Equivalenza e aree. Circonferenza e cerchio

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1 Indice Geometria e misura VIII Indice unità 1 Equivalenza e aree Figure piane equivalenti L area del rettangolo e del quadrato 8 L area del parallelogramma 14 L area del triangolo 17 La formula di Erone 18 L area del rombo L area del trapezio 7 L area di un poligono qualsiasi 30 Ricorda 35 Esercizi di riepilogo 36 Scheda di autoverifica 51 Esercizi di recupero 06 Esercizi di potenziamento 14 unità irconferenza e cerchio irconferenza, archi e corde 54 erchio, settori e segmenti circolari 59 Punti, rette e circonferenze 61 Posizioni di una circonferenza e una retta 61 Posizioni reciproche di due circonferenze 6 ngoli al centro e alla circonferenza 67 Proprietà degli angoli al centro e alla circonferenza 68 Ricorda 73 Esercizi di riepilogo 74 Scheda di autoverifica 81 Esercizi di recupero 17 Esercizi di potenziamento 0

2 unità 3 Poligoni inscritti e circoscritti Poligoni inscritti e circoscritti 84 Triangoli inscritti e circoscritti 86 Quadrilateri inscritti e circoscritti 88 rea di un poligono circoscritto 91 I poligoni regolari 93 L area dei poligoni regolari 94 Ricorda 100 Esercizi di riepilogo 101 Scheda di autoverifica 109 Esercizi di recupero 3 Esercizi di potenziamento 7 IX unità unità 4 Il teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora 11 Terne pitagoriche 114 pplicazioni del teorema di Pitagora 1 Ricorda 133 Esercizi di riepilogo 134 Scheda di autoverifica 147 Esercizi di recupero 9 Esercizi di potenziamento 33 5 Il metodo delle coordinate Il piano cartesiano ortogonale 150 Punto medio e distanza fra due punti 154 Poligoni nel piano cartesiano 159 Ricorda 16 Esercizi di riepilogo 163 Scheda di autoverifica 169 Esercizi di recupero 37 Esercizi di potenziamento 41 Indice RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

3 unità 6 La similitudine X Indice La similitudine e le sue proprietà 17 Relazione fra elementi corrispondenti 174 Relazione fra perimetri e aree 174 ome disegnare poligoni simili 175 Triangoli simili criterio di similitudine 180 criterio di similitudine criterio di similitudine 180 I teoremi di Euclide 184 Primo teorema di Euclide 184 Secondo teorema di Euclide 185 Il teorema di Talete 190 Ricorda 193 Esercizi di riepilogo 194 Scheda di autoverifica 03 Esercizi di recupero 43 Esercizi di potenziamento 84 Verifichiamo... le competenze Utilizzare linguaggio e simboli matematici 54. Eseguire calcoli aritmetici Risolvere problemi aritmetici 6 4. Organizzare e rappresentare dati Risolvere problemi di geometria piana 7 In preparazione alle prove INVLSI 81 pparati 307 Soluzioni delle Schede di autoverifica 308 Glossario 311 Tavole numeriche 313

4 Geometria e misura unità 1 Equivalenza e aree ontenuti Figure piane equivalenti L area del rettangolo e del quadrato L area del parallelogramma L area del triangolo L area del rombo L area del trapezio L area di un poligono qualsiasi Prerequisiti onoscere i triangoli e i quadrilateri e le loro proprietà onoscere i sistemi di misura e saper operare con le rispettive unità di misura Obiettivi onoscenze Il concetto di equivalenza e di equiscomponibilità di fi gure piane Il calcolo delle aree delle fi gure piane bilità Individuare e disegnare poligoni equivalenti pplicare il principio di equiscomponibilità per riconoscere fi gure piane equivalenti alcolare l area dei triangoli e dei quadrilateri Materiali di matematica in Mappa interattiva udioripasso

5 Figure piane equivalenti bbiamo iniziato lo studio delle Æ gure piane parlando dei poligoni, quindi, se osservi le Æ gure, e, sai riconoscere sicuramente che Ë un poligono. Ma e che cosa sono? Geometria e misura e sono Æ gure piane che hanno come contorno linee che non sono spezzate semplici chiuse. Il contorno di Ë una linea curva chiusa, il contorno di Ë una linea mista chiusa. Una Æ gura piana che ha come contorno una linea curva chiusa si dice figura piana a contorno curvilineo, se ha una linea mista chiusa si dice figura piana a contorno mistilineo. Una qualsiasi Æ gura piana (poligono, Æ gura a contorno curvilineo, Æ gura a contorno mistilineo) occupa una parte di piano e ha quindi una sua superficie. La superæ cie di una Æ gura piana Ë una grandezza la cui misura Ë l' area della Æ gura. Osserviamo adesso le Æ gure piane a Æ anco: esse sono congruenti, hanno infatti la stessa forma e le stesse dimensioni, occupano quindi la stessa superæ cie e avranno di conseguenza la stessa area. Pur non avendo la stessa forma, due Æ gure possono perú occupare una stessa superæ cie e quindi avere la stessa area. Osserva. onsideriamo i poligoni a Æ anco ed esaminiamo le Æ gure che si ottengono combinandoli in modo diverso. Le Æ gure che abbiamo ottenuto non hanno la stessa forma, ma Ë chiaro che hanno tutte la stessa area in quanto, essendo formate dalle stesse parti, occupano tutte la stessa superæ cie. hiamiamo queste Æ gure equivalenti o equiestese e indichiamo ciú in questo modo: (leggi equivalente a, equivalente a ).

6 In generale diciamo che: ue Æ gure piane sono equivalenti o equiestese se hanno la stessa area. ueæ gure congruenti sono necessariamente equivalenti. ueæ gure equivalenti non sono necessariamente congruenti. ome possiamo stabilire se due Æ gure piane sono o no equivalenti? onsideriamo due Æ gure piane equivalenti come quelle a Æ anco, formate da uno stesso numero di parti tra loro congruenti. Esse si possono, ovviamente, scomporre nello stesso numero di parti congruenti e si dicono equicomposte o anche equiscomponibili. Per stabilire se due Æ gure sono o no equivalenti, basta quindi osservare se sono o no equiscomponibili. ue Æ gure piane possono essere equiscomponibili per somma o per differenza di parti congruenti. Osserva. 1. Equivalenza e aree Esercizi pag Le Æ gure, e sono equicomposte in quanto ottenute sommando Æ gure tra loro rispettivamente congruenti. Scriviamo che: e diremo che figure ottenute sommando figure rispettivamente congruenti sono equivalenti. Le Æ gure, E ed F sono equicomposte in quanto ottenute sottraendo da tre rettangoli congruenti tre quadrati congruenti. E F RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

7 Possiamo ancora scrivere E F e diremo che figure ottenute sottraendo a figure congruenti figure rispettivamente congruenti sono equivalenti. ue Æ gure equiscomponibili sono quindi sempre equivalenti. Non Ë vero perú il contrario: due Æ gure equivalenti non sono sempre equiscomponibili. Osserva: Le due Æ gure, pur essendo equivalenti, non sono equiscomponibili. iciamo quindi che: 4 ue Æ gure equiscomponibili per somma o differenza di parti rispettivamente congruenti sono necessariamente equivalenti. ue Æ gure equivalenti non sono necessariamente equiscomponibili. Geometria e misura per riflettere Esaminiamo delle Æ gure equivalenti che, come sai, non sempre sono equiscomponibili. d esempio, osserviamo le Æ gure equivalenti a Æ anco. Non essendo equiscomponibili, per veriæ care se sono o no equivalenti, possiamo ricorrere a un metodo indiretto: il metodo della pesata. isegniamo le due Æ gure da confrontare su uno stesso foglio di cartone di spessore uniforme, ritagliamole e pesiamole quindi con una bilancia di precisione. Se hanno lo stesso peso, vuol dire che Ë stata impiegata la stessa quantit di cartone: le due Æ gure hanno quindi la stessa estensione, sono cioë equivalenti. In caso contrario non saranno equivalenti e la Æ gura che pesa di pi avr maggiore estensione.

8 acciamo il punto verifica le tue conoscenze. 1. Riconosci fra le figure date i poligoni, le figure piane a contorno curvilineo e le figure piane a contorno mistilineo Segna l affermazione esatta. Superficie e area sono due sinonimi. L area è la misura della superficie. La superficie è la misura dell area. 3. ompleta. ue figure aventi la stessa area si dicono... ue figure composte dallo stesso numero di parti congruenti si dicono.... ue figure equicomposte sono necessariamente Equivalenza e aree Esercizi pag verifica le tue abilità. Nei seguenti esercizi considera ogni quadratino di area 1 cm e scrivi l area, in m e dm, delle figure assegnate F G M N

9 acciamo il punto P Q R S 10. Quali delle figure date hanno area uguale a 8u (u = un quadratino)? Segnale. 6 Geometria e misura 11. Fra le figure date individua, segnandole, le figure equivalenti alla figura. Verifica, scomponendole in parti rispettivamente congruenti, che le figure assegnate nei seguenti esercizi siano tra loro equivalenti. 1.

10 13. Per ciascuna figura assegnata nei seguenti esercizi disegnane una equivalente ma non congruente Equivalenza e aree Esercizi pag isegna due poligoni fra loro equivalenti combinando fra loro le figure date in ciascuno dei seguenti esercizi

11 L area del rettangolo e del quadrato onsideriamo un rettangolo avente la base lunga 4 cm e l' altezza lunga 3 cm. Per calcolare la sua area baster vedere quante volte un' unit di misura, ad esempio il cm, Ë contenuta in esso. Se riportiamo l' unit di misura nel nostro rettangolo, osserveremo che vi Ë contenuta 1 volte, quindi l' area del rettangolo Ë 1 cm. questo risultato possiamo arrivare moltiplicando la lunghezza della base, 4 cm, per quella dell' altezza, 3 cm. iciamo che: b = 4 cm h = 3 cm 8 Geometria e misura L'a rea del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: = b h (formula diretta) b = e h = (formule inverse) h b Il quadrato, come sai, Ë un particolare rettangolo avente la base congruente all' altezza. Per calcolare la sua area possiamo quindi applicare la stessa formula del rettangolo, dove h = b = l. iciamo che: L'a rea del quadrato si ottiene moltiplicando la misura del lato per se stessa: esempi = l (formula diretta) l = (formula inversa) 1. alcolare perimetro e area di un rettangolo che ha la base e l' altezza lunghe rispettivamente 45 m e 18 m. ati Richieste = 45 m p =? = 18 m =? l p = ( ) m = 16 m = (18 45) m = 810 m. Un quadrato ha il lato lungo 108 cm. alcolare la misura della base di un rettangolo equivalente al quadrato e avente l' altezza lunga 7 cm. ati Richiesta = 108 FG =? EFGH EF = 7 cm () = 108 cm = cm E H FG = ( : 7) cm = 16 cm F G

12 acciamo il punto verifica le tue conoscenze. 1. Segna il completamento esatto. L area di un rettangolo si calcola: moltiplicando la misura della base per quella dell altezza. moltiplicando la misura della base per quella dell altezza e dividendo il prodotto per. dividendo la misura della base per quella dell altezza.. Scrivi la formula diretta e le formule inverse per il calcolo dell area del rettangolo. 3. Segna il completamento esatto. L area di un quadrato si calcola: moltiplicando la misura del lato per se stessa. moltiplicando la misura del lato per se stessa e dividendo il prodotto per. dividendo la misura del lato per quattro. 4. Scrivi la formula diretta e quella inversa per il calcolo dell area del quadrato. verifica le tue abilità. alcola perimetro e area dei rettangoli dati nei seguenti esercizi cm 6. cm 19 cm 3 cm 1. Equivalenza e aree Esercizi pag cm cm cm 18 cm cm cm 8 cm 9 cm ompleta le seguenti tabelle riferite a dei rettangoli (b = base, h = altezza, p = perimetro, = area) h b p h b p 7 cm 3 cm 15 cm 1 cm 1 cm 5 cm 15 cm 100 cm 35 cm 315 cm 4 cm 160 cm

13 acciamo il punto alcola perimetro e area delle figure date nei seguenti esercizi facendo le opportune misurazioni Geometria e misura Risolvi i seguenti problemi riguardanti il rettangolo. 1. In un rettangolo le dimensioni sono lunghe rispettivamente 1 cm e 30 cm. alcolane il perimetro e l area. [10 cm; 630 cm ]. alcola perimetro e area di un rettangolo con le dimensioni lunghe rispettivamente,8 dm e 65 cm. [186 cm; 1 80 cm ] 3. In un rettangolo la base misura 1,7 cm e l altezza è il doppio della base. alcola il perimetro e l area del rettangolo. [3,58 cm ] 4. alcola perimetro e area di un rettangolo sapendo che la base misura 7 m e che l altezza è la metà della base. [81 m; 364,5 m ] 5. alcola perimetro e area di un rettangolo sapendo che la base misura 35 cm e che l altezza è i 5/7 della base. [10 cm; 875 cm ] 6. In un rettangolo la base misura 16,8 cm ed è i 4/7 dell altezza. alcolane il perimetro e l area. [9,4 cm; 493,9 cm ]

14 7. In un rettangolo la somma della base e dell altezza misura 75 cm e la base è i /3 dell altezza. alcolane il perimetro e l area. [150 cm; cm ] 8. Il perimetro di un rettangolo è 11 cm e la base è i 4/3 dell altezza. alcola l area del rettangolo. [768 cm ] 9. Il perimetro di un rettangolo è 1 cm e una dimensione supera l altra di 16 cm. alcola l area del rettangolo. [866,5 cm ] 30. La misura della base di un rettangolo è data, in centimetri, dal valore della seguente espressione: : : + 3 : Sapendo che l altezza è i 7/5 della base, calcola perimetro e area del rettangolo. [7 cm; 315 cm ] 31. Il perimetro di un rettangolo è dato, in metri, dal valore della seguente espressione: : 1 + : Sapendo che l altezza è gli 8/9 della base, calcola l area del rettangolo. [88 m ] 3. In un rettangolo la differenza fra la base e l altezza misura 1 cm e la base è i 3/5 dell altezza. alcolane il perimetro e l area. [96 cm; 540 cm ] 33. alcola il perimetro e l area di un rettangolo sapendo che la somma e la differenza delle sue dimensioni misurano rispettivamente 38 cm e 1 cm. [76 cm; 35 cm ] 34. alcola il perimetro di un rettangolo avente l area di 43 cm e la base lunga 7 cm. [86 cm] 1. Equivalenza e aree Esercizi pag La base di un rettangolo, lunga 36 cm, è congruente ai 3/ dell altezza. alcolane perimetro e area. [10 cm; 864 cm ] 36. L area di un rettangolo è di 153 cm e una delle dimensioni misura 9 cm. alcola l area di un secondo rettangolo le cui dimensioni sono rispettivamente congruenti ai 5/3 di quelle del primo. [13,77 cm ] 37. ue rettangoli sono equivalenti. La base e l altezza del primo misurano rispettivamente 65 cm e 3 cm. alcola la misura della base del secondo sapendo che la sua altezza misura 80 cm. [6 cm] 38. La somma delle aree di due rettangoli è 464 cm e uno è equivalente ai 3/8 dell altro. alcolane i perimetri sapendo che hanno l altezza congruente lunga 3 cm. [176 cm; 106 cm] 39. ue rettangoli sono isoperimetrici e le dimensioni del primo misurano rispettivamente 4 cm e 15 cm. alcola l area del secondo sapendo che la sua base è i 3/4 della dimensione maggiore del primo. [378 cm ] 40. L area del rettangolo è cm e la sua base misura 87 cm. alcola perimetro e area del rettangolo EFGH sapendo che i rettangoli verdi hanno il lato minore lungo 15 cm. [19 cm; 3 cm ] E H F G

15 acciamo il punto ompleta le seguenti tabelle riferite a dei quadrati (l = lato, p = perimetro, = area) l 15 cm cm 31 cm l 18 m p p 196 m 48 m alcola perimetro e area delle figure date nei seguenti esercizi facendo le opportune misurazioni Geometria e misura Risolvi i seguenti problemi riguardanti il quadrato. 49. Il lato di un quadrato misura 19 cm. alcolane perimetro e area. [76 cm; 361 cm ] 50. Il lato di un quadrato misura 3,4 m. alcolane perimetro e area. [13,6 m; 11,56 m ] 51. L area di un quadrato è 704 cm. alcola la misura del suo lato. [5 cm] 5. alcola l area di un quadrato sapendo che il suo perimetro è 64 cm. [56 cm ] 53. Sapendo che l area di un quadrato è 961 cm, calcola il suo perimetro. [14 cm] 54. alcola l area di un quadrato sapendo che il suo perimetro è 140 cm. [1 5 cm ] 55. Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. Se le dimensioni del rettangolo misurano rispettivamente 15 cm e 9 cm, qual è l area del quadrato? [484 cm ] 56. Un quadrato è equivalente a un rettangolo le cui dimensioni misurano 49 cm e 64 cm. alcola il perimetro del quadrato. [4 cm]

16 57. Il lato di un quadrato è congruente alla metà dell altezza di un rettangolo avente la base lunga 80 cm e l area di cm. alcola perimetro e area del quadrato. [10 cm; 900 cm ] 58. Un quadrato ha l area di 151,9 cm. alcola perimetro e area di un secondo quadrato avente il lato congruente al triplo di quello del primo. [147,6 cm; 1 361,61 cm ] 59. Il perimetro di un quadrato misura 18 m. Trova il perimetro di un secondo quadrato equivalente ai 9/4 del primo. [19 m] 60. Un quadrato ha l area di 9 16 cm. alcola l area di un quadrato il cui perimetro è i 5/8 del perimetro del quadrato dato. [3 600 cm ] 61. In un rettangolo, avente l area di 34 cm, la base è il quadruplo dell altezza. alcola il suo perimetro. (Osserva la figura: il rettangolo è formato da 4 quadrati, quindi ). [90 cm] 6. In un rettangolo, avente l area di 960 m, l altezza è i 3/5 della base. alcola il suo perimetro. (Osserva la figura: il rettangolo è formato da 3 5 quadrati, quindi ). [18 m] 63. alcola il perimetro di un rettangolo sapendo che l area è di cm e che la base è i 3/8 dell altezza. [176 cm] 64. Un rettangolo ha l area di 1 79 cm e la base è i 7/4 dell altezza. alcola l area di un quadrato avente lo stesso perimetro del rettangolo. [1 936 cm ] 1. Equivalenza e aree Esercizi pag Un quadrato è equivalente ai 14/3 di un rettangolo. Sapendo che il perimetro del rettangolo è 34 cm e che le sue dimensioni sono una i 7/6 dell altra, calcola il perimetro del quadrato. [504 cm] 66. In un rettangolo l area è 360 cm e le due dimensioni sono una i 5/8 dell altra. alcola l area di un quadrato avente il perimetro uguale agli 8/3 di quello del rettangolo. [ 704 cm ] 67. Un quadrato è equivalente a un rettangolo le cui dimensioni misurano rispettivamente 4 cm e 13,5 cm. i quanto deve aumentare il lato del quadrato perché l area aumenti di 35 cm? [8 cm] 68. Un rettangolo ha l area di 735 cm e l altezza è i 5/3 della base. alcola l area di un quadrato isoperimetrico al rettangolo dato. [784 cm ] 69. In un rettangolo, avente l area di 147 cm, la base è il triplo dell altezza. alcola l area di un quadrato il cui perimetro è i 6/7 di quello del rettangolo. [144 cm ] 70. iminuendo di 6,5 cm la dimensione maggiore di un rettangolo si ottiene un quadrato avente l area di 34,5 cm. alcola perimetro e area del rettangolo. [87 cm; 46,5 cm ] 71. Un quadrato ha il perimetro di 49 cm. i quanto deve aumentare la sua area perché il perimetro sia di 79 cm? Qual è il perimetro di un rettangolo equivalente a quest ultimo quadrato se la sua base misura 13 cm? [4 075 cm ; 858 cm]

17 ricorda 1 ue Æ gure piane sono equivalenti o equiestese se hanno la stessa area. ue Æ gure congruenti sono necessariamente equivalenti. ue Æ gure equivalenti non sono necessariamente congruenti. ue Æ gure equiscomponibili per somma o differenza di parti rispettivamente congruenti sono necessariamente equivalenti. ue Æ gure equivalenti non sono necessariamente equiscomponibili. L'a rea del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: = b h (formula diretta) b = e h = (formule inverse) h b L'a rea del quadrato si ottiene moltiplicando la misura del lato per se stessa: = l (formula diretta) l = (formula inversa) L'a rea del parallelogramma si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: = b h (formula diretta) b = e h = (formule inverse) h b L'a rea del triangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza a essa relativa e dividendo tale prodotto per due: = b h (formula diretta) b = e h = (formule inverse) h b 1. Equivalenza e aree Esercizi pag L'a rea del triangolo si ottiene anche con la formula di Erone: p p = p p a b c L' area del rombo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: = b h (formula diretta) b = e h = (formule inverse) h b L'a rea del rombo si ottiene anche moltiplicando le misure delle due diagonali, d 1 e d, e dividendo tale prodotto per due: = d 1 d (formula diretta) d1 = e d = (formule inverse) d d L'a rea di un trapezio si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle basi per la misura dell altezza e dividendo tale prodotto per due: ( 1 ) = h (formula diretta) b 1 b = e h = (formule inverse) h b b Per calcolare l' area di un poligono qualsiasi bisogna scomporlo in Æ gure note: triangoli, parallelogrammi, trapezi ecc., calcolare le aree di queste Æ gure e sommarle.

18 esercizi di riepilogo Osserva le coppie di figure date nei seguenti esercizi e, per ognuna di esse, completa la frase assegnata con i termini congruenti, equivalenti e isoperimetriche (puoi usarne uno solo, due o tutti e tre). 1. Le due figure sono Le due figure sono Le due figure sono... Le due figure sono... Le due figure sono... Geometria e misura Verifica, usando come unità di misura un quadratino, se due o più figure possono essere equivalenti senza essere congruenti. a. b. c. d. e. Nei seguenti esercizi osserva la figura e, tra le formule proposte per il calcolo della sua area, segna quelle esatte. 4. () = a () = a a + a a () = a + a () = a + a a b

19 5. () = 4a b () = a b () = a b + a b () = a b + a b a 6. c () = b c + a b () = b c + a b () = a b c b () = a b + a b + b c b a a Nei seguenti esercizi osserva la figura e scrivi una formula per il calcolo della sua area e del suo perimetro. 7. a a a 8. b a a d a d c b 1. Equivalenza e aree Teoria da pag. a pag =... p =... =... p =... alcola perimetro e area della parte colorata di ciascuna figura, sapendo che il rettangolo ha le due dimensioni lunghe rispettivamente 60 cm e 30 cm

20 esercizi di riepilogo alcola perimetro e area delle seguenti figure. 10 cm 15 cm 1 cm 38 1 cm Geometria e misura 16. alcola perimetro e area delle seguenti figure sapendo che ogni quadratino ha l area di 36 cm. alcola il perimetro delle figure dei seguenti esercizi sapendo che la loro area è 19 cm alcola perimetro e area della parte colorata di ciascuna figura considerando i dati assegnati. 0. = 1 cm 1. = 16 cm E 1 E = E = 16 cm 1 E = 4

21 . = 18 cm 3. 3 = E = 0 cm 1 E = 4. alcola l area delle seguenti figure. 0 cm 10 cm alcola perimetro e area delle seguenti figure considerando i dati assegnati. 5. G cm F E 1. Equivalenza e aree Teoria da pag. a pag E F = 8 m 3 = 4 5 E = 48 cm = 4 Nei poligoni dati nei seguenti esercizi considera i dati assegnati e calcola quanto richiesto. 7. = 70 cm = 30 cm = 700 cm EH = E ( ) 3 E =? ( E) ) H [1 440 cm ] 8. E F G H = 816 cm = 41 cm E = E EF = GH = 190 cm ( parte colo r a ta) [ cm ]

22 Esercizi di recupero Una consistente serie di esercizi, unità per unità, fi nalizzati al recupero delle nozioni matematiche acquisite. La gradualità delle diffi coltà e i numerosi esercizi guidati consentono un agevole percorso di apprendimento. Esercizi di potenziamento Una consistente serie di esercizi, unità per unità, fi nalizzati al potenziamento delle nozioni matematiche acquisite e completati da esercizi tratti, in gran parte, dalle Olimpiadi della Matematica.

23 esercizi di recupero unità1 Equivalenza e aree alcola perimetro e area dei rettangoli dati nei seguenti esercizi (osserva l esempio e poi segui la traccia). 1. = 14 cm = 30 cm esempio svolto Poiché p ), avremo: p = ( ) cm = 44 cm = 88 cm Poiché = b h, avremo: = (14 30) cm = 40 cm = 5 = 35 cm 06 p = ( + ) cm =... cm = = ( ) cm cm......)... =... cm. 3. Geometria e misura = 18 cm = 40 cm p = cm = = (... cm =. ) cm... cm cm = 15 cm = 3 cm p = cm = cm (... ) cm =... cm Nei rettangoli dati nei seguenti esercizi calcola la misura della dimensione mancante e il perimetro (osserva l esempio e poi segui la traccia). 4. Poiché = :, avremo: = 160 : 10 cm = 16 cm p = ( ) cm = 6 cm = 5 cm = 10 cm = 160 cm 5. = = 3 cm = 180 cm... :... cm =... cm p = ( )cm... cm c... m

24 6. = = 15 cm = 680 cm cm = p =... cm =... cm cm 7. Risolvi i seguenti problemi sul rettangolo. = = 7 cm = 1 06 cm cm = p =... cm = alcola perimetro e area di un rettangolo avente base e altezza lunghe rispettivamente 9 cm e 10 cm. [38 cm; 90 cm ] cm cm Teoria da pag. a pag alcola perimetro e area di un rettangolo avente base e altezza lunghe rispettivamente 39 cm e 80 cm. [38 cm; 3 10 cm ] alcola perimetro e area di un rettangolo sapendo che l altezza misura 49 m e la base è il doppio dell altezza. [94 m; 4 80 m ] 11. alcola perimetro e area di un rettangolo sapendo che la base misura 35 m e l altezza è i 3/5 della base. [11 m; 735 m ] 1. In un rettangolo, la cui base misura 4 m, l area è di 43 m. alcola la misura dell altezza e il perimetro. [18 m; 84 m] 13. alcola la misura della base e il perimetro di un rettangolo avente l area di cm e l altezza lunga 81 cm. [39 cm; 40 cm] 14. La superficie e la base di un rettangolo misurano rispettivamente cm e 50 cm. alcola la misura dell altezza e il perimetro del rettangolo. [96 cm; 9 cm] alcola perimetro e area dei quadrati dati nei seguenti esercizi (osserva l esempio e poi segui la traccia) l l = 1 cm Poiché p = 4 l, avremo: p = 4 1 cm = 48 cm Poiché = l, avremo: = 1 cm = 144 cm l l = 18 cm p = 4... cm =... cm =... cm =... cm l l = 1 cm p =... cm =... cm =... cm =... cm 1. Equivalenza e aree RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

25 Esercizi di recupero Nei quadrati dati nei seguenti esercizi calcola la misura del lato e il perimetro (osserva l esempio e poi segui la traccia) l l l = 34 cm Poiché,avremo: l = 34 cm = 18 cm p = 4 18 cm = 7 cm = 59 cm l =... cm =... cm p =... cm =... cm = 1 04 cm l =... cm =... cm p =... cm =... cm 08 Risolvi i seguenti problemi sul quadrato. 1. Il lato di un quadrato misura 19 cm. alcola perimetro e area. [76 cm; 361 cm ]. Il lato di un quadrato misura 35 m. alcola perimetro e area. [140 m; 1 5 m ] 3. alcola l area di un quadrato sapendo che il suo perimetro è 68 m. [89 m ] 4. alcola l area di un quadrato sapendo che il suo perimetro è 9 m. [59 m ] 5. Sapendo che l area di un quadrato è 1156 cm, calcola il suo perimetro. [136 cm] 6. Sapendo che l area di un quadrato è 7 5 cm, calcola il suo perimetro. [340 cm] Geometria e misura alcola l area dei parallelogrammi dati nei seguenti esercizi (osserva l esempio e poi segui la traccia) h h b b b = 0 cm h = 11 cm b = 9 cm h = 45 cm = 9... cm =... cm Poiché = b h,avremo: = 0 11 cm = 0 cm h b b = 96 cm h = 33 cm =... cm =... cm h b b = 87 cm h = 6 cm =... cm =... cm

26 esercizi di potenziamento unità1 Equivalenza e aree Risolvi i seguenti problemi. 1. In un trapezio scaleno i lati obliqui sono congruenti alle diagonali di due quadrati aventi rispettivamente l area di 338 cm e 450 cm. Sapendo che la base minore è congruente alla metà della maggiore e che il perimetro è 140 cm, calcola l area del trapezio. [1 008 cm ]. Un trapezio è equivalente al doppio di un rombo avente le diagonali lunghe 61, cm e 111,6 cm. alcola la misura della base maggiore del trapezio sapendo che la base minore misura 76,8 cm e che l altezza è congruente alla diagonale minore del rombo. [146,4 cm] 3. umentando di 7 cm la lunghezza dell altezza di un trapezio, l area aumenta di 80 cm, diminuendo di 4 cm la lunghezza di ciascuna base, l area diminuisce di 9 cm. alcola la lunghezza delle basi e l area del trapezio sapendo che il rapporto fra le basi è di 7 a 13. [8 cm; 5 cm; 90 cm ] Un triangolo ha l area di cm e l altezza uguale ai 5/1 della base. alcola la misura della diagonale di un rombo equivalente al triangolo e avente l altra diagonale congruente ai /3 della base del triangolo. [75 cm] 5. Un parallelogramma, un triangolo e un rettangolo sono equivalenti. La base del triangolo è 1/7 di quella del parallelogramma e la base del rettangolo è i 5/7 di quella del parallelogramma. Se la somma delle tre basi misura 18 cm e l altezza del rettangolo misura 35 cm, quanto misurano le altezze del parallelogramma e del triangolo? [5 cm; 350 cm] Geometria e misura 6. Un rombo è equivalente ai /3 di un rettangolo avente il perimetro di 04 cm e una dimensione lunga 7 cm. Sapendo che una diagonale del rombo è il doppio della dimensione minore del rettangolo, calcola la misura dell altra diagonale. [48 cm] 7. In un parallelogramma la base è il triplo dell altezza a essa relativa e ciascun angolo acuto misura 45. Sapendo che l area è 187 cm, calcola l area di un quadrato avente il lato congruente alla base del parallelogramma. [6 561 cm ] 8. In un parallelogramma, avente l area di 08 cm, la base è i 4/3 dell altezza. alcola il perimetro di un rettangolo avente le dimensioni congruenti alla base e all altezza del parallelogramma. [18 cm] 9. L area di un triangolo rettangolo è 507 cm e un cateto è i 3/ dell altro. alcola il perimetro di un rettangolo avente le dimensioni congruenti ai due cateti del triangolo. [130 cm] 10. Un rettangolo, avente le dimensioni lunghe 40 cm e 80 cm, è equivalente agli 8/9 di un quadrato. alcola il perimetro del quadrato. [40 cm] 11. In un triangolo rettangolo la somma e la differenza delle lunghezze dei cateti misurano rispettivamente 63 cm e 9 cm. alcola il perimetro di un quadrato equivalente ai /3 del triangolo. [7 cm] 1. Un rettangolo ha il perimetro di 40 cm e la base i /3 dell altezza. alcola il perimetro di un quadrato equivalente ai 3/ del rettangolo. [88 cm] 13. Un quadrato ha il perimetro di 96 cm. alcola il perimetro di un rettangolo equivalente ai 7/1 del quadrato e avente la base i 3/7 dell altezza. [80 cm]

27 14. Tre rettangoli hanno le basi lunghe rispettivamente 1 cm, 36 cm e 0 cm e ciascuno di essi è equivalente a un quadrato avente il perimetro di 7 cm. alcola l area di un quadrato avente il perimetro uguale alla somma dei perimetri dei tre rettangoli. [3 61,01 cm ] 15. L ipotenusa di un triangolo rettangolo, l altezza a essa relativa e un cateto misurano rispettivamente 60 cm, 8,8 cm e 48 cm. alcola l area di un quadrato isoperimetrico al triangolo. [1 96 cm ] 16. In un rombo le diagonali e il lato misurano rispettivamente 48 cm, 0 cm e 6 cm. alcola il perimetro e l area di un quadrato avente il lato congruente all altezza del rombo. [ 73,84 cm; 340,77 cm ] 17. L area di un rombo è 616 cm e la distanza tra il punto di intersezione delle diagonali e i lati misura 11 cm. alcola l area di un quadrato isoperimetrico al rombo. [784 cm ] 11 cm H O Teoria da pag. a pag alcola il perimetro e la misura della diagonale di un quadrato equivalente alla metà del trapezio, di cui si sa che: = 84 cm 4 = 11 1 = H [10 cm; 4,4 cm] Il poligono a fianco è formato da quattro triangoli tre dei quali equilateri e ciascuno con un lato in comune con il quarto triangolo che è scaleno. alcola l area del poligono sapendo che i lati del triangolo scaleno misurano rispettivamente 5 cm, 8,5 cm e 10,5 cm. [ 110,85 cm ] H 5 cm 8,5 cm 10,5 cm Equivalenza e aree 0. alcola l area di un parallelogramma con la base e l altezza congruenti rispettivamente alla base minore e alla base maggiore del trapezio, di cui si sa che: = 3 58 cm, = 36 cm e = 45. [9 80 cm ] 1. alcola l area del trapezio sapendo che: K = H ; H = 40 cm; = 46, 4 cm = 45 e = 60 [ 86,4 cm ] H K

28 Esercizi di potenziamento. Il poligono a fianco è formato da quattro quadrati. Se l area del quadrato è 16 m e quella del quadrato è 36 cm, qual è l area del quadrato? [56 cm ] 3. alcola l area del quadrilatero sapendo che: 1 = 68 cm M = N 3 M = 4 cm N = 18 cm 9 [1 068 cm MN = M ] M N 16 In gara 4. on quale gruppo di figure ( o ) prosegue la seguente serie di figure? Perché? Geometria e misura (Gara nazionale, 007, allenamenti) 5. Mio zio vuole dividere un terreno che ha la forma a lato disegnata. Vuole dividerlo in quattro parti che abbiano la stessa area e la stessa forma. iutatelo disegnando il contorno delle quattro parti. (da Gilles ohen, Pitagora si diverte 1, runo Mondadori 003)

29 Verifichiamo... le competenze 1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici. Eseguire calcoli aritmetici 3. Risolvere problemi aritmetici 4. Organizzare e rappresentare dati 5. Risolvere problemi di geometria piana

30 1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici 1. ompleta le seguenti frasi con il termine opportuno. Il numero 15,77777 si chiama numero ; esso si scrive esattamente.... Il numero 5, si chiama numero.... ; esso si scrive esattamente..... Scrivi il termine specifico al posto dei puntini , 1, Scrivi in cifre i seguenti numeri: dieci virgola trentadue... Verifichiamo... le competenze dieci virgola trentadue, trentadue periodo... dieci virgola trentadue, due periodo Scrivi il termine specifico al posto dei puntini = 6 5. Spiega il significato dell affermazione 5 è la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un unità di

31 6. ompleta. ati due numeri a e b, il quoziente a : b è detto.... ati due numeri a e b, il quoziente b : a è detto Nei seguenti rapporti scrivi il termine specifico al posto dei puntini. a b a b 8. Spiega il significato della seguente terminologia. Grandezze omogenee Grandezze commensurabili Grandezze incommensurabili Nelle seguenti proporzioni scrivi il termine specifico al posto dei puntini. 18 : 9 = : 11 7 : 3 = 45 : 5 4 : 1 = 1 : 6 1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

32 10. ompleta con il termine esatto. Il rapporto tra la misura delle dimensioni sulla carta e la misura delle stesse dimensioni nella realtà, che indica quante volte la misura reale è stata ridotta sulla carta, si chiama Il rapporto tra la misura delle dimensioni sulla carta e la misura delle stesse dimensioni nella realtà, che indica quante volte la misura reale è stata ingrandita sulla carta, si chiama ompleta le seguenti affermazioni. 1 : 5 è una scala di... ; essa indica che le dimensioni reali di un oggetto sono di quelle su carta. 5 : 1 è una scala di... ; essa indica che le dimensioni reali di un oggetto sono... di quelle su carta. 1. ompleta le seguenti frasi. ate due grandezze variabili dipendenti x e y, dire che y è funzione di x significa che Verifichiamo... le competenze ue grandezze variabili dipendenti x e y tali che, al raddoppiare o triplicare della x, segue il raddoppiare o triplicare della y, si dicono ue grandezze variabili dipendenti x e y tali che, al raddoppiare o triplicare della x, la y diventa la metà o un terzo, si dicono ompleta le seguenti frasi con i termini opportuni. Il coefficiente di proporzionalità diretta tra due grandezze direttamente proporzionali è il loro.... Il coefficiente di proporzionalità inversa tra due grandezze inversamente proporzionali è il loro.... La funzione di proporzionalità diretta è.... La funzione di proporzionalità inversa è....

33 14. he cosa indica la scrittura 7%? Nella seguente scrittura scrivi il termine specifico al posto dei puntini. 8% 16. Spiega il significato della seguente terminologia. Le figure piane e sono equivalenti Le figure piane e sono equicomposte Le figure piane e sono simili Riconosci se le due figure di ciascuna coppia assegnata nei seguenti esercizi sono congruenti, equivalenti o simili. 17. Le due figure sono Le due figure sono Utilizzare linguaggio e simboli matematici 19. Le due figure sono

34 In preparazione alle prove INVLSI L INVLSI (Istituto Nazionale di Valutazione del Sistema di Istruzione) è un ente che si occupa, tra le altre cose, di effettuare verifiche periodiche su tutte le scuole di ogni ordine e grado per avere un quadro complessivo delle conoscenze e delle abilità che gli studenti raggiungono alla fine di un ciclo scolastico. Nell anno scolastico , l Istituto ha predisposto anche la Prova Nazionale dell Esame di Stato alla fine della scuola secondaria di primo grado che, secondo le indicazioni ministeriali dalla legge n. 176/007, affianca la Prova scritta di matematica. Secondo le indicazioni ministeriali dalla legge n. 176/007, la Prova scritta di matematica agli esami di licenza consta infatti di due distinte prove. Una prova scritta redatta dall insegnante della disciplina secondo il curricolo di studi e articolata su più quesiti che non comportino soluzioni dipendenti l una dall altra e che tocchino aspetti numerici, geometrici e tecnologici, nozioni elementari nel campo della statistica e della probabilità e anche aspetti matematici aventi attinenza con attività svolte nel corso del triennio nel campo delle scienze sperimentali. Una prova scritta a carattere nazionale volta a verificare i livelli generali e specifici di apprendimento conseguiti dagli alunni e i cui quesiti sono scelti dal Ministro tra quelli definiti annualmente dall INVLSI. Nella suddetta prova verranno proposti quesiti a scelta multipla e a risposta aperta sulle seguenti aree: numeri, geometria, relazioni e funzioni, misure, dati e previsioni. Nelle seguenti pagine vengono proposti esercizi adatti a prepararsi a queste prove INVLSI sui principali argomenti affrontati nel o anno.

35 Sul programma del anno della Scuola Secondaria di primo grado riguardante i temi: Il numero Il pensiero razionale ati e previsioni 1. Passando dalla proporzione 8 : = 0 : 5 alla proporzione 6 : = 15 : 5, quale proprietà è stata applicata? Segna la risposta esatta. a. el comporre. c. ell invertire. b. ello scomporre. d. el permutare.. Quale fra i seguenti numeri non è un numero razionale? Segnalo. a. 9 b c. 11 d. 0, Quale fra le seguenti frazioni equivale al numero decimale 13,50? Segna la risposta esatta. a. 13 c b d Il seguente diagramma cartesiano rappresenta la temperatura atmosferica registrata in una città nell arco di una giornata. In preparazione alle prove INVLSI Temperatura Ore In quale intervallo di tempo la temperatura ha avuto un andamento crescente? Segna la risposta esatta. a. Tra le 4 e le 16. c. Tra le e le 4. b. Tra le 4 e le 1. d. Tra le 0 e le.

36 5. Qual è il valore della x nella proporzione 16 : x = x : 36? Risposta... escrivi il procedimento che hai seguito Nei giorni lavorativi della settimana scorsa ho avuto in media 150 euro al giorno di guadagno. Quali possono essere stati gli effettivi guadagni in ciascun giorno? Segna la risposta esatta. a. 150, 00, 180, 90, 100, 00. b. 50, 150, 80, 190, 300, 130. c. 160, 170, 150, 50, 170, 100. d. 80, 150, 00, 160, 60, 150. escrivi il procedimento che hai seguito Un indagine condotta tra i ragazzi di una scuola riguardante la frutta preferita ha dato i risultati a fianco. Quale delle seguenti tabelle corrisponde ai dati dell indagine? Segna la risposta esatta. Frutta Frequenza % banana 15 pesca 0 mela 10 fragola 40 pera 15 Frutta Frequenza % banana 30 pesca 10 mela 5 fragola 40 pera 15 a. b. Frutta Frequenza % banana 15 pesca 5 mela 10 fragola 35 pera 15 Frutta Frequenza % banana 15 pesca 35 mela 10 fragola 5 pera 15 c. d. Frutta N ragazzi (x = 10) banana x x x pesca x x x x x mela x x fragola x x x x x x x pera x x x RS Libri S.p.. - ivisione Education, Milano

37 8. Qual è il risultato della radice quadrata 0, 64? Segna la risposta esatta. a. 0,3 b. 0,08 c. 0,8 d Quale fra le seguenti frazioni equivale al numero decimale 0,70? Segna la risposta esatta. a b c d In una classe vi sono 5 alunni e di questi 15 sono maschi. Qual è il rapporto fra il numero dei maschi e il numero delle femmine? Segna la risposta esatta. a. 3 : 5 b. 3 : c. 5 : 3 d. : Il diagramma a fianco rappresenta la relazione fra due grandezze x e y. Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? E qual è il loro rapporto di proporzionalità (r. p.)? Segna la risposta esatta. y 4 3 a. Inversamente proporzionali, r. p. = 1 1 b. irettamente proporzionali, r. p. = x c. irettamente proporzionali, r. p. = 1 In preparazione alle prove INVLSI d. Inversamente proporzionali, r. p. = 1. Qual è il valore della x nella proporzione 15 : x = 45 : 9? Segna la risposta esatta. a. 5 b. 75 c. 3 d In tasca ho 30 euro, ossia i 6/5 di quelli di mia sorella. Quanti euro possiede mia sorella? Risposta... escrivi il procedimento che hai seguito La distanza tra due località è di 400 km. quanto corrisponde questa distanza in una cartina la cui scala è 1 : ? Segna la risposta esatta. a. 0 cm b. 40 cm c. 10 cm d. 100 cm

38 15. Un indagine condotta sullo sport preferito da alcuni ragazzi ha dato i risultati rappresentati nel seguente ideogramma (ogni ragazzo ha dato una sola preferenza). alcio Tennis = 1 ragazzo asket Nuoto 85 Sorteggiando un ragazzo a caso, qual è la probabilità che egli sia un ragazzo che preferisce il calcio o il basket? Segna la risposta esatta. a. 5 3 b. 3 5 c. 8 5 d Qual è il valore esatto della seguente espressione 4 ( )? Segnalo. a. 4 3 b. 4 3 c. ( ) d Scrivi la proporzione che traduce la frase venti sta a quattro come dieci sta a x e calcola il valore di x. Risposte... Spiega il perché delle tue risposte Un albero alto 16 m proietta un ombra di 4 m. Quanto è alto un palo che, alla stessa ora, proietta un ombra di m? Segna la risposta esatta. a. 4 m b. 8 m c. 1 m d. m