Frazioni e numeri decimali

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1 Indice VIII Il numero unità Frazioni e numeri decimali Indice Numeri decimali limitati e illimitati Dalla frazione al numero decimale corrispondente La frazione generatrice 8 Operazioni con i numeri decimali Ricorda 6 Esercizi di riepilogo 7 Scheda di autoverifica Esercizi di recupero Esercizi di potenziamento unità L estrazione di radice La radice quadrata 8 Le proprietà della radice quadrata 0 Algoritmo della radice quadrata Approssimazione per difetto a meno di La radice quadrata di un numero decimale 0 Uso delle tavole numeriche 6 I numeri reali assoluti 8 Ricorda 0 Esercizi di riepilogo Scheda di autoverifica 7 Esercizi di recupero 77 Esercizi di potenziamento 99

2 unità Rapporti e proporzioni Il rapporto 60 Rapporto fra grandezze 6 Rapporto fra grandezze omogenee 6 Rapporto fra grandezze non omogenee 66 Riduzione e ingrandimento in scala 69 Scala di riduzione 69 Scala di ingrandimento 70 Le proporzioni 7 Le proprietà delle proporzioni 77 La proprietà dell invertire 77 La proprietà del permutare 77 La proprietà del comporre e dello scomporre 78 Risolviamo una proporzione 80 Calcolare l estremo o il medio incognito 80 Calcolare il medio proporzionale 8 Altri metodi risolutivi 8 Catena di rapporti 89 La percentuale 9 Problemi con la percentuale 9 Ricorda 97 Esercizi di riepilogo 98 Scheda di autoverifica 7 Esercizi di recupero Esercizi di potenziamento 7 IX Indice unità Funzioni e proporzionalità Grandezze variabili e funzioni 0 Rappresentazione grafi ca di una funzione La proporzionalità diretta e inversa I problemi del tre semplice Problemi del tre semplice diretto Problemi del tre semplice inverso I problemi del tre composto 8 Problemi di ripartizione Problemi di ripartizione semplice diretta Problemi di ripartizione semplice inversa Problemi di ripartizione composta Problemi di società Ricorda Esercizi di riepilogo Scheda di autoverifica 6 Esercizi di recupero Esercizi di potenziamento 8 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education Milano

3 Geometria e misura unità Equivalenza e aree X Figure piane equivalenti 66 L area del rettangolo e del quadrato 7 L area del parallelogramma 78 L area del triangolo 8 La formula di Erone 8 L area del rombo 86 L area del trapezio 9 L area di un poligono qualsiasi 9 Ricorda 99 Esercizi di riepilogo 00 Scheda di autoverifica Esercizi di recupero Esercizi di potenziamento 0 Indice unità 6 Circonferenza e cerchio Circonferenza archi e corde 8 Cerchio settori e segmenti circolari Punti rette e circonferenze Posizioni di una circonferenza e una retta Posizioni reciproche di due circonferenze 6 Angoli al centro e alla circonferenza Proprietà degli angoli al centro e alla circonferenza Ricorda 7 Esercizi di riepilogo 8 Scheda di autoverifica Esercizi di recupero Esercizi di potenziamento 6 unità 7 Poligoni inscritti e circoscritti Poligoni inscritti e circoscritti 8 Triangoli inscritti e circoscritti 0 Quadrilateri inscritti e circoscritti Area di un poligono circoscritto I poligoni regolari 7 L area dei poligoni regolari 8 Ricorda 6 Esercizi di riepilogo 6 Scheda di autoverifica 7 Esercizi di recupero 9 Esercizi di potenziamento 6

4 unità 8 Il teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora 76 Terne pitagoriche 78 Applicazioni del teorema di Pitagora 86 Ricorda 97 Esercizi di riepilogo 98 Scheda di autoverifica Esercizi di recupero 6 Esercizi di potenziamento 69 unità 9 Il metodo delle coordinate Il piano cartesiano ortogonale Punto medio e distanza fra due punti 8 Poligoni nel piano cartesiano Ricorda 6 Esercizi di riepilogo 7 Scheda di autoverifica Esercizi di recupero 7 Esercizi di potenziamento 77 XI Indice unità 0 La similitudine La similitudine e le sue proprietà 6 Relazione fra elementi corrispondenti 8 Relazione fra perimetri e aree 8 Come disegnare poligoni simili 9 Triangoli simili criterio di similitudine criterio di similitudine criterio di similitudine I teoremi di Euclide 8 Primo teorema di Euclide 8 Secondo teorema di Euclide 9 Il teorema di Talete Ricorda 7 Esercizi di riepilogo 8 Scheda di autoverifica 67 Esercizi di recupero 79 Esercizi di potenziamento 8

5 Dati e previsioni unità Indagini statistiche Indagine statistica a variabile qualitativa 70 Indagine statistica a variabile quantitativa 7 Ricorda 80 Esercizi di riepilogo 8 Scheda di autoverifica 89 Esercizi di recupero 88 Esercizi di potenziamento 9 XII Indice unità Il calcolo della probabilità Eventi aleatori e probabilità 9 La legge dei grandi numeri 97 Eventi incompatibili compatibili e complementari 00 Eventi incompatibili 00 Eventi compatibili 00 Eventi complementari 0 Ricorda 0 Esercizi di riepilogo 0 Scheda di autoverifica 09 Esercizi di recupero 9 Esercizi di potenziamento 96 Verifichiamo... le competenze 99. Utilizzare linguaggio e simboli matematici 00. Eseguire calcoli aritmetici 0. Risolvere problemi aritmetici 08. Organizzare e rappresentare dati. Risolvere problemi di geometria piana 8 In preparazione alle prove INVALSI 7 Apparati Soluzioni delle Schede di autoverifica Glossario 9 Tavole numeriche 6

6 Il numero unità Frazioni e numeri decimali Contenuti Numeri decimali limitati e illimitati La frazione generatrice Operazioni con i numeri decimali Prerequisiti Conoscere il concetto di frazione come numero razionale Conoscere i procedimenti di calcolo in N e Q + Obiettivi Conoscenze Il concetto di numero decimale La conoscenza dell insieme Q + Il concetto di frazione generatrice Abilità Riconoscere un numero decimale limitato e illimitato Riconoscere un numero periodico semplice e un numero periodico misto Trasformare una frazione in numero decimale e viceversa Operare con i numeri decimali Materiali di matematica in Mappa interattiva Audioripasso

7 Numeri decimali limitati e illimitati I numeri razionali assoluti o le frazioni rappresentano il quoziente della divisione fra il numeratore e il denominatore; per ottenere quindi il numero che corrisponde a una frazione basta calcolare questo quoziente. Se la frazione è apparente ad esempio 6 e 0 il quoziente come sai è un numero naturale: : = 6 6 : = 0 0. Consideriamo adesso alcune frazioni non apparenti: Calcoliamo il quoziente fra numeratore e denominatore e osserviamo i risultati che otteniamo: = 7 : 0 = 7 = 9 : 8 = = 7 : 00 = 07 = 7 : 0 = 0 Il numero 7 e 07 sono i quozienti di frazioni decimali di frazioni cioè che hanno come denominatore 0 o una sua potenza (00 = = 0 ); essi hanno un numero limitato di cifre decimali e si chiamano decimali limitati; e 0 sono i quozienti di due frazioni non decimali dette ordinarie e sono ancora decimali limitati. Consideriamo adesso altre frazioni ad esempio e calcoliamo ancora il quoziente fra numeratore e denominatore: 7 7 = 7: = 8 = 7 : = = 8 : = 666 = : = 0 = : = 0 = : = Osserviamo i risultati ottenuti: e non sono quozienti esatti perché sono ottenuti con una divisione che non dà mai resto zero (osserva l esempio a fianco); hanno quindi un numero illimitato di cifre decimali e si dicono numeri decimali illimitati Se osserviamo bene questi numeri illimitati ci accorgiamo che sono di due tipi.

8 Quelli come 666 e 0 sono numeri che subito dopo la virgola hanno una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono periodicamente. Questi numeri vengono detti illimitati periodici semplici o semplicemente periodici semplici la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo e si indicano con una lineetta sopra il periodo:... = = = 0 Quelli come e sono numeri che subito dopo la virgola hanno almeno una cifra o un gruppo di cifre che non si ripetono e dopo di esse il periodo. Questi numeri vengono detti illimitati periodici misti o semplicemente periodici misti la cifra o il gruppo di cifre che precede il periodo si chiama antiperiodo e si indicano nel seguente modo: Diciamo che: = = = 0 96 Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola inizia il periodo cioè la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono all infinito. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se fra la virgola e il periodo c è una cifra o un gruppo di cifre detto antiperiodo che non si ripete. Periodico semplice Periodico misto parte intera 67 periodo 68 parte intera periodo antiperiodo. Frazioni e numeri decimali Esercizi pag. 7 Dalla frazione al numero decimale corrispondente Si può senza eseguire la divisione fra numeratore e denominatore sapere che tipo di numero si ottiene da un frazione qualsiasi? Per rispondere osserviamo gli esempi fatti. Sia le frazioni decimali cioè 7 7 e 0 00 sia quelle ordinarie cioè 9 7 e 8 0 sono frazioni i cui denominatori scomposti in fattori primi: 0 = 00 = 8 = 0 = contengono come fattori primi solo ed esclusivamente il il o entrambi. Le frazioni 7 8 e danno come quozienti numeri periodici semplici e hanno i denominatori che scomposti in fattori primi: = = = non contengono affatto come fattori il e il. RCS Libri S.p.A. - Divisione Education Milano

9 Le frazioni 7 e danno come quozienti numeri periodici misti e hanno i denominatori che scomposti in fattori primi: = = = contengono i fattori e ma anche altri fattori primi. Possiamo affermare che: Il numero Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero decimale limitato. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato se il suo denominatore scomposto in fattori primi contiene esclusivamente il fattore o o entrambi. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore scomposto in fattori primi non contiene affatto i fattori e. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore scomposto in fattori primi contiene sempre altri fattori primi oltre a e o a entrambi. esempi. Verificare in quale tipo di numero decimale si trasformano le frazioni 9 7 e. 0 I denominatori delle frazioni scomposti in fattori primi: 0 = e = contengono esclusivamente i fattori e quindi le frazioni 9 7 e si trasformano in 0 numeri decimali limitati: 9 : 0 = 0 7 : = 8. Verificare in quale tipo di numero decimale si trasformano le frazioni 8 6 e. 7 I denominatori delle frazioni scomposti in fattori primi: = e 7 = non contengono affatto i fattori e quindi le frazioni 8 6 e si trasformano in numeri 7 decimali periodici semplici: 8 : = 07 6 : 7 = 09. Verificare in quale tipo di numero decimale si trasformano le frazioni 7 e. 8 I denominatori delle frazioni scomposti in fattori primi: = e 8 = contengono i fattori e ma anche altri fattori quindi le frazioni 7 e si trasformano in numeri decimali periodici 8 misti: : = 6 7 : 8 = 09

10 acciamo il punto verifica le tue conoscenze.. Che cosa si intende per numeri razionali assoluti?. Completa. Se dividiamo il numeratore per il denominatore di una frazione la trasformiamo in un numero che può essere... se la frazione è apparente se la frazione non è apparente.. Segna il completamento esatto. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se in esso: fra la virgola e il periodo c è l antiperiodo. subito dopo la virgola inizia il periodo. subito dopo la virgola inizia la parte intera.. Segna il completamento esatto. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se in esso: fra la virgola e il periodo c è l antiperiodo. subito dopo la virgola inizia il periodo. subito dopo la virgola inizia la parte intera.. Segna l affermazione esatta. Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero decimale illimitato. Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero decimale limitato. Una frazione decimale si può trasformare in un numero decimale limitato o illimitato.. Frazioni e numeri decimali Esercizi pag Segna il completamento esatto. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato se il suo denominatore scomposto in fattori primi: non contiene affatto i fattori e. contiene esclusivamente il fattore o o entrambi. contiene oltre ai fattori o anche altri fattori. 7. Segna il completamento esatto. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se il suo denominatore scomposto in fattori primi: non contiene affatto i fattori e. contiene esclusivamente il fattore o o entrambi. contiene oltre ai fattori o anche altri fattori.

11 acciamo il punto 8. Segna il completamento esatto. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se il suo denominatore scomposto in fattori primi: non contiene affatto i fattori e. contiene esclusivamente il fattore o o entrambi. contiene oltre ai fattori o anche altri fattori. verifica le tue abilità. 9. Scrivi tre numeri decimali limitati Scrivi tre numeri decimali periodici semplici..... Scrivi tre numeri decimali periodici misti Il numero. Completa scrivendo i numeri dati in simboli e indicandone il tipo (osserva l esempio) illimitato periodico semplice Nei seguenti esercizi riconosci i numeri decimali limitati quelli periodici semplici e quelli periodici misti sottolineandoli rispettivamente in rosso in verde e in blu.. ; 6 ; 0; ; 9 ; 7 0; ; 9 0; 6 ; ; 90 ; 7; 7. Per ogni numero dato nei seguenti esercizi stabiliscine il tipo (decimale limitato periodico semplice o periodico misto) e indicane le varie parti (parte intera periodo antiperiodo). 7. ; 0; ; ; ; 9 607; ; 8 ; 9.. ; 0; ; 07; 0.. Completa la seguente tabella. Numero Parte intera Parte decimale Periodo Antiperiodo Tipo di numero

12 . Senza eseguire la divisione completa la seguente tabella. Frazione Frazione ridotta ai minimi termini Denominatore scomposto in fattori primi Numero decimale limitato Numero periodico semplice Numero periodico misto = X Nei seguenti esercizi stabilisci in che tipo di numero decimale si possono trasformare le frazioni assegnate e poi esegui la loro trasformazione.. ; 7 6 ; ; 6. ; 9 ; 9 7 ; ; 0 ; 9 ; 6. Frazioni e numeri decimali Esercizi pag ; ; 6 ; 8 9. ; 7 0 ; 6 ; ; ; 7 0 ; 8. 7 ; 8 ; 7 ; ; ; ; 7 0. ; ; 6 9 ; 8. 8 ; 0 ; ; 0 0

13 La frazione generatrice Proponiamoci adesso di trovare un procedimento che ci permetta di calcolare la frazione da cui ha avuto origine un numero decimale cioè la frazione generatrice di un numero decimale. Procediamo distinguendo i tre casi: numero decimale limitato numero decimale periodico semplice e numero decimale periodico misto. 8 Per calcolare la frazione generatrice di un numero decimale limitato ad esempio 9 procediamo nel modo seguente: scriviamo il numero in notazione polinomiale: ; trasformiamo i decimali in frazione: = = + + = = Abbiamo quindi: 9 9 = e possiamo dire che: 00 Il numero La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente per numeratore il numero dato senza la virgola e per denominatore a seconda che le cifre decimali del numero siano una due tre. Per calcolare la frazione generatrice di un numero periodico semplice ad esempio procediamo nel modo seguente: moltiplichiamo il numero per 0: 0; poiché 0 può essere espresso come 9 + consideriamo la seguente uguaglianza: 0 = (9 ); applichiamo a questa uguaglianza la proprietà distributiva: 0 = 9 ; sottraiamo a entrambi i termini ; avremo: 0 = 9 ; da cui 0 = 9 che possiamo scrivere nel modo seguente: = 9; eseguiamo i calcoli: 9 = 9 da cui 9 9 =. Osservando che 9 = possiamo dire che: La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero dato senza la virgola e la sua parte intera e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Per calcolare la frazione generatrice di un numero periodico misto ad esempio procediamo nel modo seguente: moltiplichiamo il numero per 00: 00; poiché 00 può essere espresso come consideriamo la seguente uguaglianza: 00 = ( 90 0 );

14 applichiamo a questa uguaglianza la proprietà distributiva: 00 = 90 0; sottraiamo a entrambi i termini 0 ; avremo: da cui che possiamo scrivere nel modo seguente: = 90; eseguiamo i calcoli: 7 = 90 da cui 7 90 Osservando che 7 = possiamo dire che: =. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il periodo sempre senza la virgola e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. esempi. Calcolare la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali: ; 68 ; 0 ; 0 = Calcolare la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali: ; 07 ; ; 6 = = = 9 9. Frazioni e numeri decimali Esercizi pag Calcolare la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali: 6 0 ; ; = = 6 90 per riflettere Osserva alcune particolarità: la frazione generatrice di un numero periodico semplice di periodo 9 è una frazione 9 apparente: 9 = = = quindi un numero periodico semplice di periodo 9 è 9 9 in effetti un numero naturale; la frazione generatrice di un numero periodico misto di periodo 9 è una frazione decimale: 9 98 = = = quindi un numero periodico misto di periodo 9 è in 9 effetti un numero decimale limitato.

15 acciamo il punto verifica le tue conoscenze.. Completa. La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione Segna il completamento esatto. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione: avente per numeratore il numero dato senza la virgola e per denominatore secondo che le cifre decimali del numero siano. avente per numeratore il numero dato senza la virgola e per denominatore tanti 9 secondo che le cifre decimali del numero siano. avente per numeratore la differenza fra tutto il numero senza la virgola e la sua parte intera e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Il numero. Completa. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione Completa. 6 è un numero.. in esso è la... 6 è la è un numero... in esso 0 è la... è il è un numero... in esso 9 è la 6 è... e è verifica le tue abilità. Calcola la frazione generatrice di ciascun numero dato nei seguenti esercizi.. 08; ; 7 ; ; 7. ; 7; 0 6 ; 6 0 ; 8 6. ; 7; 0 ; 87 0 ; ; 008; 9 0 ; ; 7

16 9. 007; 6; 96 0 ; 7 0 ; 7. ; 0; 0 ; ; ; 0; 9 9 ; 7 0 ; 9. 06; ; 7 ; 7 ; 8 Calcola la frazione generatrice di ciascun numero decimale periodico semplice dato nei seguenti esercizi.. 8 ; 6 6;. 07 ; 6 ; ; 8 ; 8 6. ; ; 9 ; 7 ; 69 8 ; 9 ; 9 ; 7 9 ; 9 0 ; 7 ; 7. 8 ; 7 6; ; 7 6; 0 9. ; ; ; 0 ; ; ; 6 ; 8 ; 0 ; 0 ; ; ; Calcola la frazione generatrice di ciascun numero decimale periodico misto dato nei seguenti esercizi.. 6 ; 7 ; 0. 6 ; 9 ; 0. 6 ; 8 ; ; 9 ; 6 6 ; ; 7 79 ; 88 ; ; 9 ; 8 ; ; 7. 0 ; 7 ; ; 9 ; ; 8 ; ; 6 ; ; 7 ; ; ; 0 0 ; 6 ; 7 66 ; 9 6 ;. Frazioni e numeri decimali Esercizi pag. 7 Calcola la frazione generatrice di ciascun numero decimale dato nei seguenti esercizi ; 0 ; 00 ; 9 ;. 6; 6 6; 6 ; ; ; 06 ; 06 ; 68 ;. ; ; 0 0 ; 0 ; ; 8 ; 8 6 ; 8 ; ; 06 ; 06 ; 6 ; ; 808 ; 7 7 ; 6 ; ; 77 ; 9 ; 8 ; 87 0

17 Operazioni con i numeri decimali Per eseguire le operazioni e quindi risolvere le espressioni con i numeri decimali bisogna distinguere se essi sono limitati o illimitati. Se sono numeri decimali limitati si può procedere indifferentemente nei due modi seguenti: eseguire i calcoli con i numeri decimali secondo le regole conosciute; trasformare i numeri decimali nelle loro frazioni generatrici e poi il risultato (frazione) in numero decimale. Se si incontrano quozienti non esatti è però obbligatorio ricorrere al secondo metodo. Se sono numeri decimali illimitati periodici occorre necessariamente trasformare i numeri nelle loro frazioni generatrici e quindi eseguire i calcoli e trasformare il risultato in numero decimale. Lo stesso metodo va applicato se le operazioni sono fra numeri decimali limitati e decimali periodici. Il numero esempi Eseguire nei due modi possibili i seguenti calcoli = = = + 0 = = 9 + = = = ( + 0 7): ( + 0 ) = = 7 : = = = ( + 0 7): ( + 0 ) = 7 = + 00 : = = + + = + + = = = 0 = = + = + = = ( + 0 ):( ) : = = : + : = 6 90 = : 0 = = = =

18 acciamo il punto verifica le tue abilità. Esegui le operazioni fra numeri decimali limitati date nei seguenti esercizi nei due modi possibili.. + ; 0 + 8; 9 + [9; ; 9] ; 7 + ; [88; 8; 66]. 9 9; 8; 7 76 [08; 86; 6]. 6 8; 69 8; 89 [08; 8866; 68]. 7; 6 0; 0 [70; ; 808] 6. 0; 6 ; [08; 88; 08] 7. : ; 087 : 007; : [6; ; ] : 0 98 : 7; 7 : 00 [7; ; 98] Esegui le operazioni fra numeri decimali periodici date nei seguenti esercizi ; ; ; ; ; ; : 0 ; 6 : : ; 06 : 7. Frazioni e numeri decimali Esercizi pag. 7 Calcola il valore delle seguenti espressioni. 7. ( + ) : 0 [6] ( + 0) [0] (8 08) [09] 0. [ : ( + 07) + 0] + 09 [9]. [( ) : 09 0] : 9 [0]. + [67 + ( + 76 ) ( + 7 8)] []. {00 [86 ( 8) + (0 )] + 79} []. 0 {[ (6 + 6 : ) ] 9} + ( : 0 8) []

19 acciamo il punto. ( + ) {8 [ (7 9)]} (8 ) 0 [] 0 [ 0 8 ( )] 6. + [] 0 [ 0 0 ( 0 07 )] ( 8 0 ) + ( 77 0 ) 7. ( 6 ) ( 6 0 ) ( 99 0 ) [ : 0 ( 0 : 8 ) ] [] [8] ( 7) : 0 9. ( ): 6 [6] ( ): + 0 : [] Il numero [76]. 0 + : [0]. ( ) : ( 8 0 ) [] 7. ( 0 ) : 06 ( ) : : 0 : [7] [0] ( 0 ): [] [] []

20 Calcola il valore delle seguenti espressioni. 9. ( + 8 ) 0. ( 97 0 ) 0 7. ( ) 06 6 : ( 7 ): :( 7 ). [ 6 : ( 0)]: 0 6. [ 6 ( ): ]:[( 0 ): 6 ] []. [( 0):( + 0 ) + 0 ] [ 0 ( 6 0): 06 ] 0 6 : 0 7. { + [ ]: 6 0 0} : + 0 [] {[( ) ) : ] } 0 [] ( 0 ) 6 : : 08 : []. Frazioni e numeri decimali Esercizi pag ( ) : 8 [( ): 7 ]. 7 ( ) 0 : 0 ( ) : : : [] ( 6 9) : : : RCS Libri S.p.A. - Divisione Education Milano

21 ricorda Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero decimale limitato. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato se il suo denominatore scomposto in fattori primi contiene esclusivamente il fattore o o entrambi. 6 Il numero Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola inizia il periodo cioè la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono all infinito. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se fra la virgola e il periodo c è una cifra o un gruppo di cifre detto antiperiodo che non si ripete. Periodico semplice Periodico misto parte intera 67 Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore scomposto in fattori primi non contiene affatto i fattori e. Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore scomposto in fattori primi contiene sempre altri fattori primi oltre a e o a entrambi. periodo 68 parte intera periodo antiperiodo La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente per numeratore il numero dato senza la virgola e per denominatore a seconda che le cifre decimali del numero siano una due tre. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero dato senza la virgola e la sua parte intera e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il periodo sempre senza la virgola e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo.

22 esercizi di riepilogo. Completa la seguente tabella approssimando come richiesto i numeri dati. Numero 6 7. Completa la seguente tabella arrotondando come richiesto i numeri dati. Numero Valore approssimato per difetto a meno di 0 Valore arrotondato ai decimi Valore approssimato per eccesso a meno di 00 Valore arrotondato ai millesimi Ricorda che per arrotondare: si fissa l approssimazione (unità decimi centesimi ) a cui deve corrispondere l arrotondamento; si considera la cifra successiva (verso destra) a quella scelta per l arrotondamento e: se questa cifra è minore di si arrotonda per difetto ponendo uguale a zero questa cifra e tutte quelle successive; se questa cifra è uguale o maggiore di si arrotonda per eccesso aumentando di la cifra scelta per l arrotondamento e ponendo uguale a zero tutte le successive.. Frazioni e numeri decimali Teoria da pag. a pag. 6 7 Nei seguenti esercizi scrivi il denominatore mancante in modo tale che la frazione risulti trasformabile in un numero decimale limitato ; ;. ; ;. 7 ; ; 6. 7 ; ; Nei seguenti esercizi scrivi il numeratore mancante in modo tale che la frazione risulti trasformabile in un numero decimale limitato. 7. ; ; ; ; ; ; ; ; 0 0

23 esercizi di riepilogo Nei seguenti esercizi scrivi il denominatore mancante in modo tale che la frazione risulti trasformabile in un numero decimale illimitato periodico semplice ; ;. ; ;. 7 ; ;. 0 7 ; ; Nei seguenti esercizi scrivi il numeratore mancante in modo tale che la frazione risulti trasformabile in un numero decimale illimitato periodico semplice.. ; ; 6 7. ; ; 7 6. ; ; ; ; Il numero Nei seguenti esercizi scrivi il denominatore mancante in modo tale che la frazione risulti trasformabile in un numero decimale illimitato periodico misto ; ;. ; ; ; ;. ; ; Nei seguenti esercizi scrivi il numeratore mancante in modo tale che la frazione risulti trasformabile in un numero decimale illimitato periodico misto.. ; ; 8. ; ; 0 8. ; ; ; ; 8 6 Nei seguenti esercizi stabilisci senza effettuare i calcoli quali frazioni danno origine a numeri decimali limitati numeri decimali periodici semplici o numeri decimali misti. Giustifica la tua risposta ; ; 9 9. ; ; 7 7 ; ; 9 Trasforma le frazioni date nei seguenti esercizi nei corrispondenti numeri decimali ; 7 ; ; ; 9 0

24 . ; ; ; 6 ; 8. ; 0 ; ; ;. ; 0 ; 8. 7 ; 9 0 ; Scrivi la frazione generatrice dei numeri dati nei seguenti esercizi ; ; ; ; ; 0. ; 7 6 ; ; ; ; ; ; ; 9 6. ; ; ; ; ; ; ; ; 9 8 ; 0 ; ;. Frazioni e numeri decimali Teoria da pag. a pag Completa la seguente tabella. a b a + b a b a b a : b a b Calcola il valore delle seguenti espressioni sostituendo alle lettere i valori assegnati.. ( ) ( ): b per a ; b = 0. a ( b + c) ( b c) per a ; b = 0 6; c = 0

25 esercizi di riepilogo a b. ( ) c per a ; b = 0 ; c =. ( ) ( ) a b per a ; b = 0 [] 6. : ( a b a b a ) a per a ; b = 0 7. a b ab a ( a b) : a b per a ; b = Calcola il valore delle seguenti espressioni. 0 Il numero : ( + ) : ( + ): 8 + [] [] 6. ( 6 ) + ( 7 0 ) 0 8 :( 6 6 ) : : 9 : 008 : ( 6 + 0): : ( 0 ) 6 0 ( : ( ) : + : 6 6 []

26 7 69. ( + 0 ): : ( ) [] ( ( 6 ) : : ( 0 ) ( 6 ): : 0 0 : ( ) : : [( 0 9 0) 7 : ( 0 )] [] 8 7. ( 0 ): 07 + : 0 : + 6 ) 0 ( : 0 : 8 ( 0 6 ) + : []. Frazioni e numeri decimali Teoria da pag. a pag ( ) : [] ( 6) ( 0 ) 0 7 : 79. ( 6 ) 7 : 00 0 : ( ( ) 0 : ( 0 0 6) : : 6 7 0

27 esercizi di riepilogo 6 [( 0 ): 0 ] 8. ( 0): : : 6 0 ( ) : 8. : 0 ( 06 ): : : 0 ( 0 ) ( ) : 09 + :( 0) [] Il numero : ( ) ) :( 0) ( 0) : : : : 07 [] [] : 7 : 8 : 09 0 () : 8 8 ( ) + 9 ( 7 0): : : : ( ) : ( : ) 6 : : 6 7 []

28 Esercizi di recupero Una consistente serie di esercizi unità per unità fi nalizzati al recupero delle nozioni matematiche acquisite. La gradualità delle diffi coltà e i numerosi esercizi guidati consentono un agevole percorso di apprendimento. Esercizi di potenziamento Una consistente serie di esercizi unità per unità fi nalizzati al potenziamento delle nozioni matematiche acquisite e completati da esercizi tratti in gran parte dalle Olimpiadi della Matematica.

29 esercizi di recupero unità Frazioni e numeri decimali Stabilisci in che tipo di numero decimale si trasformano le frazioni date nei seguenti esercizi e poi esegui la trasformazione (osserva gli esempi).. 0 esempio svolto Poiché 0 = (cioè contiene solo i fattori e ) la frazione si trasforma in un numero decimale limitato: = : 0 = esempio svolto Poiché = (cioè contiene solo i fattori e ) la frazione si trasforma in un numero decimale periodico semplice: 9 = 9 : = esempio svolto Poiché 0 = (cioè contiene altri fattori oltre a e ) la frazione si trasforma in un numero decimale periodico misto: = : 0 = 76 0 Il numero Poiché =... (cioè contiene...) la frazione si trasforma in un numero decimale : =... =... [09] Poiché =... (cioè contiene...) la frazione si trasforma in un numero decimale : 6 =... =... Poiché =... (cioè non contiene...) la frazione si trasforma in un numero decimale : =... = ; 9 9 ; 6 8 ; 0. 8 ;. 0 ; ; ;. 9 9 ; 0 0

30 Calcola la frazione generatrice di ciascun numero decimale dato nei seguenti esercizi (osserva gli esempi) = = = = = = = ; 9. 0 ; 8 86 = = 90 ; 0 ; 9 Calcola il valore delle seguenti espressioni.. ( + 7) 0 [8]. ( + 9) [66] = 9 = = = = ;. ; 8 7 ; 9 6 ; 6. (78 ) : 0 []. (9 0) : 0 [9] Teoria da pag. a pag ( + 0) + 0 [] 7. ( + 07) : + ( + 0) [7] 8. ( + ) (7 + + ) : + 08 [] 9. (7 + ) ( + ) : 0 [] 0. [0 (6 + 0) + 0 : 0 ] : (6 8) + 0 []. [( 09) : ( 07) 0] ( ) + [6]. {[( + 0) 0] 0} : 0 + [7]. {0 [ (0 09) 0] + 09} (8 ) [078]. ( + 0 ):( ) 7. ( ):( 0 ) 8 6. [ 6 ( 0 8 ) : ]: :[ + 0 ( 0) ) ] 0 7 [] 8. [( 0 8 : 0 6 ): ] : 0 6 []. Frazioni e numeri decimali RCS Libri S.p.A. - Divisione Education Milano

31 esercizi di potenziamento unità Frazioni e numeri decimali Nei seguenti esercizi dopo aver eseguito le opportune trasformazioni metti il segno > < o = al posto dei puntini ; ; ; ; Calcola il valore delle seguenti espressioni : 0 06 [6] ( ) : 7 7 [] : Il numero : 06 0 : : : : ( 0) []

32 ( ) : + [] ( 0 ) : ( 0 ) ( 0 6 ) : Teoria da pag. a pag. 6. ( ): + :(0 ) + ( 7) : 6 : Frazioni e numeri decimali 8. 9 : 7 0 : ( 0 08) : : + 7

33 Esercizi di potenziamento : 0 : : ( + 0 ): In gara. Quanti minuti dura la metà di un terzo di un quarto di un giorno? (Kangourou della Matematica 00) Il numero. Una bottiglietta da / di litro è piena per /. Quanti centilitri di liquido conterrà dopo averne versato in un bicchiere 0 centilitri? (Kangourou della Matematica 006). Anche a Mathemandia si fanno gare matematiche e lo scorso anno hanno vinto ex-aequo due studenti: Teo Rema e Omar Assi. Il premio consiste in un vitalizio annuo di 000 euro. Il vitalizio di Teo viene pagato a fine anno e poi si incrementa di 0 euro all anno mentre quello di Omar viene pagato a fine semestre (00 euro) e poi si incrementa di euro semestrali. Allora ogni anno (scegli l affermazione esatta): a. Teo incassa 0 euro più di Omar; b. Omar incassa 0 euro più di Teo; c. Teo incassa euro più di Omar; d. Omar incassa euro più di Teo. (Gran Premio di Matematica Applicata 00)

34 Verifichiamo... le competenze. Utilizzare linguaggio e simboli matematici. Eseguire calcoli aritmetici. Risolvere problemi aritmetici. Organizzare e rappresentare dati. Risolvere problemi di geometria piana

35 . Utilizzare linguaggio e simboli matematici. Completa le seguenti frasi con il termine opportuno. Il numero si chiama numero ; esso si scrive esattamente.... Il numero si chiama numero.... ; esso si scrive esattamente..... Scrivi il termine specifico al posto dei puntini Scrivi in cifre i seguenti numeri: dieci virgola trentadue... Verifichiamo... le competenze dieci virgola trentadue trentadue periodo... dieci virgola trentadue due periodo.... Scrivi il termine specifico al posto dei puntini. 6 = 6. Spiega il significato dell affermazione è la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un unità di

36 6. Completa. Dati due numeri a e b il quoziente a : b è detto.... Dati due numeri a e b il quoziente b : a è detto Nei seguenti rapporti scrivi il termine specifico al posto dei puntini. a b a b 8. Spiega il significato della seguente terminologia. Grandezze omogenee Grandezze commensurabili Grandezze incommensurabili Nelle seguenti proporzioni scrivi il termine specifico al posto dei puntini. 8 : 9 = : 7 : = : : = : 6. Utilizzare linguaggio e simboli matematici RCS Libri S.p.A. - Divisione Education Milano

37 0. Completa con il termine esatto. Il rapporto tra la misura delle dimensioni sulla carta e la misura delle stesse dimensioni nella realtà che indica quante volte la misura reale è stata ridotta sulla carta si chiama Il rapporto tra la misura delle dimensioni sulla carta e la misura delle stesse dimensioni nella realtà che indica quante volte la misura reale è stata ingrandita sulla carta si chiama Completa le seguenti affermazioni. : è una scala di... ; essa indica che le dimensioni reali di un oggetto sono... 0 di quelle su carta. : è una scala di... ; essa indica che le dimensioni reali di un oggetto sono... di quelle su carta.. Completa le seguenti frasi. Date due grandezze variabili dipendenti x e y dire che y è funzione di x significa che Verifichiamo... le competenze Due grandezze variabili dipendenti x e y tali che al raddoppiare o triplicare della x segue il raddoppiare o triplicare della y si dicono Due grandezze variabili dipendenti x e y tali che al raddoppiare o triplicare della x la y diventa la metà o un terzo si dicono Completa le seguenti frasi con i termini opportuni. Il coefficiente di proporzionalità diretta tra due grandezze direttamente proporzionali è il loro.... Il coefficiente di proporzionalità inversa tra due grandezze inversamente proporzionali è il loro.... La funzione di proporzionalità diretta è.... La funzione di proporzionalità inversa è....

38 . Che cosa indica la scrittura 7%? Nella seguente scrittura scrivi il termine specifico al posto dei puntini. 8% 6. Spiega il significato della seguente terminologia. Le figure piane A e B sono equivalenti Le figure piane A e B sono equicomposte Le figure piane A e B sono simili Riconosci se le due figure di ciascuna coppia assegnata nei seguenti esercizi sono congruenti equivalenti o simili. 7. Le due figure sono Le due figure sono Utilizzare linguaggio e simboli matematici 9. Le due figure sono

39 0. Le due figure sono Osserva le figure a fianco e completa la frase a esse relativa. Le due figure sono tra loro... perché Osserva le figure a fianco e completa la frase a esse relativa. La figura a sinistra è... alla perché Verifichiamo... le competenze. Osserva le figure a fianco e completa la frase a esse relativa. La figura a sinistra è... alla perché Osserva le seguenti figure e completa la frase a esse relativa. La figura a sinistra è... alla perché

40 In preparazione alle prove INVALSI L INVALSI (Istituto Nazionale di Valutazione del Sistema di Istruzione) è un ente che si occupa tra le altre cose di effettuare verifiche periodiche su tutte le scuole di ogni ordine e grado per avere un quadro complessivo delle conoscenze e delle abilità che gli studenti raggiungono alla fine di un ciclo scolastico. Nell anno scolastico l Istituto ha predisposto anche la Prova Nazionale dell Esame di Stato alla fine della scuola secondaria di primo grado che secondo le indicazioni ministeriali dalla legge n. 76/007 affianca la Prova scritta di matematica. Secondo le indicazioni ministeriali dalla legge n. 76/007 la Prova scritta di matematica agli esami di licenza consta infatti di due distinte prove. Una prova scritta redatta dall insegnante della disciplina secondo il curricolo di studi e articolata su più quesiti che non comportino soluzioni dipendenti l una dall altra e che tocchino aspetti numerici geometrici e tecnologici nozioni elementari nel campo della statistica e della probabilità e anche aspetti matematici aventi attinenza con attività svolte nel corso del triennio nel campo delle scienze sperimentali. Una prova scritta a carattere nazionale volta a verificare i livelli generali e specifici di apprendimento conseguiti dagli alunni e i cui quesiti sono scelti dal Ministro tra quelli definiti annualmente dall INVALSI. Nella suddetta prova verranno proposti quesiti a scelta multipla e a risposta aperta sulle seguenti aree: numeri geometria relazioni e funzioni misure dati e previsioni. Nelle seguenti pagine vengono proposti esercizi adatti a prepararsi a queste prove INVALSI sui principali argomenti affrontati nel o anno.

41 Sul programma del anno della Scuola Secondaria di primo grado riguardante i temi: Il numero Il pensiero razionale Dati e previsioni. Passando dalla proporzione 8 : = 0 : alla proporzione 6 : = : quale proprietà è stata applicata? Segna la risposta esatta. a. Del comporre. c. Dell invertire. b. Dello scomporre. d. Del permutare.. Quale fra i seguenti numeri non è un numero razionale? Segnalo. a. 9 b. 6 c. d Quale fra le seguenti frazioni equivale al numero decimale 0? Segna la risposta esatta. a. c. 0 b. 0 d. 00. Il seguente diagramma cartesiano rappresenta la temperatura atmosferica registrata in una città nell arco di una giornata. In preparazione alle prove INVALSI Temperatura C Ore In quale intervallo di tempo la temperatura ha avuto un andamento crescente? Segna la risposta esatta. a. Tra le e le 6. c. Tra le e le. b. Tra le e le. d. Tra le 0 e le.

42 . Qual è il valore della x nella proporzione 6 : x = x : 6? Risposta... Descrivi il procedimento che hai seguito Nei giorni lavorativi della settimana scorsa ho avuto in media 0 euro al giorno di guadagno. Quali possono essere stati gli effettivi guadagni in ciascun giorno? Segna la risposta esatta. a b c d Descrivi il procedimento che hai seguito Un indagine condotta tra i ragazzi di una scuola riguardante la frutta preferita ha dato i risultati a fianco. Quale delle seguenti tabelle corrisponde ai dati dell indagine? Segna la risposta esatta. Frutta Frequenza % banana pesca 0 mela 0 fragola 0 pera Frutta Frequenza % banana 0 pesca 0 mela fragola 0 pera a. b. Frutta Frequenza % banana pesca mela 0 fragola pera Frutta Frequenza % banana pesca mela 0 fragola pera c. d. Frutta N ragazzi (x = 0) banana x x x pesca x x x x x mela x x fragola x x x x x x x pera x x x RCS Libri S.p.A. - Divisione Education Milano

43 8. Qual è il risultato della radice quadrata 0 6? Segna la risposta esatta. a. 0 b. 008 c. 08 d Quale fra le seguenti frazioni equivale al numero decimale 070? Segna la risposta esatta. a b. 7 0 c d In una classe vi sono alunni e di questi sono maschi. Qual è il rapporto fra il numero dei maschi e il numero delle femmine? Segna la risposta esatta. a. : b. : c. : d. : 0. Il diagramma a fianco rappresenta la relazione fra due grandezze x e y. Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? E qual è il loro rapporto di proporzionalità (r. p.)? Segna la risposta esatta. y a. Inversamente proporzionali r. p. = b. Direttamente proporzionali r. p. = x c. Direttamente proporzionali r. p. = In preparazione alle prove INVALSI d. Inversamente proporzionali r. p. =. Qual è il valore della x nella proporzione : x = : 9? Segna la risposta esatta. a. b. 7 c. d.. In tasca ho 0 euro ossia i 6/ di quelli di mia sorella. Quanti euro possiede mia sorella? Risposta... Descrivi il procedimento che hai seguito La distanza tra due località è di 00 km. A quanto corrisponde questa distanza in una cartina la cui scala è : ? Segna la risposta esatta. a. 0 cm b. 0 cm c. 0 cm d. 00 cm