fra i due pesi? 4.2:8.4=4.2/8.4=1/2=0.5 Esprimendo i pesi in grammi 4200:8400=1/2=0.5

14 Rapporti fra grandezze omogenee DEF. Il rapporto fra due grandezze omogenee (con la seconda diversa da zero) è il quoziente fra le loro misure espresse nella stessa unità di misura. Il rapporto fra grandezze omogenee è un numero puro, ovvero privo di unità di misura. Appartiene all insieme dei numeri R e può essere razionale o irrazionale

15 PROBLEMA Calcolare il rapporto fra la lunghezza di due segmenti lunghi rispettivamente 27 cm e 81cm Il rapporto tra le due grandezze è 1/3 Possiamo osservare che: Il rapporto è un numero razionale; A C B D Le due grandezze ammettono un sottomultiplo (il loro M.C.D. è 27) e si dicono COMMENSURABILI

16 PROBLEMA 2 Dato un quadrato il cui lato misura 5 cm, calcolare il rapporto tra la lunghezza della diagonale e del lato Calcoliamo la misura della diagonale del quadrato applicando il teorema di Pitagora: D C d=l 2=5 2 Il rapporto tra d e l è: 5 2 :5= 2 Possiamo osservare: Il rapporto è un numero irrazionale; Le due grandezze non ammettono multipli in comune e si dicono incommensurabili A B l

17 rapporti fra grandezze omogenee DEF. Se due grandezze omogenee ammettono un sottomultiplo comune ed il loro rapporto è un numero razionale sono commensurabili. Se due grandezze omogenee non ammettono un sottomultiplo comune e il loro rapporto è un numero irrazionale sono incommensurabili

18 Rapporto tra grandezze non omogenee Consideriamo il rapporto tra grandezze di diverso tipo e non esprimibili con le stesse unità di misura. PROBLEMA Un ciclista professionista percorre 80 Km in 2 ore. Qual è la sua velocità media oraria. V=s:t 80km:2h=40km/h Otteniamo una nuova grandezze la velocità media vm espressa in kilometri all ora. Quindi il rapporto fra due grandezze non omogenee non è un numero puro, ma una nuova grandezza.

19 rapporti fra grandezze non omogenee DEF. Il rapporto fra due grandezze non omogenee è il quoziente tra le loro misure e costituisce una nuova grandezza (grandezza derivata) espressa in una nuova unità di misura

20 rapporti fra grandezze non omogenee ESEMPI: Un cubo di ferro ha il volume di 50 dm 3 e pesa 393 kg. Qual è il peso specifico? (peso/volume) In Sardegna vi sono abitanti distribuiti su una superficie di km 2. Quanti abitanti sono presenti, in media, su ogni km 2?

21 PROBLEMA Dato il segmento AB lungo 10 cm, costruiamo il segmento A B lungo 5 cm ed il segmento A B lungo 2,5 cm A A A B B B Consideriamo i rapporti tra i segmenti ottenuti: A B /AB= 5cm/10cm=1/2; A B /AB=2,5cm/10cm= =25/100=1/4 Quindi il segmento A B è la metà del segmento AB, mentre il segmento A B è un quarto di AB. Concludiamo: Il rapporto fra il segmento ridotto ed il segmento di partenza si dice rapporto di riduzione ed è minore dell unità

22 PROBLEMA Dato il segmento CD lungo 2 cm, costruiamo il segmento C D lungo 4 cm ed il segmento C D lungo 6 cm C C D D Consideriamo i rapporti tra i segmenti ottenuti: C D /CD= 4cm/2cm=2; C D /CD=6cm/2cm=3 Quindi il segmento C D è Il doppio del segmento CD, mentre il segmento C D è il triplo di CD C D Concludiamo: Il rapporto fra il segmento INGRANDITO ed il segmento di partenza si dice rapporto di INGRANDIMENTO ed è MAGGIORE dell unità

23 INGRANDIMENTI E RIDUZIONI Le rappresentazioni in cui le dimensioni degli oggetti vengono tutte ugualmente ridotte o ingrandite, secondo lo stesso rapporto sono dette rappresentazioni in scala. DEF. La scala è il rapporto tra la misura di una distanza sulla carta (distanza grafica) e la misura della stessa distanza nella realtà (distanza reale) espresse nella stessa unità di misura. Scala 1: significa che 1 cm sulla carta corrisponde a cm nella realtà cioè 8 km 1:1 dimensioni reali 2:1 dimensioni raddoppiate 3:1 dimensioni triplicate

24 La Proporzione PROBLEMA Nella prima partita del torneo estivo di pallacanestro Alex ha realizzato 12 canestri su 24 tiri e Piero 15 canestri su 30 tiri chi è stato il miglior realizzatore della partita? Dobbiamo calcolare il rapporto canestri realizzati/ tiri effettuati: Alex 12/24=1/2 Piero 15/30= ½ I due rapporti sono uguali quindi i due giocatori sono stati ugualmente bravi. Poiché i due rapporti sono uguali possiamo scrivere: 12/24 = 15/30 oppure 12:24=15:30

25 Cos è una proporzione? Proporzione Uguaglianza tra due rapporti

26 Termini di una proporzione Si legge: a sta a b come c sta a d a : b = c : d Quarto proporzionale medi estremi

27 Termini di una proporzione antecedenti a : b = c : d conseguenti

28 Particolare proporzione medi uguali a : b = b : c Se i medi (oppure gli estremi) sono uguali la proporzione è continua

29 Proprietà fondamentale delle proporzioni La proprietà fondamentale è collegata alla definizione di frazioni equivalenti. I prodotti in croce sono uguali. A : B = C : D A D B C

30 Proprietà dell invertire a : b = c: d b : a = d : c Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene ancora una proporzione

31 Proprietà del permutare a : b = c : d a : b = c : d d : b = c : a a : c = b : d Se in una proporzione si scambiano tra loro i medi e/o gli estremi si ottiene ancora una proporzione

32 Proprietà del comporre a : b = c : d a : b = c : d (a+b):a = (c+d):c (a+b):b = (c+d):d In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo ( o al secondo termine come la somma degli altri due sta al terzo (o al quarto termine)

33 Proprietà dello scomporre a : b = c : d a : b = c : d (a - b):a = (c - d):c (a - b):b = (c - d):d Se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo termine (e quindi il terzo maggiore del quarto), la differenza del primo e secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto termine).

34 Applica la proprietà fondamentale 6 : 16 = x :40 x x : 7 = 6 : 14 x Prova tu

35 Applica la proprietà del comporre 2:3 : 5 3 x x Prova tu E quindi otteniamo 3 : 3 2 : 5 3 x x x 5 : 3 : 5 3 x x

36 Applica la proprietà dello scomporre (4+x):x=5:3 (4+x-x):x=(5-3):3 E quindi: 4 : x = 2 : 3 x = 43 2 Prova tu

37 Applica la proprietà del permutare e del comporre 2:x=6:(x+3) E quindi (x+3-x):x=(6-2):2 (x+3):x=6:2 3:x=4:2 x 32 4 Prova tu

38 Grandezze direttamente proporzionali DUE GRANDEZZE SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI SE AL RADDOPPIARE, TRIPLICARE, QUADRUPLICARE DELL UNA RADDOPPIA, TRIPLICA, QUADRUPLICA.. ANCHE L ALTRA. Ad esempio il prezzo di una merce e il suo peso sono direttamente proporzionali. La quantità di benzina consumata e lo spazio percorso di un auto.

39 Legge di proporzionalità diretta Se due grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto di due valori della prima è uguale al rapporto di due grandezze della seconda. : = :

40 Grandezze inversamente proporzionali DUE GRANDEZZE SONO INVERSAMENTE PROPORZIONALI SE AL RADDOPPIARE, TRIPLICARE, QUADRUPLICARE DELLA PRIMA LA SECONDA DIVENTA UN MEZZO, UN TERZO, UN QUARTO Per esempio sono inversamente proporzionali il numero di ore giornaliere e il numero di giorni per eseguire un lavoro. La portata di un rubinetto e il tempo per riempire un recipiente. La grandezza di un ingranaggio e il numero di giri effettuati in un determinato tempo

41 Legge di proporzionalità inversa Se due grandezze sono inversamente proporzionali,il rapporto di due valori della prima è uguale al rapporto inverso dei due valori della seconda. : = :